2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1}2．已知i为虚数单位，复数在复平面内所对应点（x，y），则（）A．y＝﹣2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝﹣2x+5D．y＝3x﹣13．已知向量（﹣2，m），（1，2），•（2）．则实数m的值为（）A．﹣1B．C．D．14．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO．它指的是，在自然况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是RO＝1+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根以上RO据计算，若甲得这种使染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（）A．81B．243C．248D．3635．已知，，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 6．2019年10月07日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计六十岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分成7组，则茎叶图的中位数位于（）A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组7．已知函数图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点，以OP为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O上的弦，△COD为等边三角形，则异面直线OC与PD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．已知椭圆C1：的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线的准线l过点F1，设P是直线l与椭圆C1的交点，Q是线段PF2与抛物线C2的一个交点，则|QF2|＝（）A．B．C．D．10．已知实数a，b，满足，当取最大值时，tanθ＝（）A．B．1C．D．211．设双曲线的左，右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l分与双曲线左右两支交于M，N两点，以MN为直径的圆过F2，且•，以下结论正确的个数是（）①双曲线C的离心率为；②双曲线C的渐近线方程；③直线l的斜率为1．A．0B．1C．2D．312．已知定义在R上的奇函数f（x）＝e x﹣ae﹣x+2sin x满足，则z ＝x﹣lny的最小值是（）A．﹣ln6B．﹣2C．ln6D．2二．填空题：本大共4小题，每小题5分13．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励，激励措施、工作环境，人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为．14．已知函数关于x＝1对称，则f（2x﹣2）≥f（0）的解集为．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c周长为5，b cos C＝（2a﹣c）cos B，则∠B＝，若b＝2，则△ABC的面积为．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm，高为18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为cm的圆铁棒l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为cm2．三、解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD＝2DC＝2，将△PAB 沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图为直角三角形，求此时二面角A﹣BE﹣C的余弦值．18．已知等差数列{a n}的前n项和S n，n∈N*，a5＝6，S6＝27，数列{b n}的前n项和T n，．（1）判断{b n+1}是等比数列，并求b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的A，B两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年6年7年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写如表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型B型总计（2）以频率估计概率，从2020年生产的A和B的车型中各随机抽1车，以X表示这2年中使用寿命不低于7年的车数，求X的分布列和数学期望；（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租每年上交公司6万元，其余维修和保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这100辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82820．已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m），且x＝0是f（x）的极值点．（1）求f（x）的最小值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式e x＜bx+f（x）在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由．21．已知直线与椭圆C：ax2+by2＝1交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，且直线l与直线OD的斜率之积为，若直线x＝t与直线l交于点P，与直线OD交于点M，且M为直线上一点．（1）求P点的轨迹方程；（2）若为概圆C的上顶点，直线l与y轴交点G，记S表示面积，求的最大．