由定理 8 知: A 次合同于 D r。 由于矩阵的次合同是一种等价关系, 所以由定理 11 知以下推论 3, 推论 4 成立。 推论 3 两 n 阶复次对称阵A 与B 次合同的充要条件是秩A = 秩B 。 推论 4 复数域上一切 n 阶次对称阵按次合同分类可分成 n + 1 类。 定理 12 每一秩为 r 的 n 阶实次对称阵A 都次合同于 n 阶次对角阵
(渝州大学数学系, 重庆, 400033) (内江师专数学系, 内江, 641002)
摘 要 给出了次正交矩阵的概念及简单性质; 并给出了矩阵次合同的一系列 充要条件。 关键词 次正交矩阵; 次合同矩阵; 次正定矩阵 中国图书资料分类法分类号 O 151121
1 矩阵的次正交性
定义 1 设A 为 n 阶实矩阵, 如果
(1) A
A ST = A A ST = I = 1
又由文[ 2 ] 命题 2 知: A S T = A
所以 A 2 = 1, 即 A = ± 1, (2) 显然
(3) A 3 = A A - 1 = A A S T , 所以
A 3 A 3 S T = A A S T ( A A ) S T S T = A 2A S TA = I
所以A =
a 0 或 0 c- 1
0 a- 1
c0
推论 2 (1) 以下对角阵与次对角阵必为 2r 阶次正交矩阵:
a1
a
1
1
ar
a
r
1
与
a
r
1
ar
a
1
1
a1
第1期
袁晖坪 等: 次正交矩阵与次合同矩阵
7
(2) 以下对角阵与次对角阵必为 2r + 1 阶次正交阵 (其中 b 为 1 或 - 1)。
B = P S TA P 于是, 秩 B = 秩 (P S TA P ) = 秩 A , 且
B 为次对称阵 Ζ P S TA S T P = B S T = B = P S TA P Ζ A S T = A Ζ A 为次对称阵。 定理 8 设A 、B 为数域 F 上 n 阶矩阵, 则B 与A 次合同的充要条件是 J B 与 J A 合同。 证明 B 与 A 次合同 Ζ 存在 F 上 n 阶可逆阵 P 使 P S TA P = B 即 J P ’J A P = B Ζ 存 在 F 上 n 阶可逆阵 P 使 P ’J A P = J B Ζ J B 与 J A 次合同。 定理 9 A 为 n 阶次对称阵的充要条件是A 次合同于 n 阶次对角阵
Κn
Κ2 Κ1
=D
8
渝州大学学报 (自然科学版)
第 15 卷
证明 A 为 n 阶次对称阵[2]Ζ J A 为 n 阶对称阵 Ζ J A 合同于对角对 d iag (Κ1, Κ2, …, Κn) = J D Ζ A 次合于 n 阶次对角阵D 。
定理 10 A 为 n 阶实次对称阵的充要条件是存在 n 阶正交阵 P 使
第 15 卷第 1 期 V o l. 15 . 1
渝州大学学报 (自然科学版) JOU RNAL O F YU ZHOU U N IV ER S IT Y (N a t. Scien. Edit. )
1998 年 3 月 M a r. 1998
次正交矩阵与次合同矩阵Ξ
袁 晖 坪ΞΞ
张 勇 黄 永 忠
0
00
0 - J r- p 0 = D rp
Jp
0
0
称D rp 为实次对称阵A 的次合同标准形, 其中 p 称为A 的次正惯性指数。 证明 因为A 是秩为 r 的 n 阶实次对称阵, 所以J A 是秩为 r 的 n 阶实对称阵, 因而J A
合同于 n 阶对角阵。
Ip
0
0
0
00
0 - I r- p 0 = J 0 - J r- p 0 = J D rp
推论 9 n 阶实次对称阵次正定的充要条件是存在 n 阶实可逆阵Q 使A = J Q ’Q。
证明 n 阶实次对称阵A 次正定 Ζ J 次合同于A Ζ 存在 n 阶实可逆阵Q 使A = Q S TJ Q ,
即 A = J Q ’Q。
参考文献
