第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件§1.2 随机事件的概率一、单选题1.以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为（ D ）（A ） “甲种产品滞销，乙种产品畅销”（B ）“甲、乙两种产品均畅销”（C ） “甲种产品畅滞销” （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”2.对于事件、A B ，有B A ⊂，则下述结论正确的是（ C ）（A ）、A B 必同时发生； （B ）A 发生，B 必发生；（C ）B 发生，A 必发生； （D ）B 不发生，A 必发生3.设随机事件A 和B 同时发生时，事件C 必发生，则下列式子正确的是（ C ）(A)()()P C P AB = (B))()()(B P A P C P +=(C)1)()()(-+≥B P A P C P (D)1)()()(-+≤B P A P C P二、填空题1. 设,,A B C 表示三个随机事件，用,,A B C 的关系和运算表示（1）仅A 发生为：ABC ；（2）,,A B C 中正好有一个发生为：ABC ABC ABC ++；（3）,,A B C 中至少有一个发生为：A B C ；（4）,,A B C 中至少有一个不发生表示为：AB C . 2.某市有50%住户订日报，65%住户订晚报，85%住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的住户所占的百分比是30%.3. 设111()()(),()()(),(),4816P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =======则 ()P A B C ⋃⋃=716；()P ABC =916；(,,)P A B C =至多发生一个34；(,,P A B C =恰好发生一个）316.§1.3古典概率一、填空题1.将数字1,2,3,4,5写在5张卡片上，任取3张排成3位数，则它是奇数的概率为35.2.把10本书任意放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率为!10!8!3. 3.若袋中有3个红球，12个白球，从中不返回地取10次，每次取一个，则第一次取得红球的概率为15，第五次取得红球的概率为15. 4. 盒中有2只次品和4只正品，有放回地从中任意取两次，每次取一只，则（1）取到的2只都是次品19； （2）取到的2只中正品、次品各一只49； （3）取到的2只中至少有一只正品89. 二、计算题1．一份试卷上有6道题. 某位学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的错误. 试求：(1) 这4处错误发生在最后一道题上的概率；(2) 这4处错误发生在不同题上的概率；(3) 至少有3道题全对的概率.解：4个错误发生在6道题中的可能结果共有64=1296种，即样本点总数为1296.(1)设A 表示“4处错误发生在最后一道题上”，只有1种情形，因此12961)(=A P ； (2)设B 表示“4处错误发生在不同题上”，即4处错误不重复出现在6道题上，共有46P 种方式，因此有6360345=⨯⨯⨯种可能，故.1851296360)(==B P (3)设C 表示“至少有3道题全对”相当于“至少有2个错误发生在同一题上”，而C 表示“4处错误发生在不同题上”，B C =，1813)(1)(=-=B P C P . 2. 已知N 件产品中有M 件是不合格品，今从中随机地抽取n 件，试求:(1) n 件中恰有k 件不合格品的概率；(2) n 件中至少有一件不合格品的概率.解：从N 件产品中抽取n 件产品的每一取法构成一基本事件,共有nN C 种不同取法.(1)设A 表示抽取n 件产品中恰有k 件不合格品的事件，则A 中包含样本点数为k n k M N M C C --,由古典概型计算公式，()k n k M N M n N C C P A C --=。

(2)设B 表示抽取n 件产品中至少有一件不合格品的事件，则B 表示n 件产品全为合格品的事件，包含nN M C -个样本点。

则()1()1n N M n NC P B P B C -=-=-。

3．一批产品共20件，其中一等品9件，二等品7件，三等品4件。

从这批产品中任取3件，求: (1) 取出的3件产品中恰有2件等级相同的概率；（2）取出的3件产品中至少有2件等级相同的概率.解：设事件i A 表示取出的3件产品中有2件i 等品，其中i =1，2，3；（1）所求事件为事件1A 、2A 、3A 的和事件，由于这三个事件彼此互不相容，故)()()()(321321A P A P A P A A A P ++=++320116241132711129C C C C C C C ++==0.671 （2）设事件A 表示取出的3件产品中至少有2件等级相同，那么事件A 表示取出的3件产品中等级各不相同，则779.01)(1)(320141719=-=-=C C C C A P A P§1.4条件概率一、单选题1.设A ,B 互不相容，且()0,()0P A P B >>,则必有（ D ）. (A) 0)(>A B P （B ）)()(A P B A P =(C) )()()(B P A P AB P = （D ） 0)(=B A P 2.已知()0.5P A =，()0.4P B =，()0.6P A B ⋃=，则()P A B =（ D ）.