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分，[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程（k为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程；（2）过曲线C2上一点P作直线l与曲线C1交于A，B两点，中点为D，，求|PD|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）（x+1）2．（1）求f（x）+|f（x）﹣9|的最小值M；（2）若正实数a，b，c满足了f（a）+f（b）+f（c）＝M，求证：a+b+c≤6．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1}【分析】先解出关于集合A，B的不等式，求出A的补集，从而求出其补集与B的交集．解：因为∁U A＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|2x≤2}＝{x|x≤1}，∴（∁U A）∩B＝{x|﹣1≤x≤1}；故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A，B是解决本题的关键．2．已知i为虚数单位，复数在复平面内所对应点（x，y），则（）A．y＝﹣2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝﹣2x+5D．y＝3x﹣1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数的实部与虚部，消参数得答案．解：∵，∴，得y＝﹣2x+1．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．已知向量（﹣2，m），（1，2），•（2）．则实数m的值为（）A．﹣1B．C．D．1【分析】先根据平面向量的线性坐标运算法则表示出2，再根据数量积的坐标运算法则表示出•（2），从而得到关于m的方程，解之即可．解：∵（﹣2，m），（1，2），∴，∴•（2）＝6+m（2m+2），即，解得，故选：B．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．4．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO．它指的是，在自然况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是RO＝1+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根以上RO据计算，若甲得这种使染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（）A．81B．243C．248D．363【分析】根据题意求出RO的值，再计算得病总人数．解：由题意知，RO＝1+40%×5＝3，所以得病总人数为：3+32+33+34+35363（人）．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的前n项和的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．5．已知，，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】先结合对数的换底公式对已知对数式进行化简，然后结合对数函数的单调性即可比较大小．解：b，c log2，因为，所以，所以a＜b＜c故选：B．【点评】本题主要考查了对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础试题．6．2019年10月07日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计六十岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分成7组，则茎叶图的中位数位于（）A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组【分析】求出数据的极差，分成7组，可求组距为0.9，第5组的范围是[12.4，13.3]，即可求得中位数为12.5应位于第5组内．解：数据的极差为15.1﹣8.8＝6.3，分成7组，组距为0.9，第5组的范围是[12.4，13.3]，中位数为12.5应位于第5组内．故选：C．【点评】本题考查茎叶图的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．7．已知函数图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，可得2ωπ∈[，），由此可得结果．解：∵函数图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍后，得到的函数为y＝sin（ωx）在[0，2π]上恰有5个不同的x值，使其取到最值；ωx∈[，2ωπ]，∴2ωπ∈[，），则正实数ω∈[，），故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．8．已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点，以OP为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O上的弦，△COD为等边三角形，则异面直线OC与PD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】设OP＝r，过点D作OC的平行线交与CD于行的半径于点E，则OE＝OC＝CD＝OD＝r，PC＝PD，∠PDE（或其补角）为其异面直线OC与PD所成角，由此能求出异面直线OC与PD所成角的余弦值．解：设OP＝r，过点D作OC的平行线交与CD于行的半径于点E，则OE＝OC＝CD＝OD＝r，PC＝PD，∴∠PDE（或其补角）为其异面直线OC与PD所成角，在△PDE中，PE＝PO，DE＝r，∴cos∠PDE．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．已知椭圆C1：的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线的准线l过点F1，设P是直线l与椭圆C1的交点，Q是线段PF2与抛物线C2的一个交点，则|QF2|＝（）A．