绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷( 银川一中第二次模拟考试 )注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果复数iai+-21(R a ∈,i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a 的值为 A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-32．若{}{}0,1,2,|2,a A B x x a A ===∈，则A B =UA ．{0,1,2}B. {0,1,23}，C. {0,1,24}，D. {1,24}，3. 向量)3,1(),,2(-==b t a ρ，若b a ρ,的夹角为钝角，则t 的范围是A ．t<32 B ．t>32 C ．t<32且t≠-6 D ．t<-6 4．直线kx-2y+1=0与圆x 2+(y-1)2=1的位置关系是 A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定5．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有 A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6．已知某个几何体的三视图如下，根据图中 标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 A ．162+ B ．122226+ C ．1822+ D ．1622+ 24227. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x=3π对称的函数是 A ．y=2sin(2x+3π) B ．y=2sin(2x-6π) C ．y=2sin(32π+x ) D ．y=2sin(2x-3π)8．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截 取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图 所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的 长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是 A ．i i ,iS S ,i 2120=-=< B ．i i ,i S S ,i 2120=-=≤C ．1220+==<i i ,SS ,iD ．1220+==≤i i ,SS ,i 9．已知α是第二象限角，且sin(53)-=+απ，则tan2α的值为 A ．54B ．723-C ．724-D ．924-10．已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为A. B. C. D.11．已知抛物线x 2=4y 焦点为F,经过F 的直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),点A,B 在抛物线准线上的射影分别为A 1,B 1,以下四个结论：①x 1x 2=4-, ②AB =y 1+y 2+1， ③11FB A ∠=2π，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2 其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ． 412．已知函数ax xe xf x -=)(，),0(∞+∈x ，当12x x >时，不等式1221)()(x x f x x f <恒成立，则实数a 的取值范围为A ．],(e -∞B ．),(e -∞C ．)2,(e -∞D ．]2,(e-∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．(x+y)(2x-y)5的展开式中x 3y 3的系数为_______.14．在锐角三角形ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23=c=7，且ΔABC 的面积为233，b a +的值为_______. 11y xo 11y xo 11y xo 11y xo15．如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． (1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在 较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针移到3号针 最少需要移动的次数记为f (n )，则f (n )＝________.16．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是A （0，0，5），B （3，0，0），C （0，1，0），D （3，1，5），则该四面体的外接球的体积 为______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分) 17．(12分)设数列{}n a 满足2311+=+n n a a ，41=a (1)求证：数列{a -3}n 是等比数列； (2)求数列{}n a 的前n 项和n T . 18．(12分)为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u (精确到个位) ; (2)研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布N (u ,2σ)(u =0u ,σ约为19.3)，按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%； (i)估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？(精确到个位)； (ii)从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y ，将频率近似看作概率，求Y 的分布列及数学期望E (Y ).(说明：)(1)(11σμ-ϕ-=>x x X P 表示X >x 1的概率.参考数据：)4.0)6554.0(,6.0)7257.0(=ϕ=ϕ 频率组距60 70 80 90100 110120 130140 150 分数0.0030.005 0.008 0.010 0.012 0.015 0.018 0.024 0ABCDPNM19．