1 秦兆华 1 关于次对称阵与反次对称阵 1 西南师范学院学报, 1985, (1) : 100～ 110 2 秦兆华 1 矩阵的次转置及实次对称阵的次正定性 1 渝州大学学报 (自然科学版) , 1994, (1) : 14～ 18 3 钟润华 1 关于矩阵的次合同 1 渝州大学学报 (自然科学版) , 1997, (2) : 36～ 37 4 曹莉莉 1 次 H erm ite 矩阵的次正定性 1 西南师大学报 (自科版) , 1996, (3) : 235～ 239
1 2
(n
+
1) (n +
2) 类。
定理 13 n 阶实次对称阵A 次正定的充要条件是A 的次正惯性指数等于 n。
证明 由定理 12 的证明过程及[ 2 ] 中定理知: n 阶实次对称阵A 次正定 Ζ n 阶实对称
阵 J A 正定 Ζ J A 的正惯性指数等于 nΖ A 的次正惯性指数等于 n。
A ’= J A S T J = J S TA S TJ 所以 A ’与 A S T 次合同。
(4) 因 A 与 - A 次合同, 所以存在 n 阶实可逆阵 P 使 - A = P S TA P , 从而 (- 1) n A = - A = P S TA P = P S T A P = A P 2
又 A 可逆, 所以 A ≠ 0, 于是 (- 1) n = P 2 > 0, 故 n 为偶数。 (5) 因A 次合同于B , 所以有可逆阵 P 使
0 00
Jp
0
0
第1期
袁晖坪 等: 次正交矩阵与次合同矩阵
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由定理 8 知: A 次合同于 D rp。 由于矩阵的次合同是一种等价关系, 所以由定理 12 显然有 推论 5 两 n 阶实次对称阵A 与B 次合同的充要条件是秩A = 秩B , 且A 、B 的次正惯
性指数相等。
推论ห้องสมุดไป่ตู้
6
一切
n
阶实次对称阵按次合同分类可分成
同理 A 3 S TA 3 = I , 故 A 3 为次正交矩阵。 定理 2 设A 、B 均为 n 阶次正交矩阵, 则A B 也是 n 阶次正交矩阵, 特别A ’= J A S TJ 为
次正交阵 (其中, J 是次对角线上元素全是 1, 其余元素全为 0 的 n 阶矩阵)。
证明 因A 、B 均为次正交阵, 所以
A A S T = A S TA = I , B B S T = B S TB = I
于是
(A B ) (A B ) S T = A B B S TA S T = A A S T = I
(A B ) S T (A B ) = B S TA S TA B = B S TB = I
Ξ 收到日期: 1997209208 ΞΞ 男, 39 岁, 副教授
推论 1 第二类次正交矩阵A ( A = - 1) 必有特征根 - 1。
证明 因为单位阵 I 为次正交阵, 且 IA = A = - 1, 所以由定理 6 知: I + A =
0, 故 (- 1) I - A = 0, 因而 - 1 为A 的特征根。
定理 7 任何二阶次正交矩阵都可表为
a 0 或 0 c- 1
(1) A - 1B A 为次对称阵 Ζ B 为次对称阵。 (2) A - 1B A 为反次对称阵 Ζ B 为反次对称阵 。 证 明 因为 A 为次正交阵, 所以 A - 1 = A S T , 因而 (A - 1B A ) S T = A S TB S T (A - )1 S T = A - 1B S TA , 于是 A - 1B A 为次对称阵 Ζ A - 1B S TA = (A - 1B A ) S T = A - 1B A Ζ B S T = B Ζ B 为次对称阵。 A - 1B A 为反次对称阵 Ζ A - 1B S TA = (A - 1B A ) S T = - A - 1B A Ζ B S T = - B Ζ B 为反次 对称阵。
Κn
P S TA P = Κ2
=D
Κ1 其中 Κ1, Κ2, …, Κn 为 J A 的特征根。
证明 A 为 n 阶实次对称阵 Ζ J A 为 n 阶实对称阵 Ζ 存在 n 阶正交阵 P 使 P ’J A P = d iag (Κ1, Κ2, …, Κn) , 即 P S TA P = J P ’J A P = J d iag (Κ1, Κ2, …, Κn) = D 。
