7 8

3 5 5 7

2 3 8 9

4 5 5 6

1 2 9 7

8 乙 甲 北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）

高三数学

（理科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________

本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

（1）23sin()6

（A）32 （B）12

（C）12 （D）32

（2）设4loga，14logb，4c，则a，b，c的大小关系是

（A） bca （B）acb （C） abc （D）bac

（3）已知{}na为各项都是正数的等比数列，若484aa，则567aaa

（A）4 （B）8 （C）16 （D）64

（4）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，12,xx分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，12,ss分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有

（A）12xx，12ss

（B）12xx，12ss

（C）12xx，12ss

（D）12xx，12ss

（5）已知p，q是简单命题，那么“pq是真命题”是“p是真命题”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（6）若实数yx,满足不等式组330101xyxyy，，，则2||zxy的取值范围是

（A）[1,3] （B）[1,11] （C）]3,1[ （D）]11,1[

（7）定义在R上的函数()fx满足)()6(xfxf.当)1,3[x时，2)2()(xxf,当)3,1[x时，xxf)(，则(1)(2)(3)(2015)ffff

（A）336 （B）355 （C）1676 （D）2015 l1l2OM(p,q)（8）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012aaa，其中{0,1}ia（0,1,2i），传输信息为00121haaah，001haa，102hha，运算规则为：000，011，101，110．例如原信息为111，则传输信息为01111．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是

（A）11010 （B）01100 （C）10111 （D）00011

第二部分（非选择题 共110分）

二、 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）若1()nxx的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n ，展开式中的常数项为

．（用数字作答）

（10）已知正数,xy满足xyxy，那么xy的最小值为 ．

（11）若直线12(32xttyt，为参数)与曲线4cos(sinxaya，为参数，0a)有且只有一个公共点，则a

．

（12）若双曲线22221(0,0)xyabab截抛物线24yx的准线所得线段长为b，则a ．

（13）已知非零向量,ab满足||1b，a与ba的夹角为120，则||a的取值范围是 ．

（14）如图，平面中两条直线1l和2l相交于点O，对于平面上任意一点M，若,pq分别是M到直线1l和2l的距离，则称有序非负实数对(,)pq是点M的“距离坐标”．

给出下列四个命题：

① 若0pq，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个．

② 若0pq，且0pq，则“距离坐标”为(,)pq的点有且仅有2个．

③ 若0pq，则“距离坐标”为(,)pq的点有且仅有4个．

④ 若pq，则点M的轨迹是一条过O点的直线．

其中所有正确命题的序号为 ．

三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

（15）（本小题共13分）已知函数2sin22sin()sinxxfxx．

（Ⅰ）求()fx的定义域及其最大值；（Ⅱ）求()fx在(0,上的单调递增区间．

GDEBCFA（16）（本小题共13分）某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．

（Ⅰ）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；

（Ⅱ）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．

（17）（本小题共14分） 如图，三棱柱ABCDEF的侧面BEFC是边长为1的正方形，侧面BEFC侧面ADEB，4AB，60DEB，G是DE的中点．

（Ⅰ）求证：CE∥平面AGF；（Ⅱ）求证：GB平面BEFC；

（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使二面角PGEB为45，若存在，求BP的长；若不存在，说明理由．

（18）（本小题共13分）已知函数()exfxxa．

（Ⅰ）当2ea时，求()fx在区间[1,3]上的最小值；（Ⅱ）求证：存在实数0[3,3]x，有0()fxa.

（19）（本小题共13分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为32，且椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P．证明：2||||2||AMANOP．

（20）（本小题共14分）

已知数列{}na的前n项和为nS，且满足1(3)aaa，nnnSa31，设nnnSb3，nN．

(Ⅰ)求证：数列{}nb是等比数列；

(Ⅱ)若1nnaa，nN，求实数a的最小值；

（Ⅲ）当4a时，给出一个新数列{}ne，其中3,1,,2.nnnebn设这个新数列的前n 项和为nC，若nC可以写成pt (,tpN且1,1pt)的形式，则称nC为“指数型和”．问{}nC中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．

北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）

高三数学参考答案及评分标准 （理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）D （3）B （4）B

（5）D （6）D （7）A （8）C

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）6 15 （10）4

（11）2 （12）255

（13）23(0,]3 （14）（1）（2）（3）

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）由sin0x，得xkkZ．

所以()fx的定义域为{|}xxkkRZ． „„„„„„„2分

因为2sin22sin()sinxxfxx，

2cos2sinxx

22cos()4x， „„„„„„„6分

所以()fx的最大值为22． „„„„„„„7分

（Ⅱ）函数cosyx的单调递增区间为[22kk（kZ）

由224kxk，xkkZ，且(0,x， 所以()fx在(0,上的单调递增区间为3[,4． „„13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．

则1223C2()C3PA，2435C3()C5PB．

因为事件A与B相互独立，

所以甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率为

224()()()()[1()]3515PABPAPBPAPB． „„„„„„„4分

（Ⅱ）设事件C为“丙同学选中C课程”．

则2435C3()C5PC．

X的可能取值为：0,1,2,3．

1224(0)()35575PXPABC．

(1)()()()PXPABCPABCPABC

2221321232035535535575．

(2)()()()PXPABCPABCPABC

2322231333335535535575．

23318(3)()35575PXPABC．

X为分布列为：

X

0

1

2 3

P 475 2075 3375 1875

420331814028()0123757575757515EX．„„„13分

（17）（共14分）

（Ⅰ）证明：连接CD与AF相交于H，则H为CD的中点，连接HG．

因为G为DE的中点，

所以HG∥CE．