北京市东城区2010-2011学年度综合练习（二）高三数学 （文科）2011.5一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、设集合U ={1,2,3,4,5},A ={1,2,3},B ={3,4,5}，则()U A B = ð（A ）{1，2，3，4} （B ）{1，2，4，5} （C ）{1，2，5} （D ）{3}2、若复数22(3)(56)i m m m m -+-+（R m ∈）是纯虚数，则m 的值为（A ）0 （B ）2 （C ）0或3 （D ）2或3 3、如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（A ）7.68 （B ）8.68 （C ）16.32 （D ）17.32 4、如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为 （A ）43 （B ）83（C ）4 （D ）8 5、已知3sin 4θ=，且θ在第二象限，那么2θ在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限6、已知点(1,2)A 是抛物线C ：22y px =与直线l ：(1)y k x =+的一个交点，则抛物线C的焦点到直线l 的距离是（A ）22（B ）2 （C ）223 （D ）22 7、△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若0OA AB OC ++= ，且||||OA AB =，则CA CB ⋅等于（A ）32（B（C ）3 （D）正视图侧视图俯视图8、已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9、已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且(1)2f -=,那么(0)(1)f f += ．10、不等式组0,10,3260x x y x y ≥⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域的面积等于 .11、在△ABC中，若45,B b ∠=︒=，则C ∠= .12、某地为了建立调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为 ；若从调查小组的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为 ．13、已知某程序的框图如图，若分别输入的x 的值为2,1,0，执行该程序后，输出的y 的值分别为,,a b c ，则a b c ++= ．14、已知等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 首项为b ，公比为a ，其中,a b 都是大于1的正整数，且1123,a b b a <<，那么a = ；若对于任意的*N n ∈，总存在*N m ∈，使得3n m b a =+成立，则n a = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15、（本小题共13分）已知πsin()410A +=π(0,)4A ∈．（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求函数()cos 25cos cos 1f x x A x =++的值域．C116、（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S （*n ∈N ）．（Ⅰ）证明:数列{}n a 是等比数列；（Ⅱ）若数列{}n b 满足*1()n n n b a b n +=+∈N ，且12b =，求数列{}n b 的通项公式．17、（本小题共13分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，D ，E 分别为BC ，1BB 的中点，四边形11B BCC 是正方形． （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1AC D ； （Ⅱ）求证：CE ⊥平面1AC D ．18、（本小题共13分）已知函数x a x x f ln )(2-=(R a ∈)．（Ⅰ）若2=a ，求证：)(x f 在(1,)+∞上是增函数； （Ⅱ）求)(x f 在[1,)+∞上的最小值． 19、（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点O，离心率e =，点M 为直线12y x =与该椭圆在第一象限内的交点，平行于OM 的直线l 交椭圆于,A B 两点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：直线MA ，MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形． 20、(本小题共14分)已知b a ,为两个正数，且a b >，设,,211ab b ba a =+=当2≥n ，*n ∈N 时，1111,2----=+=n n n n n n b a b b a a ． （Ⅰ）求证：数列{}n a 是递减数列，数列{}n b 是递增数列； （Ⅱ）求证：)(2111n n n n b a b a -<-++； （Ⅲ）是否存在常数,0>C 使得对任意*n ∈N ，有C b a n n >-，若存在，求出C 的取值范围；若不存在，试说明理由．北京市东城区2010-2011学年度第二学期综合练习（二）高三数学参考答案 （文科） 2011.5一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1、B 2、A 3、C 4、A 5、C 6、B 7、C 8、A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9、2- 10、4 11、10512、935 13、614、2 53n - 注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分）15、（共13分）解：（Ⅰ）因为π04A <<，且πsin()4A +=所以πππ442A <+<，πcos()4A +=． 因为ππcos cos[()]44A A =+-ππππcos()cos sin()sin 4444A A =+++45== 所以4cos 5A =． ……………………6分 （Ⅱ）因为()cos 25cos cos 1f x x A x =++ 22c o s 4c o sx x =+ 22(c o s 1)2x =+-，x ∈R ． 