矩阵的合同，等价与相似
一、矩阵的合同，等价与相似的定义、性质及判定条件
（一）矩阵的等价：
1、定义：若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与
B 等价，记为A B ≅。
2、性质：
（1）反身性：即A A ≅.
（2）对称性：若A B ≅，则B A ≅
（3）传递性：即若A B ≅，B C ≅，则A C ≅
（4） 若A 为m n ⨯矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）
和Q （n 阶），使得000r
m n
I PAQ B ⨯⎛⎫
==
⎪⎝⎭.其中r I 为r 阶单位矩阵. （5） 设A B 、是两m n ⨯矩阵，则A B ≅当且仅当()()r A r B =
3、判定：
矩阵等价的充要条件：
两个s n ⨯矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的
n 阶矩阵Q ，使B PAQ =
由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件： （1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）.
（2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =.
（二）矩阵的合同： 1、定义：
两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则
称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。 2、性质：
（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同.
（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同.
（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同. 因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.
（4） 数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同. （5） 复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形： 2
2
212r f y y y =++
3、判定
定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵. (2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =
（三）矩阵的相似 1、定义：
n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、性质：
性质3
(1)反身性 T A E AE = ;
(2)对称性 由T B C AC =即得()11T
A C BC --=;
（3）传递性 111T A C AC =和2212T A C AC =即得 ()()21212T
A C C A C C 总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.
(4) 111
11221122()P k A k A P k P A P k P A P ---+=+（其中12,k k 是任意常数）；
(5）111
1212()()()P A A P P A P P A P ---=；
(6）若A 与B 相似，则m A 与m B 相似（m 为正整数）；
(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果1
B P AP -=为满秩矩阵，那么1
1111()B
P AP P A P -----==.
即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似. (8）相似的矩阵有相同的行列式；
因为如果1
B P AP -=，则有：1
1
B P AP P
A P A --===
(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；
设1
B P AP -=，若B 可逆，则1
1111()B P AP PA P -----==从而A 可
逆.且1
B -与1A -相似.
若B 不可逆，则1
()P AP -不可逆，即A 也不可逆.
下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理 定理4 相似矩阵的特征值相同.
推论3 相似矩阵有相同的迹.
3、判定：
设,A B 均为数域p 上n 阶方阵，若存在数域p 上n 阶可逆矩阵p 使得
B AP P =-1,则称矩阵A 与B 为相似矩阵（若n 级可逆矩阵p 为正交阵，则称A 与B 为正交相似矩阵）
由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A 与B 相似，必须同时具备两个条件
(1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵 (2) 在数域p 上n 阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1
二、矩阵的等价、合同和相似之间的联系
（一）由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系
1、相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵．
证明： 设n 阶方阵,A B 相似，由定义3知存在n 阶可逆矩阵1P ，使
得111P AP B -=，此时若记1
1P P -=,1Q P = ,则有PAQ B =,因此由定义1得到n
阶方阵,A B 等价
反过来，对于矩阵100010A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,121010B ⎛⎫
= ⎪⎝⎭等价，但是A 与B 并
不相似，即等价矩阵未必相似．
2、 对于n 阶方阵,A B ，若存在n 阶可逆矩阵,P Q 使PAQ B =,(即A 与
B 等价)，且PQ E = (E 为n 阶单位矩阵)，则A 与B 相似．
证明： 设对于n 阶方阵A 与B ,若存在n 阶可逆矩阵,P Q ,使PAQ B =,即A
与B 等价．又知PQ E =,若记11P P -= ,那么1Q P =,也即1
11P
AP B -=,则矩阵,A B 也相似．
3、 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．
证明： 设n 阶方阵,A B 合同，由定义2有，存在n 阶可逆矩阵1P ，使得11T P AP B =，
若记1T P P =,1Q P =,则有PAQ B =因此由定义1得到n 阶方阵,A B 等价