高中数学圆锥曲线压轴题大全(总25页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-数学压轴题圆锥曲线类一1．如图，已知双曲线C ：x a yba b 2222100-=>>()，的右准线l 1与一条渐近线l 2交于点M ，F 是双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点.（I ）求证：O M M F→⊥→； （II ）若||MF →=1且双曲线C 的离心率e =62，求双曲线C 的方程；（III ）在（II ）的条件下，直线l 3过点A （0，1）与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q 且P在A 、Q 之间，满足A P A Q →=→λ，试判断λ的范围，并用代数方法给出证明.2．已知函数f x x n x n f n n x n n N ()()[()]()(*)=≤--+--<≤∈⎧⎨⎩00111，， 数列{}a n 满足a f n nN n=∈()(*) （I ）求数列{}a n 的通项公式； （II ）设x 轴、直线x a =与函数y f x =()的图象所围成的封闭图形的面积为Sa a ()()≥0，求S nS n n N ()()(*)--∈1； （III ）在集合M N N kkZ ==∈{|2，，且10001500≤<k }中，是否存在正整数N ，使得不等式a S n S n n->--10051()()对一切n N >恒成立？若存在，则这样的正整数N 共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N ；若不存在，请说明理由.（IV ）请构造一个与{}a n 有关的数列{}b n ，使得l i m ()n nb b b →∞+++12 存在，并求出这个极限值. 19. 设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程； （II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||A B F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线； （III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP O Q →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.3. 已知数列{}a n 的前n 项和为S n N n ()*∈，且S m m a n n=+-()1对任意自然数都成立，其中m 为常数，且m <-1. （I ）求证数列{}a n 是等比数列；（II ）设数列{}a n 的公比q f m =()，数列{}b n 满足：b a b f b n n 11113==-，() ()*n n N ≥∈2，，试问当m 为何值时，l i m (l g )l i m (n b a n b b b b b b n n →∞=→∞+++3122334…+-b b n n 1)成立？4．设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于P ，Q 两点，且P 分向量AQ 所成的比为8∶5．（1）求椭圆的离心率； （2）若过F Q A ,,三点的圆恰好与直线l ：033=++y x 相切，求椭圆方程．5．（理）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n ≥-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y 的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．（文）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n =-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y 的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．6．垂直于x 轴的直线交双曲线2222=-y x 于M 、N 不同两点，A 1、A 2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A 1M 与A 2N 交于点P （x 0，y 0）（Ⅰ）证明：;2202为定值y x +（Ⅱ）过P 作斜率为02y x -的直线l ，原点到直线l 的距离为d ，求d 的最小值. 7．已知函数x x x f sin )(-= （Ⅰ）若;)(],,0[的值域试求函数x f x π∈（Ⅱ）若);32(3)()(2:),,0(],,0[xf x f f x +≥+∈∈θθπθπ求证（Ⅲ）若)32(3)()(2,),)1(,(],)1(,[xf x f f Z k k k k k x ++∈+∈+∈θθππθππ与猜想的大小关系（不必写出过程）.数学压轴题圆锥曲线类二1．如图，设抛物线2:xy C=的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB. 2．设A 、B 是椭圆λ=+223y x上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）3． 已知不等式n n n 其中],[log 21131212>+++ 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足 ,4,3,2,),0(111=+≤>=--n a n na a b b a n n n（Ⅰ）证明 ,5,4,3,][log 222=+<n n b ba n （Ⅱ）猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当N n>时，对任意b>0，都有.51<n a4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若点P 为l 上的动点，求∠F 1PF 2最大值．5．已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =+．(Ⅰ)求函数()g x 的解析式；(Ⅱ)解不等式()()1g x f x x ≥--；(Ⅲ)若()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围．数学压轴题圆锥曲线类三1．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca P F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.2．函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g += （Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ；（Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.3．已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈（I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令212()nn f x a x a x a x=+++，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.4．