(A) 0.2 （B ）0.45 (C) 0.6 （D ）0.753.已知,()0.2,()0.3A B P A P B ⊂==，则()P BA =( C ).(A) 0.3 （B ）0.2 (C) 0.1 （D ）0.44.已知 ()0.4,()0.6,(|)0.5,P A P B P B A === 则 ()P A B ⋃=( D ).(A) 0.9 （B ） 0.8 (C) 0.7 （D ） 0.65. 掷一枚质地均匀的骰子，设A 为“出现奇数点”，B 为“出现1点”，则()=P B A ( C ).(A) 1/6 （B ） 1/4 (C) 1/3 （D ） 1/2二、填空题1. 已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P 及8.0)(=A B P ,则=)(B A P 0.7 .2.设,A B 互不相容，且(),()P A p P B q ==；则()P AB =1--p q .3.设事件,A B 及A B ⋃的概率分别为0.4,0.3,0.5，则()P AB =0.2.4.已知事件B A ,互不相容，且()()6.0,3.0==B A P A P ，则()B P ＝0.5．5.设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的概率为0.4. 如果一只动物现在已经活到20岁, 则它能活到25岁以上的概率是0.5. 三、计算题1. 一批彩电，共100台，其中有10台次品，采用不放回抽样依次抽取3次，每次抽一台，求第3次才抽到合格品的概率.解 设A i (i =1,2,3)为第i 次抽到合格品的事件，则有)(321A A A P =)()()(21312A A A P A A P A P =10/100·9/99·90/98≈0.0083.2.一个盒子装有6只乒乓球，其中4只是新球. 第一次比赛时随机地从盒子中取出2只乒乓球，使用后放回盒子．第二次比赛时又随机地从盒子中取出2只乒乓球. 试求第二次取出的球全是新球的概率.12322222113422442222222666666B B B 4P A 253i i i=1解：设：第一次取出的都是新球，：都是旧球，：一新一旧（）=P(B )P(A|B )=⨯⨯+⨯⨯⨯=∑C C C C C C C C C C C C C3.某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”、“一般的”、“冒失的”。

统计资料表明，这3种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%， “一般的”占50%，“冒失的”占30%，一个被保险人在一年内出事故的概率是多大？解：设1B =“他是谨慎的”， 2B =“他是一般的”， 3B =“他是冒失的”，则321,,B B B 构成了Ω的一个划分，设事件A =“出事故”，由全概率公式：)|()()(31i i i B A P B P A P ∑==0.0520%0.1550%0.3020%0.125.=⨯+⨯+⨯=§1.5 事件的独立性 §1.6 独立试验序列一、单选题1.设B A 、是两个相互独立的随机事件,0>⋅）（）（B P A P ，则=)(B A P （ B ）(A) ）（）（B P A P + (B) ）（）（B P A P ⋅-1 (C) ）（）（B P A P ⋅+1 (D) ）（AB P -12.设甲乙两人独立射击同一目标，他们击中目标的概率分别为 0.9和0.8，则目标被击中的概率是（ B ）.(A) 0.9 （B ） 0.98 (C) 0.72 （D ） 0.83.每次试验成功率为)10(<<p p ，(1)进行10次重复试验成功4次的概率为( A )(2)进行重复试验，直到第10次试验才取得4次成功的概率为( B )(3)进行10次重复试验，至少成功一次的概率为( D )(4)进行10次重复试验，10次都失败的概率为( C )(A) 44610(1)C p p - (B) 3469(1)C p p - (C) 10(1)p - (D) 101(1)p --二、填空题1.设A 与B 为两相互独立的事件，)(B A P =0.6，)(A P =0.4，则)(B P =13.2.三台机器相互独立运转，设第一、二、三台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率0.496.3.某人射击的命中率为4.0，独立射击10次，则至少击中1次的概率为1010.6-.4.某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875，则这射手在一次射击中命中的概率为 0.5 .5.一批电子元件共有100个，次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个，则第二次才取到正品的概率为19396. 三、计算题1. 5名篮球运动员独立地投篮，每个运动员投篮的命中率都是80％.他们各投一次，试求：(1) 恰有4次命中的概率；(2) 至少有4次命中的概率；(3) 至多有4次命中的概率.解：设i i A 表示第i 个运动员命中，=1，2，3，4，5 (1)412345()5()50.20.80.4096=⨯=⨯⨯=P A P A A A A A(2) 512345()()()0.40960.80.7373P B P A P A A A A A =+=+=(3) 512345()1()10.80.6723P C P A A A A A =-=-= 2．