第３２卷第４期
２０１１年８月
华北求和ｊ水电学院学报
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｒｔｈ Ｃｈｉｎａ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｗａｔｅｒ Ｃｏｎｓｅｒｖａｎｃｙ ａｎｄ Ｈｙｄｒｏｅｌｅｃｔｒｉｃ Ｐｏｗｅｒ
Ｖｏ１．３２ Ｎｏ ４
Ａｕｇ。２０１１
文章编号：１００２—５６３４｛２垂ｔ１）ｏ４一 ５９一啦
平方可和算子值函数空间的标准正交基
张海模
（黄淮学院数学科学系，海南驻马店４６３０００）
摘要：给出了平方可和算子值函数空间的标准正交基，同时指出解析函数空间 为其特殊情形。
关键谲：平方可和算子值函数空闯；Ｈｉｌｂｅｒｔ—Ｓｃｈｍｉｄｔ算子；Ｈｉｌｂｅｒｔ空阅
１ 预备知识
文献［Ｉ］在平方可和算子值函数空间中给出了 平方可和算子值函数空阅Ａ（ ）的概念．并证明了 Ａ（ ）是Ｈｉｌｂｅｒｔ空间．笔者在文献［１］的基础上给出 了平方可和算子值函数空间的标准正交基，同时还 指出解析函数空间 为其特殊情形。并对这类函数 的特点及性质进行了讨论． 用髫表示给定的复可分Ｈｉｌｂｅｒｔ空间， （ｔ－ｔ）， 露 （胃）分别表示 上的有界线算子和Ｈｉｌｂｅｒｔ— Ｓｃｈｍｉｄｔ算子的全体，Ｄ：｛ｚ，｝＝ｆ＜１）表示复平面 内开单位圆盘，ｆｆ．１ｌ：表示Ｈｉｌｂｅｒｔ—Ｓｃｈｍｉｄｔ的范数， ＜・，・＞：表示艿２（ ）中的内积弘 。 既然Ａ（ｚ）为一Ｈｉｌｂｅｒｔ空间，为了能够进一步 讨论平方可和算子值函数空间的结构，下面给出 Ａ（ ）的标准正交基． ２ Ａ（名）函数的标准正交基 定理设｛妒 ） 。，｛ ）田－。为 的任意２组标 准正交基，则｛ ④≯ ） ，（ｚ∈Ｄ）为Ａ（ ）的一 组标准正交基。 弓ｌ理Ｂ：（日）ｃＢ。（ ），且 ：（ ）中的任一算 子 为形如 矗＝∑Ａ 妒 ０ ， 』 …… ‘ ∑ 。＜∞ 的全连续算子全体，并且有 《Ａ ８：：∑ ｌ ， 证明 １）设｛ｚ ｃｐ ０ ， 为矗（ｚ）的一组
标准正交列，显然有
⑧ ∈Ａ（ｚ），后，ｉ＝０，１，２，…，
。 ０ ｝｛：｝｝妒 ＠ ； ：：｝； ｝｝ＩＩ ８：１，
＜ｚ ⑧ ｉ，ｚ ｉ④ ￡＞＾＝
ｆ ０，ｋ≠￡，
《
【＜ ＠妒 ， ＠ ＞２，
式中：＜９ ０砂 ，竹。 ＞ ＝
＜ ｉ， ＞＜ ｉ， ＞：
｛ ： ：
这表明＜＝ 妒；０妒 ） 为Ａ（：）的一组标准正
交列．
２）若 ｚ）∈Ａ（ｚ），且
ｚ）上｛ｚ ｉ＠ ） ：。，
则，（ｚ）＝０．
解析函数 ｚ）可写成
ｚ）＝∑Ａ ｚ
形式，由弓ｌ理可知每个Ａ 均可写成
Ａ ＝∑Ａ ’ ｏ ，ｉ＝０，１，２，…，
０：＜，（ｚ），ｚ 妒 ＠ ＞ ：＜矗 ，妒ｆ ０ ｊ＞２：
＜∑Ａ 壮 ④ ， ０ ＞２：Ａ 。
ｉ＝０
收稿日期：２０１ｉ一０６—１０
作者简介：张海模（ｉ９６５一），男 河南新蔡人，副教授，硕士，主要从事微积分、线性代数、概率统计等方面的研究
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这样Ｖ ｋ，Ａ ：０，从而有 ：）＝０．
由１），２）可知｛ｚ ｏ ｝≯ 为Ａ（ｚ）的一组
标准正交基，证毕．
３ Ａ（ｚ）函数的特点和性质
设厂（ ） Ａｎｚ （ Ａｉ 。 ）ｚ
∈Ａ（ｚ），由于｛ ｏ ） 为Ａ（ ）的一组标准
正交基，因此可以假设：
厂（＝）＝∑Ｏｋｉ（ ｏ ）ｚ ，
∑ ｌ ＜∞．
由于 Ａ ＝∑ａ ＠ ，
可令Ｅ。： ｏ ， Ｅ＝（Ｅ０，Ｅ１，…，Ｅ ，…），
则 （＝ ） ＝（１， ， ，…），
其中Ｔ表示矩阵的共轭转置．用（ａ ） 表示复数
矩阵，
ａ００ ａ１０
ａｏｌ ａｆ１
ａｏ ０ｌ
则 厂（ｚ）＝（Ｅ ）（ ）（ ‘），
特别当日为一维空间时，
，（ｚ）＝（ａ０，０。，ａ２，…）
此时Ａ（ｚ）恰为解析函数空间 ．
参 考 文 献
［１］朱石焕，郑颖慧．平方可和算子值函数空间［Ｊ］，安阳师
范学院学报，２００９（Ｏ２）：１４一ｌ５
［２］李国平，蹇明．算子函数论［Ｍ］．武汉：武汉大学出版
社，１９９６．
［３］Ｂｒａｎｇｅｓ Ｌ Ｄ，Ｒｏｖｎｙａｋ Ｊ．Ｓｑｕａｒｅ ｓｕｍｍａｂｌｅ ｐｏｗｅｒ ｓｅｒｉｅｓ
［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｈｏｌｔ Ｒｉｎｅｂａ￣ａｎｄ ｗｉｎｓｔｏｎ，１９６６．
Ｏｒｔｈｏｎｏｒｍａｌ Ｂａｓｉｓ ｏｆ Ｓｑｕａｒｅ ａｎｄ ｔｈｅ Ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｖａｌｕｅｄ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｓｐａｃｅ
ＺＨＡＮＧ Ｈａｉ．ｍｏ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｈｕａｎｇｈｕａｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｕｍａｄｉａｎ ４６３０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉ ｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ－ｓｑｕａｒｅ ｓｕｍｍａｂｌｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｖａｌｕｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ’ｓｐａｃｅ Ａ（ｚ）ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｉｔｓ ｂａｓｅ ａｎｄ ｉｔ ｐｏｉｎｔｓ
ｏｕｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｐａｃｅ ｏｆ ａｎａｌｙｔｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｓ ａ ｓｐｅｃｉａｌ ｃａｓｅ ｏｆ Ａ（ｚ）．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｐａｃｅ ｏｆ ｓｑｕａｒｅ；ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｖａｌｕｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ；Ｈｉｌｂｅｒｔ－Ｓｃｈｍｉｄｔ
（责任编辑：蔡洪涛ｌ
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