B．C．D．【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，可得抛物线方程，作出图形，利用抛物线定义及三角形相似列式求解|QF2|的值．解：由题意，F1（﹣2，0），则抛物线方程为y2＝8x．计算可得|PF1|，|PF2|＝2a．过Q作QM⊥直线l与M，由抛物线的定义知，|QF2|＝|QM|．∵，∴，解得：|MQ|＝12（3﹣2）．∴|QF2|＝|MQ|＝12（3﹣2）．故选：A．【点评】本题考查抛物线与椭圆综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10．已知实数a，b，满足，当取最大值时，tanθ＝（）A．B．1C．D．2【分析】根据辅助角公式可得sin（θ+φ）2，进而可求得答案解：由得a2+4b2＝8，利用辅助角公式可得：sin（θ+φ）2，其中tanφ，所以最大值为2，当且仅当a＝2b＝2时成立，所以2sin（θ），则θ2kπ，k∈Z，则tanθ＝1，故选：B．【点评】本题考查三角函数的恒等变形，关键是用三角函数表示a、b．11．设双曲线的左，右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l分与双曲线左右两支交于M，N两点，以MN为直径的圆过F2，且•，以下结论正确的个数是（）①双曲线C的离心率为；②双曲线C的渐近线方程；③直线l的斜率为1．A．0B．1C．2D．3【分析】由题意可得MF2⊥NF2，且|MF2|＝|NF2|，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，运用双曲线的定义和直角三角形的性质和勾股定理，结合双曲线的离心率公式和渐近线方程，直角三角形的锐角三角函数的定义，即可判断正确结论．解：由MN为直径的圆过F2，且•，可得MF2⊥NF2，且|MF2|＝|NF2|，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF2|﹣|NF1|＝2a，两式相减可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，即有m ＝2a，设H为MN的中点，在直角三角形HF1F2中，可得4c2＝4a2+（2a+2a﹣2a）2，化为c2＝3a2，e，故①正确；又，可得，故②正确；因为|HF2||MN|＝2a，所以|HF1|2，所以直线l的斜率为，故③错误．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量的数量积的定义和性质，同时考查直角三角形的勾股定理，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．12．已知定义在R上的奇函数f（x）＝e x﹣ae﹣x+2sin x满足，则z ＝x﹣lny的最小值是（）A．﹣ln6B．﹣2C．ln6D．2【分析】由已知可求a，然后对函数求导，结合导数可判断函数的单调性，进而可得关于x，y的不等式组，结合线性规划知识即可求解．解：由题意f（0）＝1﹣a＝0可得a＝1，所以f（x）＝e x﹣e﹣x+2sin x，2+2cos x≥0，故f（x）在R上单调递增，则，作出可行域如图所示，其中A（0，），B（0，3），C（，），设y＝e x﹣z，则由图象可知，设y＝x+3与y＝e x﹣z相切于点D（x0，y0），由y′＝e x﹣z，令1可得x0＝z，，故y＝x+3与y＝e x﹣z相切于点D（﹣2，1）时，z取得最小值z min＝﹣2．故选：B．【点评】本题综合考查了导数与单调性的关系的应用及利用线性规划知识求解目标函数的最值，体现了转化思想及数形结合思想的应用．二．填空题：本大共4小题，每小题5分13．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励，激励措施、工作环境，人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为．【分析】由图知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，由此能求出这两项来自影响稍弱区的概率．解：由图知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，则这两项来自影响稍弱区的概率是：P．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．已知函数关于x＝1对称，则f（2x﹣2）≥f（0）的解集为[1，2]．【分析】先求出a的值，可得函数的解析式，再根据图象的对称性以及f（2x﹣2）≥f （0），求出x的范围．解：∵函数关于x＝1对称，∴a＝1，f（x）∈（0，1]，则由f（2x﹣2）≥f（0），结合图象可得0≤2x﹣2≤2，求得1≤x≤2，故答案为：[1，2]．【点评】本题主要考查指数不等式的性质，函数图象的对称性，属于中档题．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c周长为5，b cos C＝（2a﹣c）cos B，则∠B＝，若b＝2，则△ABC的面积为．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合sin A≠0，可得cos B，结合范围B∈（0，π），可求B，进而根据余弦定理可求ac的值，根据三角形的面积公式即可求解．解：∵b cos C＝（2a﹣c）cos B，∴由正弦定理可得：sin B cos C＝（2sin A﹣sin C）cos B，可得sin B cos C+cos B sin C＝2sin A cos B，∴sin（B+C）＝2sin A cos B，∵sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sin A，且sin A≠0，∴可得cos B，∵B∈（0，π），∴B，又∵b＝2，a+c＝3，∴a2+c2﹣2ac cos B＝b2，∴（a+c）2﹣3ac＝4，∴ac，∴S△ABC ac sin B．故答案为：，．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm，高为18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为cm的圆铁棒l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为cm2．