第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件§1.2 随机事件的概率一、单选题1.以表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为（ D ）A A （A ） “甲种产品滞销，乙种产品畅销”（B ）“甲、乙两种产品均畅销”（C ） “甲种产品畅滞销” （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”2.对于事件，有，则下述结论正确的是（ C ）、A B B A ⊂ （A ）必同时发生； （B ）发生，必发生；、A B A B （C ）发生，必发生； （D ）不发生，必发生B A B A 3.设随机事件和同时发生时，事件必发生，则下列式子正确的是（C ）A B C (A) (B)()()P C P AB =)()()(B P A P C P += (C) (D)1)()()(-+≥B P A P C P 1)()()(-+≤B P A P C P 二、填空题1. 设表示三个随机事件，用的关系和运算表示,,A B C ,,A B C （1）仅发生为：；A ABC （2）中正好有一个发生为：； ,,ABC ABC ABC ABC ++（3）中至少有一个发生为：；,,A B C A B C （4）中至少有一个不发生表示为：.,,A B C A B C 2.某市有住户订日报，住户订晚报，住户至少订这两种报纸中的一种，则同50%65%85%时订这两种报纸的住户所占的百分比是30%.3. 设则 111()()(),()()(),(),4816P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =======；；；()P A B C ⋃⋃=716()P ABC =916(,,)P A B C =至多发生一个34. (,,P A B C =恰好发生一个）316§1.3古典概率一、填空题1.将数字写在张卡片上，任取张排成位数，则它是奇数的概率为. 1,2,3,4,5533352.把10本书任意放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率为. !10!8!33.若袋中有3个红球，12个白球，从中不返回地取10次，每次取一个，则第一次取得红球的概率为，第五次取得红球的概率为. 15154. 盒中有2只次品和4只正品，有放回地从中任意取两次，每次取一只，则 （1）取到的2只都是次品； 19（2）取到的2只中正品、次品各一只； 49（3）取到的2只中至少有一只正品. 89二、计算题1．一份试卷上有6道题. 某位学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的错误. 试求：(1) 这4处错误发生在最后一道题上的概率；(2) 这4处错误发生在不同题上的概率；(3) 至少有3道题全对的概率.解：4个错误发生在6道题中的可能结果共有64=1296种，即样本点总数为1296.(1)设A 表示“4处错误发生在最后一道题上”，只有1种情形，因此； 12961)(=A P (2)设B 表示“4处错误发生在不同题上”，即4处错误不重复出现在6道题上，共有46P 种方式，因此有6种可能，故 360345=⨯⨯⨯.1851296360)(==B P (3)设C 表示“至少有3道题全对”相当于“至少有2个错误发生在同一题上”，而表示C “4处错误发生在不同题上”，，. B C =1813)(1)(=-=B P C P 2. 已知件产品中有件是不合格品，今从中随机地抽取件，试求:N M n (1) 件中恰有件不合格品的概率；n k (2) 件中至少有一件不合格品的概率.n 解：从件产品中抽取件产品的每一取法构成一基本事件,共有种不同取法.N n n N C(1)设A 表示抽取件产品中恰有件不合格品的事件，则A 中包含样本点数为,n k k n k M N M C C --由古典概型计算公式，()k n k M N M n NC C P A C --=。

(2)设B 表示抽取件产品中至少有一件不合格品的事件，则表示件产品全为合格品n B n 的事件，包含个样本点。

则。

nN M C -()1()1n N M n NC P B P B C -=-=-3．一批产品共20件，其中一等品9件，二等品7件，三等品4件。

从这批产品中任取3件，求: (1) 取出的3件产品中恰有2件等级相同的概率；（2）取出的3件产品中至少有2件等级相同的概率.解：设事件表示取出的3件产品中有2件等品，其中=1，2，3；i A i i （1）所求事件为事件、、的和事件，由于这三个事件彼此互不相容，故1A 2A 3A =0.671 )()()()(321321A P A P A P A A A P ++=++320116241132711129C C C C C C C ++= （2）设事件表示取出的3件产品中至少有2件等级相同，那么事件表示取出的3件A A 产品中等级各不相同，则 779.01)(1)(320141719=-=-=C C C C A P A P§1.4条件概率一、单选题1.设,互不相容，且,则必有（ D ）.A B ()0,()0P A P B >>(A) （B ）0)(>A B P )()(A P B A P =(C) （D ）)()()(B P A P AB P =0)(=B A P 2.已知，，，则（ D ）.