已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程； （II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.5．椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程； （Ⅱ）若直线2:+=kx y l与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.6.数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a nn n 且. （Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=….7．已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(,21,110N n a a a a n n n ∈-==+ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+（2）求数列}{n a 的通项公式a n .1.解：（I ） 右准线l 12：x a c =，渐近线l 2：y bax =∴=+M a c a b cF c c a b()()22220，，，， ，∴→=O M a c a b c ()2， M F c a c a b c b c a bc →=--=-()()22，，O M M F a b c a bc O M M F →⋅→=-=∴→⊥→2222220 ……3分（II ） e b a e a b =∴=-=∴=621222222，，||()M F b c a b c b b a cb a →=∴+=∴+=∴==1111142222222222，，， ∴双曲线C 的方程为：x y 2221-= ……7分 （III ）由题意可得01<<λ ……8分证明：设l 31：y k x =+，点P x y Q x y ()()1122，，， x =由x y y kx 22221-==+⎧⎨⎩得()1244022--+=kx k x l 3与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q∴-≠=+->+=->=-->⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪∴≠±<<-<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪120161612041204120221012022212212222k k k x x k k x x k k k k k ∆() ∴-<<-122k ……11分 A P A Q x y x y →=→∴-=-λλ，，，()()112211，得x x 12=λ∴+=-=--∴+=--=-=+-()()()1412412116412421222122222222222λλλλx k k x kk k k k k ， -<<-∴<-<∴+>12202111422k k ，，()λλ∴+>∴-+>()1421022λλλλ∴λ的取值范围是（0，1）……13分 2.解：（I ） nN ∈* ∴=--+-=+-f n n n n f nn f n ()[()]()()111 ∴--=f n f n n()()1 ……1分 ∴-=-=-=f f f f f f ()()()()()()101212323……fn fn n ()()--=1 将这n 个式子相加，得fnf n n n ()()()-=++++=+012312f f n n n ()()()0012=∴=+∴=+∈a n n n N n()(*)12……3分 （II ）S n S n ()()--1为一直角梯形（n =1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为fn f n ()()-1，，高为1∴--=-+⨯=+-S n S n f n f n a a n n()()()()112121=-++=12121222[()()]n n n n n……6分（III ）设满足条件的正整数N 存在，则n n n nn ()+->⇔>⇔>12100522100520102 又M ={}200020022008201020122998，，，，，，，∴=N 201020122998，，……，均满足条件 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列. 设共有m 个满足条件的正整数N ，则2010212998+-=()m ，解得m =495 ∴M 中满足条件的正整数N 存在，共有495个，N m i n =2010 ……9分（IV ）设b a nn=1，即b n n n n n =+=-+212111()()则b b b n n n n 122112121313141112111+++=-+-+-++-+=-+ [()()()()]()显然，其极限存在，并且l i m ()l i m []n nn b b b n →∞→∞+++=-+=122112 ……10分 注：b c a n n=（c 为非零常数），b b q q n a n n a n n n ==<<++()(||)12012121，等都能使l i m ()n n b b b →∞+++12 存在. 19.解：（I ） ec a =∴=2422，c a a c 22312=+∴==，， ∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±33 4分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()Mx y ，[]2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[] O P O Q xx y y xx k x x xx k xx x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·0110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k xx k k i i =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222 由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l . 14分3.解：（I ）由已知S m m a n n ++=+-1111()()S m m a n n=+-()1 （2） 由()()12-得：a m a m a n n n ++=-11，即()m a m a n n+=+11对任意n N ∈*都成立 {} m m a a m m a n n n 为常数，且即为等比数列分<-∴=++1151（II ）当n =1时，a m m a 111=+-() ∴====+∴==+≥∈---a b I q f m mm b f b bb n n N n n n n 11111113112，从而由（）知，()()()* ∴=+-=∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭∴=+-=+=+∈--1111111131212911b b b b b b n n b n n N n n n n n n n，即为等差数列，分()()*a m m n n =+⎛⎝ ⎫⎭⎪-11∴→∞=→∞-++=+→∞+++=→∞-+-+++-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-l i m (l g )l i m l g l g l i m ()l i m n b a n n n m m mm n bb bb b b n n n n nn n 121133131414151112112231·……由题意知lg mm +=11，∴+=∴=-m m m 110109， 13分4.