因为cos [1,1]x ∈-，所以，当cos 1x =时，()f x 取最大值6；当cos 1x =-时，()f x 取最小值2-．所以函数()f x 的值域为[2,6]-． …………………13分16、（共13分）（Ⅰ）证明：由34-=n n a S ，1n =时，3411-=a a ，解得11=a .因为34-=n n a S ，则3411-=--n n a S (2)n ≥， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-，C 1整理得143n n a a -=. 又110a =≠，所以{}n a 是首项为1，公比为43的等比数列. ……………………6分 Ⅱ、解：因为14()3n n a -=，由*1()n n n b a b n +=+∈N ，得114()3n n n b b -+-=.可得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b＝1)34(3341)34(1211-=--+--n n ，（2≥n ）， 当1n =时也满足，所以数列{}n b 的通项公式为1)34(31-=-n n b . ……………………13分17、（共13分）证明：（Ⅰ）连结1AC ，与1AC 交于O 点，连结OD ． 因为O ，D 分别为1AC 和BC 所以OD ∥1A B ． 又OD ⊂平面1AC D ，1A B ⊄平面1AC D ，所以1A B ∥平面1AC D ． ……………………6分（Ⅱ）在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ， 所以1BB AD ⊥．因为AB AC =，D 为BC 中点，所以AD BC ⊥．又1BC BB B = ， 所以AD ⊥平面11B BCC ． 又CE ⊂平面11B BCC ，所以AD ⊥CE ．因为四边形11B BCC 为正方形，D ，E 分别为BC ，1BB 的中点， 所以Rt △CBE ≌Rt △1C CD ，1CC D BCE ∠=∠． 所以190BCE C DC ∠+∠= ．所以1C D ⊥CE ．又1AD C D D = ，所以CE ⊥平面1AC D ． ……………………13分18、（共13分）（Ⅰ）证明：当2=a 时，x x x f ln 2)(2-=，当),1(+∞∈x 时，0)1(2)(2>-='xx x f ， 所以)(x f 在),1(+∞上是增函数． ……………………5分（Ⅱ）解：)0(2)(2>-='x xax x f ， 当0a ≤时，'()0f x >，()f x 在[1,)+∞上单调递增，最小值为(1)1f =．当0a >，当)2,0(ax ∈时，)(x f 单调递减； 当),2(+∞∈ax 时，)(x f 单调递增． 若12≤a，即02a <≤时，)(x f 在),1[+∞上单调递增， 又1)1(=f ，所以)(x f 在),1[+∞上的最小值为1． 若12>a ，即2>a 时，)(x f 在)2,1[a 上单调递减； 在),2(+∞a上单调递增．又ln 222a a a f =-， 所以)(x f 在),1[+∞上的最小值为ln 222a a a-． 综上，当2a ≤时，()f x 在[1,)+∞上的最小值为1；当2a >时，()f x 在[1,)+∞上的最大值为ln 222a a a-．………13分 19、（共14分）解：（Ⅰ）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则2c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得a = 所以椭圆方程为22182x y +=． ……………………5分（Ⅱ）由题意(2,1)M ，设直线l 的方程为12y x m =+． 由221,21,82y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得222240x mx m ++-=， 设直线MA ，MB 的斜率分别为12,k k ， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则11112y k x -=-，22212y k x -=-． 由222240x mx m ++-=，可得122x x m +=-，21224x x m =-，12122112121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----12211211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)x m x x m x x x +--++--=--121212(2)()4(1)(2)(2)x x m x x m x x +-+--=-- 21224(2)(2)4(1)(2)(2)m m m m x x -+----=-- 2212242444(2)(2)m m m m x x --+-+=--0=．即120k k +=．故直线MA ，MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形．………………14分20、(共13分)(Ⅰ)证明：易知对任意*n ∈N ，0>n a ，0>n b ．由,b a ≠可知,2ab ba >+即11b a >． 同理，11112b a b a >+，即22b a >． 可知对任意*n ∈N ，n n b a >．0221<-=-+=-+nn n n n n n a b a b a a a ， 所以数列{}n a 是递减数列．0)(1>-=-=-+n n n n n n n n b a b b b a b b ，所以数列{}n b 是递增数列． ……………………5分(Ⅱ)证明：)(212211n n n n n n n n n n n n b a b b b a b a b a b a -<-+<-+=-++． ……………………10分 （Ⅲ）解：由)(2111n n n n b a b a -<-++，可得1)21()(-⋅-<-n n n b a b a ． 若存在常数,0>C 使得对任意*n ∈N ，有C b a n n >-，则对任意*n ∈N ，C b a n >⋅--1)21()(．即C b a n222-<对任意*n ∈N 成立． 即Cb a n 22log 2-<对任意*n ∈N 成立． 设][x 表示不超过x 的最大整数，则有Cba Cb a 22log 1]22[log 22->+-． 即当1]22[log 2+-=C b a n 时，Cba n 22log 2->． 与Cb a n 22log 2-<对任意*n ∈N 成立矛盾． 所以，不存在常数,0>C 使得对任意*n ∈N ，有C b a n n >-． ……14分。