一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人看管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7.求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人看管的概率. 解：设事件i A 表示第i 台车床不需要照管，事件i A 表示第i 台车床需要照管，（i =1，2，3）， 根据题设条件可知：1.0)(,9.0)(11==A P A P2.0)(,8.0)(22==A P A P3.0)(,7.0)(33==A P A P设所求事件为B ，则)()(321321321321A A A A A A A A A A A A P B P +++=根据事件的独立性和互不相容事件的关系，得到： )()()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P B P += ++)()()(321A P A P A P )()()(321A P A P A P3.08.09.07.02.09.07.08.01.07.08.09.0⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=0.902.=3.甲、乙、丙3位同学同时独立参加《概率论与数理统计》考试，不及格的概率分别为0.4,0.3,0.5.（1）求恰有两位同学不及格的概率；（2）如果已经知道这3位同学中有2位不及格，求其中一位是同学乙的概率.解：（1）设{}A =恰有两位同学不及格，1{}B =甲考试及格，2{}B =乙考试及格，3{}B =丙考试及格.则123123123123123123()()()()()P A P B B B B B B B B B P B B B P B B B P B B B =⋃⋃=++ 123123123()()()()()()()()()0.29P B P B P B P B P B P B P B P B P B =++=（2）12312312312322()()()()15()()()()29P B B B B B B P B B B P B B B P AB P B A P A P A P A ⋃+====第二章 随机变量及其分布§2.1 随机变量§2.2 离散型随机变量及其概率分布一、单选题1. 离散型随机变量X 的概率分布为kA k X P λ==)(( ,2,1=k )的充要条件是( A ).（A ）1)1(-+=A λ且0>A （B ）λ-=1A 且10<<λ（C ）11-=-λA 且1<λ （D ）0>A 且10<<λ2. 下面函数中，可以作为一个随机变量的分布函数的是（ B ）.（A ）()211xx F += （B ）()21arctan 1+=x x F π （C ）()()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-.0,0;0,121x x e x F x （D ）()()()1,==⎰⎰+∞∞-∞-dt t f dt g f x F x 其中 3. 已知随机变量X 服从二项分布(6,0.5)B ～X ,则(2)P X ==（ C ）.（A ）1664 （B ）1516 （C ） 1564 （D ） 35 二、填空题 1. 已知随机变量X 的取值是－1,0,1,2，随机变量X 取这四个数值的概率依次是bb b b 162,85,43,21，则=b 2. 2. (1,0.8)B ～X ,则X 的分布函数是0,0()0.2,0 1.1,1<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩x F x x x3. 设随机变量),3(~),,2(~p B Y p B X ,若{},951=≥X P 则{}=≥1Y P 1927.4.重复独立地掷一枚均匀硬币，直到出现正面向上为止，则抛掷次数Y 的分布为{}1(),1,2,3,2===k P Y k k .三、计算题1. 一寻呼台每分钟收到寻呼的次数服从参数为4的泊松分布.求（1）每分钟恰有7次寻呼的概率.（2）每分钟的寻呼次数大于10的概率. 解：,...)1,0(,!4)(4===-k e k k X P k（1）0596.08893.09489.0!64!74)6()7(4647=-=-=≤-≤--e e X P X P（2）0028.09972.01!1041)10(1410=-=-=≤--e X P 2. 已知盒子中有4个白球和2个红球，现从中任意取出3个，设X 表示其中白球的个数，求出X 的分布列.解：X 的可能取值为3、4、5，又53}5{,103}4{,1011}3{3524352335=========C C X P C C X P C X PX 3 4 5P 101 103 533. 设随机变量Y 的分布列为：Y 0 1 2 3P 2A 3A 4A 5A 求 (1)系数A 及Y 的分布列；(2)Y 的分布函数；(3){}{}{}13， 1.5 3.5， 2.5.P Y P Y P Y ≤≤≤≤≤ (1)∵()121520306054321+++=+++=A A A A A ∴7760=A (2)()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=.3,132,7765,21,7750,10,7730,0,0x x x x x x F (3)7765,7727,7747.