解：（1）设点),0,(),0,(0c F x Q -其中),0(,22b A b a c -=．由P 分AQ 所成的比为8∶5，得)135,138(0b x P ， 2分 ∴a x a x 231)135()138(022202=⇒=+．①， 4分 而AQ FA b x AQ b c FA ⊥-==),,(),,(0，∴0=⋅AQ FA ．cb x b cx 2020,0==-∴．②， 5分由①②知0232,32222=-+∴=a ac c ac b ．∴21.02322=∴=-+e e e ． 6分（2）满足条件的圆心为)0,2(22cc b O -'， )0,(,2222222c O c cc c a c c b '∴=--=-， 8分圆半径a ca cb r ==+=22222．10分由圆与直线l ：033=++y x 相切得，a c =+2|3|， 又3,2,1,2===∴=b a c c a ．∴椭圆方程为13422=+y x ． 12分5.（理）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分 dn a n nd a d a a a a a y n n n n n n n )21()1()()(11111221+++++=+++++=+++=+++++++d n n a n n 2)1()1(1+++=+ 4分)2)(1()2)(1(1111a a a n nda n n n n -++=++=+++)3(2111a a n n -+=+． 7分又211211,++--≤-∴≥-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-≤-++++，当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+≤-+=+． 13分 当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=，∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分（文）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分 )2)(1(2)1()1()21()1()()(1111111221nda n d n n a n d n a n nd a d a a a a a y n n n n n n n n n ++=+++=+++++=++++=+++=+++++++++)3(21)2)(1(11111a a n a a a n n n n -+=-++=+++， 6分又211211,++--=-∴=-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-=-++++．当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+=-+=+． 13分 当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=．∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分6.解（Ⅰ）证明：)0,2(),0,2(),,(),,(211111A A y x N y x M --- 则设)2(2111++=∴x x y y M A 的方程为直线①直线A 2N 的方程为)2(211---=x x y y ②……4分①×②，得)2(2221212---=x x y y分为定值的交点与是直线即822),(22),2(21,222020210022222121 =+∴=+--=∴=-y x N A M A y x P y x x y y x（Ⅱ）02222),(20020200000=-+=+--=-y y x x y x x x y x y y l 整理得结合的方程为22020201222242y yyx d +=+=+=于是……10分11221122220202020≥+=∴≤+∴≤∴=+y d y y y x 当1,1,1200取最小值时d y y =±=……12分7.解：（Ⅰ）为增函数时当)(,0cos 1)(,),0(x f x x f x ∴>-='∈π分的值域为即求得所以上连续在区间又4],0[)()(0),()()0(],0[)( ππππx f x f f x f fx f ≤≤≤≤（Ⅱ）设)32(3)()(2)(x f x f f x g +-+-=θθ，32sin3sin )(2)(xx f x g +++-=θθ即 )32cos cos (31)(xx x g ++-='θ……6分θπθπθπ=='∈+∴∈∈x x g xx 得由,0)(),0(32),0(],,0[ .)(,0)(,),0(为减函数时当x g x g x <'∈∴θ分为增函数时当8)(,0)(,),( x g x g x >'∈πθ 分因而有对的最小值为则上连续在区间10)32(3)()(20)()(],0[)()(],0[)( x f x f f g x g x x g g x g +≥+=≥∈θθθπθπ （Ⅲ）在题设条件下，当k 为偶数时)32(3)()(2xf x f f +≥+θθ 当k 为奇数时)32(3)()(2xf x f f +≤+θθ……14分 数学压轴题圆锥曲线类二1.解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，∴切线AP 的方程为：;02200=--x y x x切线BP 的方程为：;02211=--x y x x解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P=+=所以△APB 的重心G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310， ,343)(3321021010212010pP P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）方法1：因为).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外，则.0||≠FP∴||41)1)(1(||||cos 102010010FP x x x x x x x x FA FP FA FP AFP +=--+⋅+==∠同理有||41)1)(1(||||cos 102110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +=--+⋅+==∠∴∠AFP=∠PFB. 