170第7章 连续时间系统的频域分析7.1 学习要点1 频率响应的定义频率响应可定义为系统零状态响应的傅里叶变换)(Ωj Y 与激励的傅里叶变换)(Ωj F 之比，即)()()(ΩΩΩj F j Y j H def=。

)(Ωj H 可写为：()ΩϕΩΩj ej H j H )()(=,其中，)(Ωj H 是输出与输入信号的幅度之比，称为幅频特性（或幅频响应）；)(Ωϕ是输出与输入信号的相位差，称为相频特性（或相频响应）。

2虚指数信号通过线性系统假设一个单位冲激响应为)(t h 的线性时不变系统，若有激励信号∞<<∞-=t et f tj Ω)(则系统的零状态响应为：tj f ej H t y ΩΩ)()(=所以，当虚指数信号tj e Ω通过线性系统时，其零状态响应就是用tj e Ω乘以)(Ωj H 。

3 正弦信号通过线性系统若线性系统的激励为正弦信号∞<<∞-+==-t eeA t A t f tj tj )(2cos )(ΩΩΩ则系统的零状态响应为：[])(cos )())((2)(ΩϕΩΩΩΩΩ+=+=-t j H A eej H A t y tj tj f所以，线性系统对正弦激励的响应为与激励同频率的正弦量，其振幅为激励的振幅与)(Ωj H 模值的乘积，其相位为激励的初相位与)(Ωj H 相位的和。

4 非正弦周期信号通过线性系统周期为T 的非正弦周期信号)(t f 可展开为：∑∞-∞==n tjn neFt f Ω)(171式中，dt et f TF TTtjn n ⎰--=22)(1Ω则线性系统对该信号的零状态响应为：tjn n nf ejn H Ft y ΩΩ)()(∑∞-∞==[])()()(ΩθΩϕΩΩn n t n j n n ejn H F ++∞-∞=∑=[])()(cos )(210ΩθΩϕΩΩn n t n jn H FF n n+++=∑∞=式中，)(Ωθn j n n eF F =，)()()(ΩϕΩΩn j ejn H jn H = 。

所以，当周期信号)(t f 作用于线性系统时，其零状态响应仍为周期信号，且周期和激励信号的周期相同。

5 非周期信号激励下系统的响应当线性时不变系统的单位冲激响应为)(t h ，激励为)(t f 时，系统的零状态响应为：)(*)()(t h t f t y =对上式两端进行傅里叶变换，并利用时域卷积定理可得：)()()(ΩΩΩj H j F j Y =即系统零状态响应的频谱函数等于系统的频率响应函数与激励的频谱函数之乘积。

在求得)(Ωj Y 后，可利用傅里叶反变换求得系统的时域响应。

6 系统实现无失真传输的条件：（1）系统在全部频率范围(,)-∞+∞内为常数，即系统的通频带应为无穷大；（2）系统的相频特性应为通过原点的直线，即)(Ωϕ在整个频率范围内与Ω成正比。

设输入信号为)(t f ，那么经过无失真传输，输出信号应该为：()()d y t Kf t t =-，即输出信号的幅度是输入信号幅度的K 倍，而且比输入信号延时了d t 秒。

其幅频响应和相频响应分别为：⎭⎬⎫-==d t K j H ΩΩϕΩ)()(信号通过系统的延时为：ΩΩϕd d t d )(-=7 理想低通滤波器的定义具有图7-1所示幅频和相频特性的滤波器称为理想低通滤波器。

172图7-1 理想低通滤波器的幅频特性和相频特性可见，该滤波器对低于c Ω的频率成分不失真地全部通过，而对高于c Ω的频率成分完全抑制掉，称c Ω为截止角频率。

所以，c ΩΩ<的频率范围称为通带；c ΩΩ>的频率范围称为阻带。

理想低通滤波器的频率响应函数为：⎪⎩⎪⎨⎧><=-cc t j dKej H ΩΩΩΩΩΩ 0)(8 理想低通滤波器的冲激响应理想低通滤波器的冲激响应为：)]([)(d c c t t Sa K t h -=ΩπΩ取1=k ，其波形如图7-2所示。

图7-2 理想低通滤波器的冲激响应由图7-2可知，冲激响应)(t h 的波形不同于激励信号()t δ的波形，产生了严重失真。

另外，冲激响应)(t h 在0<t 的时候存在，这说明理想低通滤波器是一个非因果系统，是物理不可实现的系统。

9 理想低通滤波器的阶跃响应理想低通滤波器的阶跃响应为：)]([2)(d c t t Si KK t g -+=Ωπ取1=k ，)(t g 的波形如图7-3所示。

173图7-3 理想低通滤波器的阶跃响应由图7-3可知，理想低通滤波器的阶跃响应不像阶跃信号那样陡直上升，这表明阶跃响应的建立需要一段时间；同时波形出现过冲激振荡，这是由于理想低通滤波器是一个带限系统所引起的。

7.2 精选例题例1 已知一个连续LTI 系统可用)()(2)(t f t y dtt dy =+描述，利用傅里叶变换求下列输入信号作用下的输出)(t y ： （1）)()(t u e t f t -=（2）)()(t u t f =解：对微分方程求傅里叶变换，得：)()(2)(ΩΩΩΩj F j Y j Y j =+频率响应为：ΩΩΩΩj j F j Y j H +==21)()()(（1）输入)()(t u e t f t-=，其傅里叶变换为ΩΩj j F +=11)(，ΩΩΩΩΩj j j H j F j Y +-+==2111)()()(求其反变换可得)()()(2t u eet y tt---=。