推论 7 设两 n 阶实次对称阵A 与B 次合同, 则A 次正定的充要条件是B 次正定。
证明 因为A 次合同于B , 所以A 与B 的次正惯性指数相等, 于是由定理 13 知:
A 次正定 Ζ B 次正定。
推论 8 n 阶实次对称阵A 次正定的充要条件是A 次合同于 J 。
证明 n 阶实次对称阵A 次正定 Ζ A 的次正惯性指数等于 nΖ A 次合同于 J 。
定理 4 设A 为 n 阶实矩阵且A 2 = - I , 则A 为次正交阵的充要条件是A 为反次对称 阵。
证明 因为 A 2 = - I , 所以 A - 1 = - A , 于是 A 为次正交阵 Ζ A - 1 = A S T Ζ A S T = - A Ζ A 为反次对称阵。
定理 5 设A 为 n 阶次正交矩阵, 则
定理 11 每一秩为 r 的 n 阶复次对称阵A 都次合同于 n 阶次对角阵
00 = Dr
Jr 0
称为复次对称阵A 的次合同标准形。 证明 因为A 为秩为 r 的 n 阶复次对称阵, 所以J A 是秩为 r 的 n 阶复对称阵, 因而J A
合同于 n 阶对角阵
Ir 0
00
=J
= JD r
00
Jr 0
a1
a
1
1
ar
b
a
r
1
与
a
r
1
b
ar
a
1
1
a1
证明 由次正交阵的定义知推论 2 显然成立。
2 矩阵的次合同性
定义 2 设A 、B 为数域 F 上两 n 阶矩阵, 若存在 F 上 n 阶可逆阵 P 使 B = P S TA P
则称B 与A 次合同, 或称A 次合同于B , 特别地, 若 P 为次正交阵, 则 P S TA P = P - 1A P = B , 此时, 次合同与相似是一致的。
A A S T = A S TA = I
即
A - 1 = A ST
则称A 为 n 阶次正交矩阵。
定理 1 设A 为 n 阶次正交矩阵, 则
(1) A = ± 1, (2) A - 1, A S T 也是次正交阵,
(3) A 的伴随矩阵A 3 也是次正交矩阵。
证明 因为A 为次正交阵, 所以
A A S T = A S TA = I
定理 6 若A , B 均为 n 阶次正交阵, 且 A B = - 1, 则 A + B = 0。
证明 因为A + B = A ( I + A - 1B ) = A (B - 1 + A - 1)B , 所以 A + B = A B - 1 + A - 1 B = A B B S T + A S T = - (A + B ) S T = - A + B , 所以 A + B = 0。
0 a- 1
c0
证明 设A = a b 为次正交阵, 则
cd
ab db
ad + bc
=
cd ca
2cd
所以 ad + bc = 1, 2ab = 0, 2cd = 0
2a b =
cb + d a
10 01
当 b = 0 时, 必有 a ≠ 0, c = 0, d = a- 1
当 b ≠ 0 时, 必有 a = 0, d = 0, c = b- 1
由定义 2 易得。 推论 3 (1) [3] 矩阵的次合同是一种等价关系。 (2) [3 ]次对称可逆阵 A 与 A - 1 次合同。 (3) 若 A 为 n 阶矩阵, 则 A ’与 A S T 次合同。 (4) 若A 为 n 阶可逆阵, 且A 与 - A 次合同, 则 n 为偶数。 (5) 若A 次合同于B , 则秩A = 秩B 且A 为次对称阵 Ζ B 为次对称阵。 证明 (3) 因有可逆阵 J 使
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渝州大学学报 (自然科学版)
第 15 卷
故A B 为次正交矩阵。
定理 3 设 n 阶实矩阵A 满足A 2 = I , 则A 为次正交阵的充要条件是A 为次对称阵。 证明 因为A 2 = I , 所以A - 1 = A , 于是A 为次正交阵 Ζ A - 1 = A S T Ζ A S T = A Ζ A 为 次对称阵。