© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net收稿日期:20030710基金项目:航空科学基金项目(02C53019)资助作者简介:刘晓宁(1976-),男(汉),山东,

博士研究生刘晓宁文章编号:100328728(2004)1021191203

三自由度齿轮传动系统的非线性振动分析

刘晓宁,王三民,沈允文

(西北工业大学,西安　710072)

摘　要:在建立三自由度齿轮间隙非线性动力学模型的基础上,利用增量谐波平衡法获得了受到参数激励和外部谐

波激励的三自由度齿轮传动系统模型的周期响应,包括稳定和不稳定的周期轨道,并利用Floquet理论研究其稳定

性、分岔类型,对系统的参数变化进行分析,研究了系统通向混沌的倍周期分岔道路和拟周期分岔道路,绘制了系统

周期解分岔图。

关　键　词:齿轮转子轴承传动系统;增量谐波平衡法;Floquet理论

中图分类号:TH13 文献标识码:A

NonlinearVibrationsof32DOFGearedRotor2BearingSystem

LIUXiao2ning,WANGSan2min,SHENYun2wen(NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi′an710072)

Abstract:Theincrementalharmonicbalance(IHB)methodisusedtoobtainperiodicmotionsofa32DOFnon2

linearmodelofagearedrotorsystemsubjectedtoparametricandexternalharmonicexcitations.Thestabilityof

theperiodicmotionsisinvestigatedbytheFloquettheory,thebifurcationbehavioristraced.Parametricstudies

areperformedtounderstandtheeffectofsystemparameterssuchasexcitationfrequencyonthenonlineardy2

namicbehaviors.

Keywords:Gearedrotorbearingsystem;Incrementalharmonicbalance(IHB)method;Floquettheory

齿轮传动是应用最为广泛的一种机械传动形式。在齿

轮传动系统中,由于齿侧间隙、支承间隙、时变刚度等因素

的存在,导致系统产生强非线性振动,这种振动往往表现为

系统的分叉、混沌振动现象,会对机械传动系统的工作性能

和可靠性产生很大影响。因此,齿轮传动非线性系统的非

线性振动研究引起了广泛的关注[2～5]。

从齿轮传动系统间隙非线性动力学研究来说,大部分

的研究都是借助数值方法探讨系统分叉、混沌等现象的存

在。增量谐波平衡法(IHB)作为求解非线性微分方程周期

解的解析方法,具有精度高,适用于求解周期激励问题的特

点,尤为重要的是能够求解出混沌吸引子内部的不稳定周

期轨道,这也恰恰是实现混沌控制的目标稳定轨道。

本文综合利用增量谐波平衡法和数值方法研究三自由

度齿轮传动系统的动态特性,考察系统参数对动态性能的

影响,并结合应用Floquet理论探讨了通向混沌的倍周期和

拟周期分叉道路。1　三自由度齿轮转子轴承系统的间隙非线性模型及方程

图1　三自由度非线性齿轮传动系统模型

如图1所示的三自由度非线性齿轮传动系统模型,齿

轮部分包括齿轮惯量Ig1和Ig2,齿轮质量mg1和mg2,基圆

直径dg1和dg2。齿轮啮合由非线性位移函数fh和时变刚度

kh(t-),线性粘性阻尼ch描述。轴承和支撑轴的模型则由

等效的阻尼元件和非线性刚度元件表述。阻尼元件具有线第23卷　第10期 机械科学与技术 Vol.23　No.10　2004年　10月 MECHANICALSCIENCEANDTECHNOLOGY October　2004

© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net性粘性阻尼系数cb1、cb2,非线性刚度元件由近似分段线性的间隙型非线性力2位移函数fb1、fb2,以及相应的刚度参数

kb1、kb2确定。同时考虑因输入扭矩Tg1波动引起的低频外

激励和静态传动误差e-(t-)导致的高频内部激励,忽略输出扭矩Tg2的波动,并假设在两边的滚子轴承均作用有外径

向预载力Fb1、Fb2。整个系统关于齿轮宽度中分平面对称,

系统的轴向运动可以忽略不计。

根据牛顿力学定律,上述的齿轮传动系统的横向2扭转

运动微分方程表示为

mg1y-″g1+cb1y-′g1+ch(x-′+y-′g1-y-′g2-e-′)+kb1fb1(y-g1)+

kh(t-)fh(x-+y-g1+y-g2-e-)=-Fb1(1)

mg2y-″g2+cb2y-′g2-ch(x-′+y-′g1-y-′g2-e-′)+kb2fb2(y-g2)-

kh(t-)fh(x-+y-g1-y-g2-e-)=Fb2(2)

mc1x-″+ch(x-′+y-′g1-y-′g2-e-′)+

kh(t-)fh(x-+y-g1+y-g2-e-)=Fm+FaT(t-)(3)

式中:

x-(t-)=dg12θg1(t-)-dg22θg2(t-)(4)

mc1=1d2g14Ig1+d2g24Ig2,　Fm=2Tg1mdg1=2Tg2mdg2(5)

FaT(t-)=mc1Tg1a(t-)2Ig1

kh(t-)=kh(t-+2π/Ω-h)=khm+∑∞

r=1kharcos(rΩ-ht-+

(6)

fbi(y-gi)、fh(p-)分别为轴承径向间隙和齿侧间隙构成的间

隙非线性力2位移函数,即

fbi(y-gi)=y-gi-bbi　y-gi>bbi0　-bbi

(7)

引入新的变量p-(t-),定义其为动态传动误差与静态传

动误差e-(t-)的差值,即

p-(t-)=dg12θg1(t-)-dg22θg2(t-)+y-g1(t-)-y-g2(t-)-e

-

(t-)

同时对方程进行无量纲化处理,忽略轴承径向间隙引

发的非线性力2位移关系,

忽略扭矩波动引起的低频外激

励项,最终得到实际动力学分析考察的齿轮系统微分方

程,即

100

01

0

-111y・・

g

1(t)

y・・g2(t)

p・・(t)+2ζ110ζ130ζ22-ζ2300ζ33y・g1(t)

y・g2

(t)

p・(t)+k110k13(t)

0k22-k23(t)

00k33(t)yg1yg2fh(p)=-Fb1Fb2Fm+0

0

FahrΩ2hsin(Ωht)

(8)

式中:

k33(t)=1-εcos(Ωht)

fh=p-1p>1

0-1

p+1p<-1(9)

2　齿轮系统非线性振动特性分析

下面使用增量谐波平衡法求解系统的周期稳态响应,

包括稳定和不稳定解。这里,重点研究激励频率对系统动

力学特性的影响。周期解的稳定性由Floquet理论进行分

析,量纲一化频率Ωh作为分叉参数,主要的目标是描绘分

叉路径及分叉类型的识别。响应曲线根据各个变量在对应

频率的每周期内最大值作为幅值绘出。

2.1　通向混沌的倍周期分叉道路

模型的各个参数设置如下:ζ11=ζ22=0,ζ13=ζ23=0.0125,ζ33=0.05,k11=k22=1.25,k23=k13=0.253k33,

Fm=0.1,Fdhr=0.05,Fb1=Fb2=0,ε=0

.2,参数激励的

频率和外激励的频率一致,考察激励频率Ω在1.54～1.39

区间系统的响应特性,可以看到系统在Ω缓慢变化下发生

了重复的倍周期分叉:由周期1变到周期2再变到周期4直

至混沌态。用IHB获得的变量p的响应曲线由图2(a)给出,

图中实线表示稳定周期解,虚线为不稳定周期解。

响应曲线由a点(Ω=1.54)开始,随着系统激励频率

的减小,首先出现的是周期1响应,对应周期为2π/Ω,到达

b点(Ω=1.510)后,周期1解分叉为周期二解。根据b点处

的一个Floquet乘数从-1的方向离开了单位圆,分叉性为

倍周期分叉。

图2　通向混沌的倍周期分叉道路2911 机械科学与技术 第23卷

© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net随着激励频率的进一步降低,周期2在点c(Ω=1.498)