（2）输入)()(t u t f =，其傅里叶变换为ΩΩπδΩj j F 1)()(+=，ΩΩΩπδΩΩΩπδΩΩΩj j j j j H j F j Y +⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==2121121211)()()()(174求其反变换可得)()1(21)(2t u et y t--=。

例2 如例2图所示的RC 电路，若激励电压源)(t U s 为单位阶跃信号)(t u ，求电容电压)(t U c 的零状态响应。

例2图解：电路的频率响应函数为：ΩααΩΩΩΩΩΩj RCj RC Cj R C j j U j U j H s c +=+=+==1111)()()(式中，RC1=α。

单位阶跃信号)(t u 的傅里叶变换为：ΩΩπδΩj j U s 1)()(+=可得零状态响应)(t U c 的频谱函数为：)()(1)()()()(ΩαΩαΩδΩααπΩΩπδΩααΩΩΩj j j j j j U j H j U s c +++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++== 考虑到冲激函数的取样性质，得：ΩαΩΩπδΩj j j U c +-+=11)()(取上式的傅里叶反变换，得输出电压)()1()()sgn(2121)(t u et u et t U ttc αα---=-+=式中，RC1=α。

例3 某LTI 系统的频率响应为ΩΩΩj j j H +-=22)(，若系统输入为)2cos()(t t f =，求该系+-()s U t RC+-()c U t175统的输出)(t y 。

解：因为[])2()2()(-++=ΩδΩδπΩj F ，所以系统的输出)(t y 的傅里叶变换)(Ωj Y 为：[][])2()2()2()2(22)()()(-++=-++⋅+-==ΩδΩδπΩδΩδπΩΩΩΩΩj j j j F j H j Y 得输出为t t y 2sin )(=。

例4 已知某一理想低通滤波器的频率响应为)()(240ΩΩG j H =，若输入信号为)10(cos )100cos(20)(42t t t f =，求输出()t y 。

解：对输入信号进行化简，得：t t t t f )100102cos(5)102100cos(5)100cos(10)(44-⨯+⨯++=即输入信号包含了三个频率成分：1000=Ω，41102100⨯+=Ω以及10010242-⨯=Ω。

由于系统频率响应是截止频率为120的理想低通滤波器，则只能让1000=Ω的频率分量通过，而1Ω和2Ω无法通过，故)100cos(10)(t t y =。

例5 已知系统框图如例5图所示，其中)(1t G 为门函数，子系统的单位冲激响应为：∑+∞-∞=-=n n t t h )2()(1δ， ttt hππ23s i n)(2=系统输入为t t e πcos )(=（+∞<<∞-t ）。

（1）求子系统输出)(t ω的傅里叶变换；（2）证明)(t ω傅里叶系数为2cos )1(12ππk k C k -=；（3）求系统的稳态响应。

例5图解：（1）[])()()()(11t h t G t e t *⋅=ω，()tω()t (e t176因为 [])()()()(πΩδπΩδπΩ++-=↔j E t e ，⎪⎭⎫⎝⎛↔2)(1ΩSa t G 由频域卷积定理得：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛*++-↔⋅22212)()(21)()(1πΩπΩΩπΩδπΩδππSa Sa Sa t G t e 再由时域卷积定理可得：)(2221)()(1ΩπΩπΩΩωj H Sa Sa j W t ⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=↔ 而∑+∞-∞=-=n n t t h )2()(1δ的周期2=T，角频率为πΩ=1，由于其单周期)()(10t t h δ=的傅里叶变换为1)(10=Ωj H ，则由周期信号的傅里叶级数与单周期信号傅里叶变换的关系得：∑∑+∞-∞==+∞-∞==⋅=n jn jn n n eej H Tt h πΩΩΩΩ21|)(1)(1101故其傅里叶变换为：∑∑+∞-∞=+∞-∞=-=-=n n n n j H )()(221)(1πΩδππΩπδΩ则)(12cos2)()(2cos2)(2221)(22221πΩδππΩδππππΩπΩπΩΩn nn n n n j H Sa Sa j W n n -⋅-=-⋅--=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∞+-∞=∞+-∞= （2）由（1）知)(t ω也是周期2=T ，角频率为πΩ=1的周期信号。

若)(t ω的傅里叶级数为1)(Ωωjn n neWt ∑+∞-∞==，则其傅里叶变换为：)(2)(πΩδπΩn Wj W n n-=∑+∞-∞=与（1）的结果相对比直接可得)1(2cos2n n W n -=ππ。

177（3）由傅里叶变换的对称性可知)(23sin)(32ΩπππG ttt h ↔=，即系统)(2t h 是一个理想低通滤波器，其截止频率为23π。

由（2）知)(t ω的基波频率为πΩ=1，则2次谐波和2次谐波以上的频率分量全部被滤除，只剩下直流分量和基波分量，即输出信号为：)c o s (211)(411)(t eet r tj tj πππππ+=++=-例6已知系统的单位冲激响应为t ttt h 1000cos 24sin )(⋅=π，输入t ttt f 997cos 25sin )(⋅=π，求系统的输出)(t y 。