【分析】根据铁棒与底面六边形的最长对角线、相对棱的部分长h构成直角三角形求出容器内水面的高度h，再利用球的半径和球被六棱柱体上底面截面圆的半径和球心到截面圆的距离构成直角三角形求出球的半径，即可计算球的表面积．解：如图所示，六棱柱笔筒的边长为6cm，高为18cm，铁棒与底面六边形的最长对角线、相対棱的部分长h构成直角三角形，所以2，解得h＝14，所以容器内水面的高度为14cm，设球的半径为R，则球被六棱柱体上面截得圆的半径为r3，球心到截面圆的距离为R﹣4，所以R2＝（R﹣4）2，解得R；所以球的表面积为4π（cm2）．故答案为：．【点评】本题考查了球与六棱柱体的结构特征与计算问题，是中档题．三、解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD＝2DC＝2，将△PAB 沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图为直角三角形，求此时二面角A﹣BE﹣C的余弦值．【分析】（1）由平面图可知，AB⊥P′A，AB⊥AD，得到AB⊥平面P′AD，得AB⊥P′D，再由已知可得AE⊥P′D．由直线与平面垂直的判定可得P′D⊥平面ABE；（2）由P'﹣ABCD的正视图与△P′AD全等，为直角三角形，得P′A⊥AD，以A为原点，分别以AB、AD、AP′所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BEC的一个法向量与平面ABE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣BE﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：由平面图可知，AB⊥P′A，AB⊥AD，又P′A∩AD＝A，∴AB⊥平面P′AD，得AB⊥P′D．∵E为P′D的中点，P′A＝AD，∴AE⊥P′D．∵AE∩AB＝A，∴P′D⊥平面ABE；（2）解：∵P'﹣ABCD的正视图与△P′AD全等，为直角三角形，故P′A⊥AD，以A为原点，分别以AB、AD、AP′所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），D（0，1，0），P′（0，0，1），B（，0，0），C（1，1，0），E（0，，），，，．设平面BEC的一个法向量为，由，取x＝2，得．∴为平面ABE的一个法向量，设二面角A﹣BE﹣C为θ，∴cos．∵二面角A﹣BE﹣C为钝角，∴cos，故二面角A﹣BE﹣C的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18．已知等差数列{a n}的前n项和S n，n∈一、选择题*，a5＝6，S6＝27，数列{b n}的前n项和T n，．（1）判断{b n+1}是等比数列，并求b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和．【分析】（1）．n≥2时，b n＝T n﹣T n﹣1，化为：b n＝2b n﹣1+1，变形为：b n+1＝2（b n﹣1+1），进而证明结论．利用通项公式考点b n．（2）设等差数列{a n}的公差为d，由a5＝6，S6＝27，利用通项公式可得：a1+4d＝6，6a1+15d ＝27，联立解得：a1，d，可得a n．可得a n•b n＝（n+1）•2n﹣（n+1）．利用错位相减法与等差数列得求和公式即可得出．解：（1）．∴n≥2时，b n＝T n﹣T n﹣1＝2b n﹣n﹣（2b n﹣1﹣n+1），化为：b n＝2b n﹣1+1，∴b n+1＝2（b n﹣1+1），n＝1时，b1＝2b1﹣1，解得b1＝1．∴b1+1＝2．∴{b n+1}是等比数列，首项与公比都为2，∴b n＝2n﹣1．（2）设等差数列{a n}的公差为d，∵a5＝6，S6＝27，∴a1+4d＝6，6a1+15d＝27，联立解得：a1＝2，d＝1，∴a n＝2+n﹣1＝n+1．∴a n•b n＝（n+1）•2n﹣（n+1）．∴数列{（n+1）•2n}的前n项和A n＝2×2+3×22+4×23+……+（n+1）•2n．∴2A n＝2×22+3×23+……+n•2n+（n+1）•2n+1．相减可得：﹣A n＝4+22+23+……+2n﹣（n+1）•2n+1＝2（n+1）•2n+1．化为：A n＝n•2n+1．∴数列{a n•b n}的前n项和＝n•2n+1．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的A，B两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年6年7年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写如表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型B型总计（2）以频率估计概率，从2020年生产的A和B的车型中各随机抽1车，以X表示这2年中使用寿命不低于7年的车数，求X的分布列和数学期望；（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租每年上交公司6万元，其余维修和保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这100辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【分析】（1）先补充完整2×2列联表，然后根据K2的公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；（2）X的可能取值为0，1，2，先求出两种车型使用寿命不低于7年和低于7年的占比数，然后依据相互独立事件的概率逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；（3）先求出两款出租车型的每辆车的利润，然后结合频数分布列求两种车型的平均利润，比较大小后，取较大者即可．解：（1）补充完整的2×2列联表如下所示，使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型3070100B型5050100总计80120200∴，∴有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关．（2）由题可知，A型车使用寿命不低于7年的车数占，低于7年的车数占；B型车使用寿命不低于7年的车数占，低于7年的车数占．∴X的可能取值为0，1，2，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2）．