光纤光栅的特性1．光纤布喇格光栅的理论模型：假设光纤为理想的纤芯掺锗阶跃型光纤，并且折射率沿轴向均匀分布，包层为纯石英，此种光纤在紫外光的照射下，纤芯的折射率会发生永久性变化，对包层的折射率没有影响。

利用目前的光纤光栅制作技术： 如全息相干法， 分波面相干法及相位模板复制法等。

生产的光纤光栅大多数为均匀周期正弦型光栅。

纤芯中的折射率分布（如图1）所示。

n 1 (Z) 为纤芯的折射率，n m ax为光致折射率微扰的最大值，n 1 (0) 为纤芯原折射率，为折射率变化的周期（即栅距） ，L 为光栅的区长度。

若忽略光栅横截面上折射率分布的不均匀性，光栅区的折射率分布可表示为：n 1 (z) n 1 (0) n max cos(2Z )⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1.1 ）显而易见， 其折射率沿纵向分布， 属于非正规光波导中的迅变光波导，在考虑模式耦合的时候， 只能使用矢量模耦合方程， 其耦合主要发生在基模的正向传输导模与反向传输导模之间。

2．单模光纤的耦合方程由于纤芯折射率非均匀分布,引起了纤芯中传输的本征模式间发生耦合。

在弱导时, 忽略偏振效应 ,吸收损耗和折射率非均匀分布引起了模式泄漏,则非均匀波导中的场Φ ( x , y ,2 2 2 2z ) 满足标量波动方程( x, y, z)} (x, y, z) 0 （2.1）: { t sk 0 n2z其中：k 02 / ，是自由空间的光波长。

2t11 2{ r}(2.2)r r r 22r由于折射率非均匀分布引起波导中模式耦合只发生在纤芯中,因此非均匀波导中的场可以表示为均匀波导束缚模式( x, y) 之和 :( x, y, z)A l ( z) l ( x, y){ a l ( z) exp( i l z) a l exp(i l z)} l ( x, y)(2.3)llA 1 (z) 表示与1 (x, y) 相 系的全部随 z 化的关系。

本 省去了所有 无影响的 exp( j t ) 的因子。

其中 1 ( x, y) 足方程： {222 ( x, y)2} l0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (2.4)tk 0navert将A l l 代入 2.1中，并利用 2.4消去含有2t l 的 ， 并按模式耦合理 的一般方法l行 理 ,化 略去高次 , 可以得到一个正向 模与同一反向 模 的模式耦合方程 :da 1 D exp(i 2 z)dz2 a 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2.5）da 1Da 1 exp( i 2 z)dz2Dik 022dAik 0 (n2n aver 2)22A(2.6)(n n aver )co2dA ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯222naverA2 d A其中A co⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2 .7）2dAA是芯 中的功率百分比。

在 折射率剖面光 中,基模可以用高斯函数近似代替 ,代入 2.7式中得：11V 2 ，其中 V 光 的 构常数。

其中 11播常数。

根据射 理 ，光 中模 的 播常数2 n /。

在 模光 中n 近似等于原 芯折射率 n 1 (0) 。

n 2 n aver 2 n 2n aver 2nnavercos( ) ⋯⋯（ 2.8由于）n avern avernn aver nz2navernaver2n aver 22其中：D n cos( z)i 2cos( z) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2.9)所以ik 0 n2令耦合系数 Cn ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2.10)将 2.8,2.9代入 2.5和 2.6得：da1i 2C a1 cos( z) exp(i 2z)dz⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 2.11）da 1i 2C a1 cos( z) exp(i 2z)dz又 cos(z)cos(2z)1i2ei2) 代入2.6，并省略高次 exp[i 2()z] (e2da1iC a 1 exp[ i2z]dz⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 2.12）da 1iC a1 exp[i 2z]dz其中折射率区(Z1, Z 2 ) ,度L，不得到界条件：在Z1L＝0， a1 (0) 1 ，在Z 2， a 1 ( L)0。