(12分)如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，PA=AD ，M 、N 分别 是AB 、PC 的中点.（1）求证：MN ⊥平面PCD;（2）若直线PB 与平面PCD所成角的正弦值为10, 求二面角N-MD-C 的正弦值. 20．(12分)动点M(x,y)满足6)22()22(2222=++++-y x y x (1)求动点M 轨迹C 的标准方程；(2)已知D(22,0),直线l ：k kx y 22-=，直线l 交C 于A,B 两点，设AD =λDB 且1<λ<2，求k 的取值范围. 21．(12分)已知函数x x x f 1ln )(+=，221ln )(2aax x x x g +-=，)(R a ∈.(1)讨论函数)(x f 的单调性；(2)若函数)(x g 有两个极值点，试判断函数)(x g 的零点个数.(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的方程为1)1(22=+-y x ，2C 的方程为3=+y x ，3C 是一条经过原点且斜率大于零的直线.（1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）若1C 与3C 的一个公共点为A （异于点O ），2C 与3C 的一个公共点为B ，求OBOA 3-的取值范围. 23．[选修4-5：不等式选讲](10分) （1）,c b a ,R c ,b ,a 1=++∈+且已知证明；9111≥++cb a （2）,abc ,R c ,b ,a 1=∈+且已知证明cb ac b a 111++≤++.银川一中2019届高三第二次模拟数学(理科)参考答案一、选择题：(每小题5分，共60分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DCCACBBDCBCD二、填空题：(每小题5分，共20分)13. 40 14.5 15. 21n - 16. 92π三、解答题：17：解：（1）Θ 2311+=+n n a a ，41=a∴)3(3131-=-+n n a a ，故{}3-n a 是首项为1，公比为31的等比数列，（2）由（1）知1313-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n a 故n T =3n+）（110313131-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛n =3n+31-131-1n⎪⎭⎫⎝⎛=3n+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛n 31-123 18. 解：19.解：如图，取PD 中点E ，连接EN,AE.(1) 证明：Q M,N,E 为中点，∴EN P AM, EN=AM=12AB, ∴AMNE 是平行四边形，MN P AE 又Q CD ⊥AD,CD ⊥PA∴CD ⊥面PAD, ∴面P CD ⊥面PAD Q PA=AD,E 为中点，AE ⊥面P CD ∴MN ⊥面PCD, （2）建立如图所示坐标系，设PA=AD=2，AB=2t,则A(0,0,0),B(2t,0,0),C(2t,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(t,0,0),N(t,1,1). 由（1）知MN ⊥面PCD,∴(2,0,2),(0,1,1)PB t MN =-=u u u r u u u u rQ 直线PB 与平面PCD所成角的正弦值为10, ∴由10PB MN PB MN•=u u u r u u u u r u u u r u u u u r 得t=2. 设(,,),m x y z m =⊥u r u r平面NMD ，则(2,2,0),(0,1,1)DM MN =-=u u u u r u u u u r由00DM m MN m ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u u u u r u ru u u u r u r得(1,1,1),m m =-=ur u r Q AP ⊥面CMD, (0,0,2)AP =u u u r,设二面角N-MD-C 为θ，θ为锐角则cos ,3sin 3APm AP mθθ==∴=u u u r u r u u u r u r20.解（1）解:M 点的轨迹是以(22,0),(-22,0)为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为1922=+y x ()2解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，由=λ得y 1=λ-y 2......由1<λ<2得k ≠0由y=kx-22k 得x=k k y 22+代入1922=+y x 整理(1+9k 2)y 2+42ky-k 2=0......② 显然②的判别式∆>0恒成立由根与系数的关系得y 1+y 2=219k-+......③ y 1y 2=2219k k-+......④ 由①③得)91)(1(2421k k y +-=λλ， )91)(1(2422k ky +--=λ代入④ 整理得 2132)1(329122-+=-=+λλλλk 设f(λ)=21-+λλ,则利用导数可以证明f(λ)在（1,2）上为增函数故得0< f(λ)<21所以291k +>64即k 的取值范围是k>7或k<7-21解：（1）：由题意可知函数)(x f 的定义域为),0(+∞，2ln )(x xx f -='，当)1,0(∈x 时：0)(>'x f ，所以)(x f 单调递增； 当),1(+∞∈x 时：0)(<'x f ，所以)(x f 单调递减；（2）：由题意得：01ln )(=-+='ax x x g 有两个不同的零点，即a xx =+1ln 有两个不同的根设为21x x <；由(1)得xx x f 1ln )(+=，当)1,0(∈x 时)(x f 单调递增；当),1(+∞∈x 时)(x f 单调递减； 有0)1(=ef ，1)1(=f 当),1(+∞∈x 时0)(>x f ，所以)1,0(∈a 时有2110x x <<<使a x x =+111ln ，a x x =+221ln 且函数)(x g 在)(),0(21∞+，，x x 单调递减，在),(21x x 单调递增，现只需比较)(1x g ，)(2x g 的正负进而确定零点个数。