()0.5P A =()0.4P B =()0.6P A B ⋃=()P A B = (A) 0.2 （B ）0.45 (C) 0.6 （D ）0.753.已知，则( C ).,()0.2,()0.3A B P A P B ⊂==()P BA =(A) （B ） (C) （D ）0.30.20.10.44.已知 则 ( D ).()0.4,()0.6,(|)0.5,P A P B P B A ===()P A B ⋃=(A) （B ） (C) （D ）0.90.80.70.65. 掷一枚质地均匀的骰子，设A 为“出现奇数点”，B 为“出现1点”，则()=P B A ( C ).(A) 1/6 （B ） 1/4 (C) 1/3 （D ） 1/2二、填空题1. 已知,及,则 .5.0)(=A P6.0)(=B P 8.0)(=A B P =)(B A P 0.72.设互不相容，且；则.,A B (),()P A p P B q ==(P AB =1--p q 3.设事件及的概率分别为，则.,A B A B ⋃0.4,0.3,0.5()P AB =0.24.已知事件互不相容，且，则＝．B A ,()()6.0,3.0==B A P A P ()B P 0.55.设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的概率为0.4. 如果一只动物现在已经活到20岁, 则它能活到25岁以上的概率是. 0.5三、计算题1. 一批彩电，共100台，其中有10台次品，采用不放回抽样依次抽取3次，每次抽一台，求第3次才抽到合格品的概率.解 设A i (i =1,2,3)为第i 次抽到合格品的事件，则有= =10/100·9/99·90/98≈0.0083.)(321A A A P )()()(21312A A A P A A P A P 2.一个盒子装有6只乒乓球，其中4只是新球. 第一次比赛时随机地从盒子中取出2只乒乓球，使用后放回盒子．第二次比赛时又随机地从盒子中取出2只乒乓球. 试求第二次取出的球全是新球的概率.12322222113422442222222666666B B B 4P A 253i i i =1解：设：第一次取出的都是新球，：都是旧球，：一新一旧（）=P (B )P (A |B )=⨯⨯+⨯⨯⨯=∑C C C C C C C C C C C C C 3.某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”、“一般的”、“冒失的”。

统计资料表明，这3种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%， “一般的”占50%，“冒失的”占30%，一个被保险人在一年内出事故的概率是多大？解：设=“他是谨慎的”， =“他是一般的”， =“他是冒失的”，则1B 2B 3B 321,,B B B 构成了的一个划分，设事件=“出事故”，由全概率公式：ΩA)|()()(31i i i B A P B P A P ∑==0.0520%0.1550%0.3020%0.125.=⨯+⨯+⨯=§1.5 事件的独立性 §1.6 独立试验序列一、单选题1.设是两个相互独立的随机事件,，则（ B ）B A 、0>⋅）（）（B P A P =)(B A P (A) (B) ）（）（B P A P +）（（B P A P ⋅-1(C) (D) （）（B P A P ⋅+1）（AB P -12.设甲乙两人独立射击同一目标，他们击中目标的概率分别为 0.9和0.8，则目标被击中的概率是（ B ）.(A) 0.9 （B ） 0.98 (C) 0.72 （D ） 0.83.每次试验成功率为，)10(<<p p (1)进行10次重复试验成功4次的概率为( A )(2)进行重复试验，直到第10次试验才取得4次成功的概率为( B )(3)进行10次重复试验，至少成功一次的概率为( D )(4)进行10次重复试验，10次都失败的概率为( C )(A) (B) (C) (D) 44610(1)C p p -3469(1)C p p -10(1)p -101(1)p --二、填空题1.设与为两相互独立的事件，=0.6，=0.4，则=. A B )(B A P )(A P )(B P 132.三台机器相互独立运转，设第一、二、三台机器不发生故障的概率依次为，0.9,0.8,0.7则这三台机器中至少有一台发生故障的概率.0.4963.某人射击的命中率为，独立射击次，则至少击中次的概率为.4.01011010.6-4.某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875，则这射手在一次射击中命中的概率为 0.5 .5.一批电子元件共有100个，次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个，则第二次才取到正品的概率为. 19396三、计算题1. 5名篮球运动员独立地投篮，每个运动员投篮的命中率都是80％.他们各投一次，试求：(1) 恰有4次命中的概率；(2) 至少有4次命中的概率；(3) 至多有4次命中的概率.解：设i i A 表示第i 个运动员命中，=1，2，3，4，5 (1)412345()5()50.20.80.4096=⨯=⨯⨯=P A P A A A A A (2)512345()()()0.40960.80.7373P B P A P A A A A A =+=+= (3)512345()1()10.80.6723P C P A A A A A =-=-=2．