第二章：连续时间信号和系统时域分析
第一节 连续时间信号 • 几种常用的连续时间信号： • １ 正弦函数 ：(t ) Acos(t ) f
f (t)
f (t ) a1et ２指数函数：
T
（它的微分和积分仍是指数函数形式）
f (t)
A
＞0
o t
a1
－A
＝0 ＜0

f1 (t) 1 1
f2 (t)
0
1 2 3 4 (a)
t
o (b)
t
f1 ( ) 1
f2 (－ ) 1
0
1
2 (a)
3
4

(b)
o

f2 ( t－ )
1
f1 ( ) f2 ( t－ )
1
f1 ( )
t 0 (c) t＜0
3

0
t
3

(d) 0＜t ＜3 y(t)
1
f1 ( )
求f(2t),
f(t/2)
解：（１）
解：（２）
•
（2）信号的延时：t+b(b>0)波形左移，比原信号超前； t-b(b>0) 波形右移，比原信号落后。 （3）信号的反折：以纵坐标为对称轴翻转180度，即用 -t替代f(t)表达式中的独立变量t，f(t)、f(-t)互为反 折。 实际意义：将时间信号的过去与将来倒置，实际上没 有一个物理系统能完成这样的功能。将反折引入是为数 学处理的方便。 （4）综合变换 以变量at+b代替f(t)中的独立变量t，可得一新的信 号函数f(at+b)。当a>０时，它是f(t)沿时间轴展缩、 平移后的信号波形；当a<０时，它是f(t)沿时间轴展缩 平移和反转后的信号波形，下面举例说明其变换过程。
k 1
f (t )
t k
u (t k )
（6）任意信号可分解为在不同时刻的具有不同强度的无穷 多个冲激函数的连续和。
f (t ) f ( ) (t )d
k
f (k ) (t k )

上节讲过脉冲函数在一定条件下可演变为冲激函数：我们把 脉冲函数用冲激函数表示，各冲激函数的位置定在它所代表 的冲激函数左侧所在的时刻冲激函数的强度即为冲激面积。 即：
• •
•
f (t) 1 －1 0 1 －1 (a) 2 t t —－t －2
f (－t) 1 －1 0 1 2 －1 (b) t —t＋2 －4 t 1
f (－(t＋2))
－3 －2 －1 0 1 －1 (c)
2
t
图 信号的反转、平移
f (－2t) 1 －1 －2 0 －1 (c) 1 f (－2(t－1))
• 四、信号的微分和积分： • （１）连续时间信号的时间积分是另一个信号，它的任 意瞬时值为从到t区间，波形所包含的面积．
f (t) 1 0 1 t 1 0 1 t
y(t ) f ( ) d
t
图 信号的积分 （２）f (t ) 的微分是另一信号，它表示信号 随时间变化的变化率．
图 信号的微分
(t)
(1)
t0 t0
(t－t0 )
(1)
0 (a)
t
0 (b)
t0
t
图2 冲激信号及延时冲激信号
p 1 (t)
p 2 (t)
1
1
t
0 2 (a) 2

0 (b)

t
图2
δ(t)的两个工程信号
• （1）：图2就是δ(t)的两个工程信号模型。尽管图中P1(t) 与P2(t)不尽相同，但当ε→0时的极限情况都可形成冲激 信号δ(t)。即： • （2）冲激信号强度：其强度就是冲激信号对时间的定积 分值，如Aδ(t)表示该冲激信号的强度为A，即有： A (t )dt A • 冲激信号的强度在图中以括号注明，以示与信号的幅值 相区分。
1 Sgn(t ) 1
t0 t0
• 符号函数与阶跃函数类似，正负号函数（符号 函数）在跳变点可不给定义或规定：Sgn(t ) 0
用阶跃函数表示：
Sgn(t ) 2U (t ) 1
4、
(t )
(t ) 0 (t )dt 1

0
df (t ) dt f () [ f () f (0)] f (0) dt
而：



f (t ) (t )dt f (0)
dU (t ) 则: (t ) dt

t

(t )dt U (t )
得证。
３） (t ) 为偶函数 证明：



f (t ) (t )dt (t ) f (t )d (t )
'
性质：（１）
（2）

t

‘ (t )dt (t )
0 t



f (t ) (t )dt f (t ) (t )

f (t ) (t )dt 0 f (0)