∴X的分布列为X012P∴数学期望E（X）．（3）∵平均每辆出租车年上交公司6万元，且A，B两款车型的采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆，∴两款出租车型的每辆车的利润如下表：使用寿命年数5年6年7年8年A型6×5﹣11＝196×6﹣11＝256×7﹣11＝316×8﹣11＝37B型6×5﹣8＝226×6﹣8＝286×7﹣8＝346×8﹣8＝40用频率估计概率，这100辆A型出租车的平均利润为（万元），这100辆B型出租车的平均利润为（万元），∵30.7＞30.1，故会选择采购B款车型．【点评】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列与数学期望、平均数的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．20．已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m），且x＝0是f（x）的极值点．（1）求f（x）的最小值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式e x＜bx+f（x）在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）由已知结合极值存在条件可求m，然后结合导数单调性及最值的关系即可求解；（2）由已知不等式代入整理可得ln（1+x）＜bx，可考虑构造函数h（x）＝ln（x+1）﹣bx，结合导数与单调性的关系对b进行分类讨论可求．解：（1），由x＝0是f（x）的极值点可得10，即m＝1，经检验m＝1符合题意，，设g（x）＝e x（x+1）﹣1，则g′（x）＝e x（x+2）＞0在x＞﹣1时恒成立，故g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增且g（0）＝0，所以，当x＞0时，g（x）＞0即f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当﹣1＜x＜0时，g（x）＜0即f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，故当x＝0时，f（x）取得最小值f（0）＝1，（2）由e x＜bx+f（x）在（0，+∞）上恒成立可得ln（1+x）＜bx，设h（x）＝ln（x+1）﹣bx，则，（i）若b≥1，则x＞0时，0，h（x）单调递减，所以h（x）＜h（0）＝0，符合题意，（ii）若b≤0，则x＞0时，0，h（x）单调递增，h（x）＞h（0）＝0，不符合题意，（iii）若0＜b＜1，则时，x，当x时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，此时h（x）＞h（0）＝0，不满足题意，综上，b的范围[1，+∞）．【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值和最值，还考查了由不等式的恒成立求参数的范围问题，体现了分类讨论思想的应用．21．已知直线与椭圆C：ax2+by2＝1交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，且直线l与直线OD的斜率之积为，若直线x＝t与直线l交于点P，与直线OD交于点M，且M为直线上一点．（1）求P点的轨迹方程；（2）若为概圆C的上顶点，直线l与y轴交点G，记S表示面积，求的最大．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），联立两方程，结合韦达定理可得x1+x2，则x0，再带回直线方程进而得到b＝4a，从而t＝m，消去m后可得x2＝2y；（2）结合（1）表示出P（m，），F（0，），D（，），M （m，），再分别表示出两三角形的面积，利用换元思想得最值．解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），联立得（bm2+a）x2﹣m2bx1＝0，则x1+x2，则x0，将其代入y＝mx得y0，因为•m，所以，即b＝4a，故OD方程为y x，则t，故t＝m，代入y＝mx，得P（m，），消去m，可得P点的轨迹方程为x2＝2y（x≠0）；（2）由题得b＝4，所以椭圆C的方程为x2+4y2＝1，由（1）知x0，y0，对于直线l，令x＝0，y，则G（0，），所以P（m，），F（0，），D（，），M（m，），所以S△PFG|GF||m||m|（m2+1）S△PDM|PM|•|m﹣x0|，则，令n＝2m2+1，则，当，即n＝2时，取得最大值，此时m＝±，满足△＞0．【点评】本题考查点的轨迹方程，考查直线与椭圆的综合，转化思想、换元思想、函数思想等，综合性强，属于难题请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分，[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程（k为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程；（2）过曲线C2上一点P作直线l与曲线C1交于A，B两点，中点为D，，求|PD|的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1的参数方程（k为参数），整理得，又，两式相除得：，代入，得到（x+1）2+y2＝4（y≠﹣2）．（2）曲线C2的极坐标方程为．根据转换为直角坐标方程为x﹣y﹣4＝0．设圆心C1（﹣1，0）到直线l的距离为d，则|AB|，解得d＝1．所以：|PD|，当|PC1|最小时，|PD|最小，由于|PC1|的最小值为圆心C1到直线C2的距离．根据，所以．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）（x+1）2．（1）求f（x）+|f（x）﹣9|的最小值M；（2）若正实数a，b，c满足了f（a）+f（b）+f（c）＝M，求证：a+b+c≤6．【分析】（1）由f（x）≥0，可得f（x）+|f（x）﹣9|＝|f（x）|+|f（x）﹣9|，由绝对值不等式的性质，可得所求最小值M；（2）由条件可得（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝27，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证．。