方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2(1x ，则P 点到直线AF 的距离为：,4141:;2||12111x x x y BF x d -=-=的方程而直线即.041)41(1121=+--x y x x x所以P 点到直线BF 的距离为：2||412||)41()()41(|42)41(|1211212122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,041)41(),0(041410020020=+-----=-x y x x x x x x y 即 直线BF 的方程：,041)41(),0(0414********=+-----=-x y x x x x x x y 即 所以P 点到直线AF 的距离为：2||41)41)(2|)41(|41)2)(41(|1020201020220012010201x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=+-+-+-=，同理可得到P 点到直线BF 的距离2||012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB.（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根， ∴,0])3(3)3([422>--+=∆k k λ ②且,3)3(2221+-=+k k k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x 解得k=－1，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设),,(),,(2211y x B y x A 则有.0))(())((332121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠ ∵N （1，3）是AB 的中点， ∴.1,6,22121-==+=+AB k y y x x 从而又由N （1，3）在椭圆内，∴,1231322=+⨯>λ∴λ的取值范围是（12，+∞）.直线AB 的方程为y －3=－（x －1），即x+y －4=0.（Ⅱ）解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y －3=x －1，即x －y+2=0，代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x又设),,(),,(4433y x D y x C CD 的中点为4300,),,(x x y x C 则是方程③的两根，∴).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得 .)3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程得016842=-+-λx x ⑤同理可得 .)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥∵当12>λ时，||||,)12(2)3(2CD AB <∴->-λλ假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为 .2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点匀在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角⇔|AN|2=|CN|·|DN|，即 ).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边,212-=λ由④和⑦知，⑧式右边,2122923)2232)3(2)(2232)3(2(-=--=--+-=λλλλ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆.解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12, ∵CD 垂直平分AB ， ∴直线CD 方程为13-=-x y ，代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得 .231,21224,32,1-±-=-±=λλx x 不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλCA)21233,23123(-------+=λλλλDA计算可得0=⋅DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上.又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆. （注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）3.本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想. （Ⅰ）证法1：∵当,111,0,211111na na a n a a n na a nn n n n n n n +=+≥∴+≤<≥-----时即,1111na a n n ≥-- 于是有.111,,3111,211112312na a a a a a n n ≥-≥-≥-- 所有不等式两边相加可得.13121111na a n +++≥- 由已知不等式知，当n ≥3时有，].[log 211121n a a n >- ∵.][log 22.2][log 2][log 2111,2221n b ba b n b n b a b a n n +<+=+>∴= 证法2：设n n f 13121)(+++= ，首先利用数学归纳法证不等式.,5,4,3,)(1 =+≤n bn f ba n（i ）当n=3时， 由 .)3(11223313333112223b f ba a a a a a +=++⋅≤+=+≤知不等式成立.（ii ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即,)(1bk f ba k+≤则1)(1)1(11)1(1)1()1(1++⋅++≤+++=+++≤+bb k f k k a k k a k a k a k k k k ,)1(1)11)((1)()1()1()1(bk f bbk k f b b b k f k k b k ++=+++=+++++=即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i ）、（ii ）知，.,5,4,3,)(1 =+≤n bn f ba n又由已知不等式得 .,5,4,3,][log 22][log 21122 =+=+<n n b bb n ba n（Ⅱ）有极限，且.0lim =∞→n n a（Ⅲ）∵,51][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令则有,10242,10][log log 1022=>⇒>≥n n n故取N=1024，可使当n>N 时，都有.51<n a4.解：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c ，则()2111222222,2242,1 1.43a MA a A F a cca a a c c a abc a b c x y =-=-⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩∴===+=由题意,得 故椭圆方程为 (Ⅱ)()004,,0P y y -≠设001122121102112212000121212350,22tan 115tan y y PF k PF k F PF PF M F PF y k k F PF k k y y y F PF F PF F PF π=-=-<∠<∠<∴∠-∴∠==≤=++=±∠∠∠设直线的斜率,直线的斜率 为锐角。