利用此界条件，可解出方程 2.7a1 (Z )exp(i z){sinh[ S(z L )]iS cosh[S(z L )]}[sinh(SL)iS cosh(SL)](2.13)C exp(i z) a 1 ( Z )[sinh( SL)sinh[ S( z L )]iS cosh(SL)]其中： S2 C 22因此得到端口 ( z = 0)当 C 22入射光的反射率：a1 (0)2C 2 sinh2 (SL)R( , L)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2.14) a1 (0)2 sinh2 (SL)S2 cosh2(SL)当0 ，即2n，足相位匹配条件， 2.9可以化：Rmax tanh 2 (CL )当 C 22,入射光的反射率a1 (0)22 sin2 (QL ) R( , L)Ca1 ( 0)2k 2cos2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2.15）QL 其中 Q 22 C 2由R 的表达式可以求得反射谱的半高全宽度(FWHM) 为：n ) 21FWHM B[(( ) 2 ] 2 （2.16）2nL对弱反射 (峰值反射率较低 ) 光栅一般还须在上式右端乘以系数0. 5 加以修正。

3光线光栅的特性分析a ）：反射率与光栅长度的关系 反射率是光纤光栅的一个重要参数2.14和 2.15直接描述了反射率 R 和光栅长度 L 的关系。

下面图 3.1,3.2,.3.3分别描述了不同耦合系数（即不同 n ）时候， R 和 L 的关系。

光栅中心波长827.5nm ， V ＝ 2.405， Cnn * (11 ) 折射率扰动V 2n 分别为1* 10 4 ,2 * 10 4 ,3* 10 4 ,4 * 10 4 。

图 3.1 反射率与光栅长度的关系可见对折射率扰动大的光栅，长度较短也可以达到高的反射率。

图 3.2描述n 分别为6 * 104,8 * 104,1* 103,2 * 103时，反射率与光栅长度的关系。

图 3.2反射率与光栅长度的关系图 3.3描述n 分别为1* 105,2 * 105,3 * 105,4 * 105时，反射率与光栅长度的关系。

图 3.3反射率与光栅长度的关系b）：有效长度L c与折射率扰动的关系取反射率 R＝0.9时，光栅长度为有效长度L c，可得有效长度L c与n 的关系。

n 从0变化到5 * 104，其他参数仍照上面选取，可以得到如下曲线：图 3.4 光栅有效长度和折射率扰动的关系可见在反射率一定的情况下，折射率扰动越大，光栅的长度可以做的越短。

图 3.5,3.6描述了n 从0变化到5 * 103，0变化到5 * 105时候L c与n 的关系。

图 3.5 光栅有效长度和折射率扰动的关系图 3.6 光栅有效长度和折射率扰动的关系c）：谱线宽度光栅的另一个重要特性是谱线宽度，我们取半峰谱线宽度为光栅线宽。

图 .3.7描述了n 变化对的影响。

折射率扰动大会加宽谱线带宽，光栅的谱线宽度还与光栅长度L 有关。

图 3.8描述了n1* 10 4时，线宽和光栅长度 L 的关系。

n 1根据公式[(2( L )2]2 ，我们取中心波长 1.5497 * 10 6 m ，FWHM B2n)b n＝ 1.462， 5.3* 107，L 6 * 104 m ，n 0 ~ 5 * 10 5图 3.7 线宽与折射率的关系3.8 与光度的关系d：）光光反射光特性根据公式：2C 2 sinh2 (SL)R( , L) a 1 (0)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2.14) a1 (0)2 sinh2 (SL) S2 cosh2(SL)当0 ，即2n ，足相位匹配条件， 2.9可以化：Rmax tanh 2 (CL )当 C 22,入射光的反射率a1 (0)22 sin2 (QL )R( , L)Ca1 ( 0)2k 2cos2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2.15）QL其中 Q 22 C 2我假光各参数：b 1.5497 * 106 m ，＝1.462，5.3 * 107，nL 6* 10 4 m ， n 4 * 103， V ＝ 2.405得到 3.9光反射光特性曲3． 9光栅反射光谱特性曲线从上图我门可以得出2个结论：（1）：存在峰值反射率。

当δβ=0 时，有峰值反射率;当δβ≠ 0 时 ,反射谱有边带存在带的反射率大大降低。

δβ= 0 时有λ = 2nΛ = B ,这称为光纤光栅的Bragg 条件 ,其中,边B 为Bragg波长。

即在一阶Bragg波长 2 nΛ =B处 ,有最大反射率R max tanh 2 (CL ) 。

（2）：λ= B时,由上式可以看出 :耦合系数愈高 ,峰值反射率愈高 ,愈接近于 1 ,反射谱边带的峰值反射率也相应增大。