§2.3 连续型随机变量及其概率密度一、单选题1. 若函数cos ,()0,x x D f x ∈⎧=⎨⎩其它 是随机变量X 的概率密度，则区间D 为 （ A ） （A ）π[0,]2 （B ）ππ[,]2 （C ）π[0,] （D ）37ππ[,]242.下列函数为随机变量的密度函数的为( D )(A) ⎩⎨⎧∈=其他,0],0[,cos )(πx x x f (B) ⎪⎩⎪⎨⎧<=其他,02,21)(x x f (C) ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=--0,00,21)(222)(x x e x f x σμπσ (D) ⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x 3. 设随机变量X 的概率密度为()f x ，则()f x 一定满足（ D ）（A ）()01f x ≤≤ （B ）()()x P X x f t dt -∞>=⎰ （C ） ()1xf x dx +∞-∞=⎰ （D ）()()x P X x f t dt -∞<=⎰4.设),(~2σμN X ,那么当σ增大时，则)(σμ<-X P （ C ）(A)增大 (B)减少 (C)不变 (D)增减不定5. 设(),2~2,σN X 且6.0)40(=<<X P ，则()=<0X P （ C ） （A ）0.3 （B ）0.4 （C ）0.2 （D ）0. 5二、填空题1.设连续随机变量X 的分布函数为()arctan ,F x A B x x =+-∞<<+∞ (1)A =12; B =1π;(2)(11)P X -≤≤= 0.5 ;(3)概率密度()f x =2111x π+. 2.设随机变量X 在在区间[]1,2-上服从均匀分布，则（1）(61)P x -<<-= 0 , （2） (41)P x -<<= 2/3 , （3）(23)P x -<<= 1 , （4）(16)P x <<= 1/3 .3. 设随机变量,)9,1(~N X ,则若1()2P X k <=，k = 1 . 4. 设随机变量()2~1,2X N ，6915.0)5.0(=Φ,则事件}20{<≤X 的概率为0.383． 5. 设随机变量),2(~2σN X ，若3.0}40{=<<X P ,则=<}0{X P 0.35 . 三、计算题1. 设连续型随机变量X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=其它432230x x x cx x f ， 求：⑴ 常数c ；⑵ 概率{}62<<X P ．解：⑴ 由密度函数的性质()1=⎰+∞∞-dx x f ，得()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+++==44331dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f⎰⎰⎰⎰+∞∞-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=4433000220dx dx x cxdx dx412947229422432302+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=c c x x x c 所以，得61=c ．即随机变量X 的密度函数为 ()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤=其它04322306x x x xx f ．⑵ {}()()()()⎰⎰⎰⎰++==<<6443326262dx x f dx x f dx x f dx x f X P⎰⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=6443320226dx dx x dx x 32411254212432322=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x ．2. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=,,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F（1）求},2{<X P },41{≤<X P }23{>X P ； （2）求分布密度)(x f .解：（1）2ln )2(}2{}2{==≤=<F X P X P,11ln 1)1()4(}41{=-=-=≤<F F X P 23ln 1)23(1}23{-=-=>F X P（2）x dx x dF x f 1)()(==，⎪⎩⎪⎨⎧<≤=,,0,1,1)(其他e x xx f 3. 设k 在(0,5)上服从均匀分布，求方程02442=+++k kx x 有实根的概率. 解：x 的二次方程02442=+++k kx x 有实根的充要条件是它的判别式 ,0)2(44)4(2≥+⨯-=∆k k 即,0)2)(1(16≥-+k k 解得1,2-≤≥k k 或由假设k 在区间(0,5)上服从均匀分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=,,0,50,51)(其他x x f k故这个二次方程有实根的概率为⎰⎰⎰⎰-∞--∞-∞=+=+=-≤+≥=-≤≥=1152253051)()(}1{}2{)}1()2{(dx dx dx x f dx x f k P k P k k P p k k§2.4 随机变量的函数及其分布一、计算题1. 