再次经历了倍周期分叉,导致一个稳定的周期4解,和不稳定

的周期2解。必须指出的是,系统在发生两次倍周期分叉后,并

没有发生预期的进一步倍周期分叉,在点d(Ω=1.447)计算

发现,由一对共轭的Floquet乘数离开单位圆表征,系统出现了

Hopf分叉,最终导致系统进入混沌状态。

用IHB方法获得的单周期解、2周期解和4周期解的

相图分别见图2(b)、图2(c)、图2(d),依次对应激励频率Ω

=1.53、Ω=1.51、Ω=1.48时的系统响应。周期解和次谐

波解在计算过程中使用的谐波级数分别为4,8,16,图中的”

x”记号表示采用四阶定步长Runge2Kutta法数值求解的结

果,取得的结果与数值方法完全吻合,在使用IHB获得周期

解的迭代步骤中,修正项R的误差小于1.0×10-6。

2.2　通向混沌的拟周期分叉道路

在激励频率的低频范围内存在通向混沌的拟周期道路。

再次采用量纲一化频率Ω作为分叉参数,在拟周期区域内,

系统的参数设置为:ζ11=ζ22=0.01,ζ13=ζ23=0.0125,ζ33=0.05,k11=k22=0.25,k23=k13=0.253k33,Fm=0.1,

Fdhr=0.05,Fb1=Fb2=0,ε=0.2参激频率和外激励频率

与前述相同,设为一致。通过IHB方法获得的变量p的周期

响应曲线见图3(a)。

响应曲线从a点(Ω=1.70)开始,首先为对应激励

2π/Ω的周期1解,周期1保持至b点(Ω=1.044633),到这

里发生了鞍2结分叉(saddle2nodebifurcation),可以看到转换

矩阵某一Floquet乘数从+1的方向离开了单位圆,周期1

变得不稳定。响应幅值随着Ω的减小开始减小,在c点(Ω

=0.950),某一Floquet乘数从+1的方向进入了单位圆,系

统再次发生了鞍2结分叉,周期1解再次变得稳定。因此,

在b点和c点之间,存在着两个稳定的周期1响应和一个不

稳定的周期1响应。图3(b)为Ω=0.99时由IHB方法求

解的系统相图,实线表示变量p的稳定周期解,虚线表示不

稳定的周期解,图中的”x”记号表示采用四阶定步长Runge2

Kutta法数值求解的结果,数值解和IHB的结果完全吻合。

图3　通向混沌的拟周期分叉道路随着Ω的增加,到了d点(Ω=1.270),周期1解失去了

稳定性,发生Hopf分叉,导致了系统的拟周期响应。从特征

值向量中,我们可以看到,一对复共轭的特征值离开了复平

面中的单位圆。在区域d2e(Ω=1.530)中,拟周期响应分

叉进入混沌状态。图3(c)、图3(d)为系统在Ω=1.30发生

拟周期响应时变量p的相图和Poincaré截面图。e点处,周期

1解再次变得稳定,此时一对复共轭特征值进入了单位圆。

3　结论

(1)建立了具有间隙非线性和时变啮合刚度激励的三

自由度齿轮传动微分方程;

(2)编制了针对齿轮传动系统的增量谐波平衡法求解

及周期解稳定性判定的程序;

(3)用增量谐波平衡法获得了受到参数激励和外部谐

波激励的三自由度齿轮传动系统模型的周期响应,包括稳

定和不稳定的周期轨道;对用增量谐波平衡法计算出的周

期解,利用Floquet理论研究其稳定性、分岔类型响,研究了

系统通向混沌的倍周期分岔道路和拟周期分岔道路,绘制

了系统周期解分岔图。

需要进一步建立多级的齿轮传动系统的动力学模型,

关于如何在深入探讨系统动力学行为的基础上进而对其混

沌振动进行抑制有待于更深入的研究。

[参考文献]

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