一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人看管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7.求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人看管的概率.解：设事件表示第台车床不需要照管，事件表示第台车床需要照管，（=1，2，i A i i A i i 3），根据题设条件可知：1.0)(,9.0)(11==A P A P2.0)(,8.0)(22==A P A P3.0)(,7.0)(33==A P A P 设所求事件为，则B )()(321321321321A A A A A A A A A A A A P B P +++= 根据事件的独立性和互不相容事件的关系，得到：)()()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P B P +=++)()()(321A P A P A P ()()(321A P A P A P3.08.09.07.02.09.07.08.01.07.08.09.0⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=0.902.= 3.甲、乙、丙3位同学同时独立参加《概率论与数理统计》考试，不及格的概率分别为.0.4,0.3,0.5（1）求恰有两位同学不及格的概率；（2）如果已经知道这3位同学中有2位不及格，求其中一位是同学乙的概率.解：（1）设，，，{}A =恰有两位同学不及格1{}B =甲考试及格2{}B =乙考试及格.则3{}B =丙考试及格 123123123123123123()()()()()P A P B B B B B B B B B P B B B P B B B P B B B =⋃⋃=++ 123123123()()()()()()()()()0.29P B P B P B P B P B P B P B P B P B =++= （2）12312312312322()()()()15()()()()29P B B B B B B P B B B P B B B P AB P B A P A P A P A ⋃+====第二章 随机变量及其分布§2.1 随机变量§2.2 离散型随机变量及其概率分布一、单选题1. 离散型随机变量的概率分布为()的充要条件是( A ).X k A k X P λ==)( ,2,1=k （A ）且 （B ）且1)1(-+=A λ0>A λ-=1A 10<<λ（C ）且 （D ）且11-=-λA 1<λ0>A 10<<λ2. 下面函数中，可以作为一个随机变量的分布函数的是（ B ）.（A ） （B ） ()211x x F +=()21arctan 1+=x x F π（C ） （D ） ()()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-.0,0;0,121x x e x F x ()()()1,==⎰⎰+∞∞-∞-dt t f dt g f x F x 其中3. 已知随机变量服从二项分布,则（ C ）.X (6,0.5)B ～X (2)P X ==（A ） （B ） （C ） （D ） 16641516156435二、填空题1. 已知随机变量的取值是－1,0,1,2，随机变量取这四个数值的概率依次是X X ，则. bb b b 162,85,43,21=b 22. ,则的分布函数是(1,0.8)B ～X X 0,0()0.2,0 1.1,1<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩x F x x x 3. 设随机变量,若则.),3(~),,2(~p B Y p B X {},951=≥X P {}=≥1Y P 19274.重复独立地掷一枚均匀硬币，直到出现正面向上为止，则抛掷次数Y 的分布为. {}1(),1,2,3,2=== k P Y k k 三、计算题1. 一寻呼台每分钟收到寻呼的次数服从参数为4的泊松分布.求（1）每分钟恰有7次寻呼的概率.（2）每分钟的寻呼次数大于10的概率.解： ,...)1,0(,!4)(4===-k e k k X P k（1） 0596.08893.09489.0!64!74)6()7(4647=-=-=≤-≤--e e X P X P （2） 0028.09972.01!1041)10(1410=-=-=≤--e X P 2. 已知盒子中有4个白球和2个红球，现从中任意取出3个，设X 表示其中白球的个数，求出X 的分布列.解：的可能取值为3、4、5，又X 53}5{,103}4{,1011}3{3524352335=========C C X P C C X P C X P 3 4 5 X P 101103533. 设随机变量Y 的分布列为：Y 0 1 2 3 P 2A 3A 4A 5A 求 (1)系数A 及Y 的分布列；(2)Y 的分布函数；(3) {}{}{}13， 1.5 3.5， 2.5.P Y P Y P Y ≤≤≤≤≤(1)∵ ∴ ()121520306054321+++=+++=A A A A A 7760=A 此时分布为0 1 2 3 P7730772077157712 (2)(3). ()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=.3,132,7765,21,7750,10,7730,0,0x x x x x x F 7765,7727,7747§2.3 连续型随机变量及其概率密度一、单选题1. 