（3）令
f (t ) 1
则：



(t )dt 0
说明：Biblioteka (t ) 所包含的面积为0小结 奇异函数的物理意义：
• u(t )是物理量的单位跃变的抽象， (t )是物理量的单位跃变 ' 的改变速度的抽象， (t ) 是物理量产生单位跃变的跃变加速 度的抽象。 例2―2计算下列各式的值：
解：
解：
三、信号的相加相减相乘只能在它们共同存在的区间内进行。
图2- 连续信号的相加和相乘
f2 ( t－ ) y(3)
0 (e) t＞3
3
t
τ
0
3
t
图 2-1 卷积的图解表示 (f )
当t<0时，f2(t-τ)波形如图 (c)所示，对任一τ， 乘积f1(τ)f2(t-τ)恒为零，故y(t)=0。 当0<t<3时，f2(t-τ)波形如图(d)所示。
图 2 – 1 正弦信号
o
t
图 2 – 2 实指数信号
sin t ３抽样函数： f (t ) Sa(t ) t
t 0时，Sa(t ) 1 ；t k , k 1、 2时，Sa(t ) 0
抽样函数性质：
(1) Sa(t )dt


(2) Sa(t )dt / 2


(t ) f (t )dt f (0)


而：



(t ) f (t )dt f (0)
(t ) (t )
４）时间的尺度变换
1 (at) (t ) a
另外：
•
５、单位冲激函数的导数——也叫单位冲激偶 (t ) （由矩形脉冲求导并取极限） ′(t)
• 第三步，给定一个t值，将f2(-τ)波形沿τ轴平移|t|。在t<0 时， 波形往左移；在t>0时，波形往右移。这样就得 到了f2(t-τ)的波形。
• 第四步，将f1(τ)和f2(t-τ)相乘，得到卷积积分式中的被
积函数f1(τ)、f2(t-τ)。
• 第五步，计算乘积信号f1(τ)f2(t-τ)波形与τ轴之间包含
w1 (t) 1 1 0 －1 t0 (a) 2t0 3t0 t w2 (t) w3 (t) 3 2 1 0 1 2 3 (b) 4 5 t 0 t0 2t0 3t0 4t0 5t0 (c) t
例2―1图
冲激信号的性质：
• 1） 冲激信号的抽样性：
f (t ) (t ) f (0) (t )
t0 t0
t t0 t t0
数学表达式：
A f (t ) AU (t t 0 ) 0
u(t)
u(t－t 0 ) 1
1
0 (a)
t
0
t0 (b)
t
图2- 阶跃信号与延时阶跃信号 它的单边特性或因果特性，使在信号分析中非常有用，可用 来表示开关动作的时刻，还可用来截取信号函数或波形。 2、单位斜坡函数



f (t ) (t )dt f (0)
2） U (t ) 的微分等于 (t ) ， (t ) 的积分等于 U (t )
证明：

dU (t ) df (t ) f (t ) dt f (t )U (t ) U (t ) dt dt dt
f ()
（３） 引入奇异函数以后，具有数学上第一类间断点 的函数也可微分，它们在间断点处的导数是一冲激， 是该处的跃变量。
图2- 冲激信号与阶跃信号之间的关系 • 五、信号的尺度变换、延时与反折特性 • 尺度变换又称信号的扩展与压缩，如f(t)中的变量t以新 的变量at代换（a为常数，称尺度变换系数）
例：

式中，τ为虚设积分变量， 积分的结果为另一个新的时间信号。
2．卷积的图解 • 信号f1(t)与f2(t)的卷积的图解可通过以下几个步骤来完成： • 第一步，画出f1(t)与f2(t)波形，将波形图中的t轴改换成 τ轴，分别得到f1(τ)和f2(τ)的波形。 • 第二步，将f2(τ)波形以纵轴为中心轴翻转180°，得到 f2(-τ)波形。
0
图 2-3
Sa(t)函数的波形
(3) lim Sa(t ) 0
t
• 二、奇异信号：虽具有简单数学形式，但本身或 其导数或积分有不连续点，各阶导数不都是有限 值。 • 1、阶跃信号Ｕ(t)：理解为在极短时间内由0 1， 实际上，阶跃信号相当于一个开关作用
1 f (t ) U (t ) 0