《冶金自动化》２００４年增刊采用分数阶导数的高斯滤波微分算子边缘检测方法李惠光，王平顺，李国友（燕山大学电气工程学院，河北秦皇岛０６６００４）〔摘要〕检测一阶导数局部最大值或者二阶导数过零点是边缘检测的基本算法，但是这些算子都是利用了整数阶导数，而分数阶导数，尤其是高斯滤波函数的分数阶导数在边缘检测中的应用没有得到深人的研究。本文研究了分数阶导数的高斯滤波算子在边缘检测中的应用，从而得出分数阶导数的高斯算子能够提高边缘检测的边缘细化。〔关甘词〕边缘检测；分数微分法，分数阶高斯导函数；边缘细化
０引言 边缘是指图像局部亮度变化最显著的部分，虽然图像边缘点产生的原因不同，但是它们都是图像上灰度的不连续点，或者灰度变化剧烈的地方，因此，图像的边缘通常与图像亮度的一阶导数的不连续性有关。微分运算正是基于边缘的这种不连续性，检测一阶导数局部最大值或者二阶导数过零点是边缘检测的基本微分算法。在边缘检测中的抗噪声方面采取的平滑滤波和增强边缘的梯度算子是相互抵触的目标，为了同时达到平滑和边缘增强的目的，在局部预处理领域提出了很多算法，基本是优化抗噪声和边缘增强的折衷，在这方面Ｃａｎｎｙ提出了最优的边缘检测滤波器近似为高斯函数的一阶导数，即
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这一滤波微分算子在图像处理中取得了良好的效果，但是无论是求梯度算子的极大值还是求拉普拉斯算子的过零点，都是利用了整数阶导数，而分数阶导数，尤其是高斯函数的分数阶导数在边缘检测中的应用没有得到深入的讨论。本文对于采用分数阶导数的高斯算子在边缘检测中的应用进行了研究，并与高斯一阶微分算子进行了比较，从而得出分数阶导数的高斯算子能够提高边缘检测的边缘增强和细化。
１分数阶导数的高斯滤波微分算子１．１分数阶微积分式 本文所要涉及到的关于分数微积分的Ｒｉｅｍａｎｎ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ定义为： ａ０ｆ （ｘ）（ａ（ｘ一ａ））“－一 ｌ匕－ｆｓ
ｒ（一ｑ）丁 ｆ （ｔ）
（ｘ一ｔ） ４＋ｌ（凡（ｑ）＜０）
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（ｘ一ｔ）ｑ－ｎ＋＇ｄｔ］
（２）
（Ｒｅ （ｑ））０，０＜ｎ一ｑ＜１，ｎ是整数）（３）其中，ｒ（动为参数ｑ的Ｇａｍｍａ函数（即ｒ（ｎ十１） ＝ｎ！，对所有的正整数ｎ）；参数ｑ为积分或微分的阶数，且允许为复数，正实数值４表示微分，负实数值４表示积分；式（（２）是一个分数积分，式（（３）是一个分数微分。１．２分数阶导数在边缘检测中的分析 在Ｍａｒｒ的边缘检测理论中，首先使用大窗口的Ｇａｕｓｓｉａｎ滤波器，对图像进行低通滤波，然后用微分算子（梯度极大值和二阶导数过零点）提取边缘（见图１）０
Ａｘ Ｉ Ｙ），｝图像平滑一低通滤波ｆ（ｘ，Ｙ）．ｈ（ｚ，Ｙ）｝边缘检测一微分算子｝．９（ｑ）（ｘ．Ｙ）
图１边缘检测的一般过程［收稿日期〕２００４－０６－１７［作者简介〕李惠光（１９４７一），男，黑龙江齐齐哈尔人，博士生导师，主要从事控制理论与控制工程方面的科研与教学工作。
１９５《冶金自动化》２００４年增刊 由图１知，在边缘检测中，先对图像函数ｆ（ｘ，ｙ）用滤波函数ｈ（ｘ，ｙ）进行平滑滤波处理，目的是得到去噪的理想信号，然后再作微分运算，求出边缘。因此，在研究分数阶导数的高斯滤波微分算子之前，我们先讨论无噪阶跃型边缘的分数阶导数的性质。１．２．１无噪一维阶跃型边缘的分数阶导数分析 令一维无噪阶跃型边缘如图２所示，拐点位于Ｘｏ ＝２００处，则数学函数描述为：
ｆ（ｘ）０ａｘｅ一ａｘｅ ＋４ａｘｏ ｘ一２ａｘ吕２ａ端
ｘ＝００镇ｘ＜ｘｏｘｏ簇ｘ＜２ｘｏ ｘ）２ｘｏ
（４）
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图２一维无噪声阶跃型边缘对式（４）求分数阶导数，则ｆ （ｘ）的分数阶微分为：
０ ２ａ＿二，—，内，１妇ｒ（一ｑ＋３）一
厂ｑ， （ｘ）＝－４ａｒ（－ｑ＋３） （ｘ一ｘａ’－ｑ＋２＋
ｒ－４ａｒ（－ｑ＋３）（二一ｘｏ’－ｑ＋２＋ ２ａ
ｒ（一ｑ＋３） ｘ
（５）
２ａｒ（一ｑ＋３） ＿＿二。．２ａ，。、＿＿二，
ｘ，’一十石丁，一一一下一不丈Ｌｘ－Ｚｘｏ夕 １１一ｑＴ３）
式中，ｘ， ＝２００， ａ＝ １１（２ｘ若），ｑ取分数。