设随机变量X 的分布列为求2X Y =的分布列.解：2X Y =所有可能取值为0，1，4，9.2221{0}{0},5117{1}{1}{1}{1},1563011{4}{4}{2}{2}0,551111{9}{9}{3}{3}0,3030P Y P X P Y P X P X P X P Y P X P X P X P Y P X P X P X =========+=-=+======+=-=+======+=-=+=2.设随机变量X 的概率密度2,01()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它，求下列随机变量的概率密度：（1）12Y X =+; （2） 2Y X =.解：（1）1(y),1320Y y f y -⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩ （2）1,01()0,Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩3. 设随机变量X 在)1,0(区间内服从均匀分布,求Xe Y =的分布密度. 解： Y 的分布函数)ln ()()()(y X P y e P y Y P y F xY ≤=≤=≤=当y>0时，y dx x f y F yY ln )()(ln ==⎰∞-（注意x 在)1,0(有值，y 在),0(e ）y dy y dF y f Y Y 1)()(==， ⎪⎩⎪⎨⎧≤<=其他,0,1,1)(e y y y f Y第三章 二维随机变量及其分布§3.1 二维随机变量及其分布一、单选题1.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为 (),0,0;(,)0,.x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他则()P X Y <=（ A ）（A ）0.5 （B ）0.55 （C ） 0.45 （D ）0.62.二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y 是以下哪个随机事件的的概率（ B ）（A ）()()X x Y y ≤≤ （B ）()()X x Y y ≤≤（C ） X x y ≤+ （D ）X x y ≤-二、填空题1.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为(,)(arctan )(arctan )23x y F x y A B C =++ 则系数A =21π，B =2π，C =2π，(,)X Y 的联合概率密度为2226(,)(4)(9)f x y x y π=++ . 2.设二维随机变量,X Y （）的联合概率密度为(2),0,0;(,)0,.x y Ae x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他则 A = 2 .三、计算题1.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为：222(,),(,)(4)(9)Af x y x y x y π=-∞<<+∞++ 求 （1）系数A ；（2）}{02,03P X Y <<<<. 解：（1）由于⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(y x f ，故2221(4)(9)Adxdy x y π+∞+∞-∞-∞=++⎰⎰， 222111(4)(9)Adx dy x y π+∞+∞-∞-∞=++⎰⎰1,6A=所以6A = （2）}{02,03P X Y <<<<232220611(4)(9)dx dy x y π=++⎰⎰ 116=2.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(6),02,24;(,)0,.k x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他试求：（1）常数k ；(2)概率(1,3)P X Y <<. 解：（1）由于⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(y x f ，故1)6(--=--⎰⎰+∞∞+∞∞dxdy y x k ，18=k所以81=k （2）)3,1(<<Y X P =83)6(811032=--⎰⎰dxdy y x3.将三个球随机的投入三个盒子中去，每个球投入盒子的可能性是相同的.以X 及 Y 分别表示投入第一个及第二个盒子中球的个数，求二维随机变量(,)X Y 联合概率分布. 解：3;3,2,1,0;3,2,1,0,)31()!3(!!!3),(3≤+==--===j i j i j i j i j Y i X P§3.2 边缘分布 §3.3 随机变量的独立性1.下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合概率分布及关于X 和关于Y 的边缘概率分布的部 分数值，试将其余值填入表中的空白处2.已知随机变量1X 和2X 的概率分布如下12{0} 1.P X X ==而且（1）求1X 和2X 的联合分布；（2）问1X 和2X 是否独立？为什么？ 解：（2）1X 和2X 不独立。