１． ２． ２ ｑ取区间［１，２」的分数导数当ｑ值取区间［１，２〕时，由图３我们可以观察到厂４＞ （ｘ）的极大值点仍然在ｘ。处，没有发生偏移。同
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时，厂ｖ＞ （ｘ）在极大值点ｘｏ处的一阶左右导数存在了不同，即： 厂ｄ，‘＿、，、门２ａ＿＿二１ ｝书一ｆ｀０＇ （ｘ）｝＝二一止兰一不二ｘｎ ａ十， Ｌ、一／Ｊ＝－ｘ， ｒ（－ｑ＋２）一。
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在拐点处的左右导数数值差别越大，边缘就越容易看出，边缘越明显，边缘的差值决定了边缘的清晰度和细化程度。定义边缘细化程度的一个比较函数凡，Ｓ，为滤波微分响应最大值的Ｎ％处的带宽△ｘ的倒数，即
ＳＮ（８）边缘点的定位决策定义为｝户，（ｘ）＋介，（ｘ） ｝ ｝＋｝其它（９）一－
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比较式（６），（７），（８），（９）以及图３，可以得出对于图２中的阶跃型边缘，当ｑ值取区间［１，２〕时厂Ｑ＞ （ｘ）的极大值点保持不变，并且增强了边缘细化和定位精度。 １９６《冶金自动化》２００４年增刊、、ｑ＝１ｑ＝１
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图３当４值取区间（１，２）时，ｆｑｌ （ｘ）图
１．３分数阶导数的高斯滤波微分算子 由于实际信号都是有噪声的，边缘检测是一个病态问题，所以在用分数阶微分算子提取边缘前，要先对信号进行平滑滤波。平滑滤波器的脉冲传递函数用ｈ （ｘ）表示，对信号ｆ （ｘ）滤波，滤波后的信号为ｇ（ｘ） ＝ ｆ （ｘ）＆ｈ（ｘ）⑧表示卷积运算），然后再对ｇ（ｘ）求分数阶导数以检测边缘点。由于滤波运算与卷积运算次序有如下的关系： ｄ ９（ｆ（ｘ阂ｈ（ｘ）ｄｑ ［＋－，／＿、，，．、，ｆ ４－，／．、，。。、，八，尸，、。，‘。），、９梦，＝生址、生护令竺竺望二＝头｝ｆ（ｔ）ｈ（ｘ一ｔ） ｄｔ＝｝ｆ（ｔ）ｈ（ｑ＇ （ｘ一ｔ） ｄｔ二ｆ（ｘ）⑧ｈ戈？，（ｘ） （１０）ｈ｀０＇。Ｊ山－４ ｄｘ９ Ｊ一“‘一‘’一‘一一’一Ｊ“‘一’一、－－－，－－－Ｊ、，“
式中，４为微分运算的阶数，当取整数１，２时，为整数滤波微分器；当ｑ取区间［１，２］的分数时，是分数阶滤波微分器。 由式（１０）知，可以将先平滑后微分运算合并为一步，求出滤波函数ｈ （ｘ）的分数阶微分算子ｈ‘９ｘ），
然后检测ｆ（⑧ｈ‘９（ｘｆ （ｘ））的局部最大值，从而确定边缘。 常用微分平滑滤波器是高斯函数ｈ（ｘ），见式（１）。由公式（１），（３），（１０）得出分数阶导数的高斯滤波微分算子ｈ（ｑ） （ｘ）为 ｄｑｈ （ｘ）＿＿了厂ｎ＂－ ｌｘ）－—一二一二｝ ｘｙ ａｘ＂ Ｌ
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．４分数导数的高斯滤波算子的数值算法设滤波函数为高斯函数ｈ （ｘ） １ ２一瘫ｅ ２．２２７ｒ０，ｘＥ〔一Ｉ＇ｌｌ，则高斯滤波函数ｈ （ｘ）的ｑ（ｑ＞０）次导数的数
值算法由式（１１）给出：ｈ（ｑ）（ｚ）＝由ｈ （ｘ）＿ ｄｘｑＮｑｘｑ
Ｆ（一ｑ）Ｅ１１１－ｑ）ｈ（ｘ－ｏｒ（ｊ＋１）一Ｚ ｌＮ
（１２）
式中，ｒ为Ｇａｍｍａ函数；Ｎ为数据长度；ｑ为微分的分数阶数。２分数阶导数高斯滤波微分算子在边缘检测中的性能分析 下面用分数阶导数的高斯滤波微分算子对含噪的阶跃边缘滤波微分。由公式（１），（３），（１０），（１１），（１２）知，取自变量区间为ｘＥ［－５，５］，数据长度Ｎ为１７０，分数阶导数ｑ＝１． ３，尺度变量。＝１． ５，图４（ａ）是一维加噪阶跃型边缘的图像，分别与高斯的一阶和分数阶导数的滤波微分算子做卷积滤波微分处理。由图４（ｂ），（。）比较知，分数阶导数的高斯滤波微分处理得到的边缘细化和定位要比一阶导数算子方法好。
３结论 我们得知，当ｇＥＣ１，２］时，确定的图像的极大值边缘点不但没有发生偏离，而且得到了更加细化的边缘，增强了边缘的定位精度。本文只是简单的研究了分数阶导数的高斯滤波微分算子在一维图像的预处理效果，对于二维的图像处理有待于进一步研究。
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