若函数 是随机变量的概率密度，则区间为 （ A ） cos ,()0,x x D f x ∈⎧=⎨⎩其它X D （A ） （B ） （C ） （D ） π[0,]2ππ[,]2π[0,]37ππ[,]242.下列函数为随机变量的密度函数的为( D )(A) (B)⎩⎨⎧∈=其他,0],0[,cos )(πx x x f ⎪⎩⎪⎨⎧<=其他,02,21)(x x f(C) (D) ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=--0,00,21)(222)(x x e x f x σμπσ⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x 3. 设随机变量的概率密度为，则一定满足（ D ）X ()f x ()f x （A ） （B ） ()01f x ≤≤()()x P X x f t dt -∞>=⎰（C ） （D ） ()1xf x dx +∞-∞=⎰()()x P X x f t dt -∞<=⎰4.设,那么当增大时，则（ C ）),(~2σμN X σ)(σμ<-X P (A)增大 (B)减少 (C)不变 (D)增减不定5. 设且，则（ C ） (),2~2,σN X 6.0)40(=<<X P ()=<0X P （A ）0.3 （B ）0.4 （C ）0.2 （D ）0. 5二、填空题1.设连续随机变量的分布函数为 X ()arctan ,F x A B x x =+-∞<<+∞(1); ;(2) 0.5 ;(3)概率密度. A =12B =1π(11)P X -≤≤=()f x =2111xπ+2.设随机变量在在区间上服从均匀分布，则X []1,2-（1） 0 , （2） 2/3 ,(61)P x -<<-=(41)P x -<<=（3） 1 , （4） 1/3 .(23)P x -<<=(16)P x <<=3. 设随机变量,则若， 1 . ,)9,1(~N X 1()2P X k <=k =4. 设随机变量，,则事件的概率为0.383．()2~1,2X N 6915.0)5.0(=Φ}20{<≤X 5. 设随机变量，若,则 0.35 .),2(~2σN X 3.0}40{=<<X P =<}0{X P 三、计算题1. 设连续型随机变量的密度函数为X， ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=其它432230x x x cx x f 求：⑴ 常数；⑵ 概率．c {}62<<X P 解：⑴ 由密度函数的性质，得()1=⎰+∞∞-dx x f()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+++==44331dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f⎰⎰⎰⎰+∞∞-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=4433000220dx dx x cxdx dx 412947229422432302+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=c c x x x c 所以，得．即随机变量的密度函数为 61=c X ．()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤=其它04322306x x x xx f ⑵{}()()()()⎰⎰⎰⎰++==<<6443326262dx x f dx x f dx x f dx x f X P ． ⎰⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=6443320226dx dx x dx x 32411254212432322=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x2. 设随机变量的分布函数为X⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=,,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F（1）求； },2{<X P },41{≤<X P }23{>X P （2）求分布密度.)(x f 解：（1）2ln )2(}2{}2{==≤=<F X P X P,11ln 1)1()4(}41{=-=-=≤<F F X P 23ln 1)23(1}23{-=-=>F X P （2）， x dx x dF x f 1)()(==⎪⎩⎪⎨⎧<≤=,,0,1,1)(其他e x x x f 3. 设k 在(0,5)上服从均匀分布，求方程有实根的概率. 02442=+++k kx x 解：x 的二次方程有实根的充要条件是它的判别式 02442=+++k kx x 即,0)2(44)4(2≥+⨯-=∆k k ,0)2)(1(16≥-+k k解得1,2-≤≥k k 或 由假设k 在区间(0,5)上服从均匀分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=,,0,50,51)(其他x x f k 故这个二次方程有实根的概率为⎰⎰⎰⎰-∞--∞-∞=+=+=-≤+≥=-≤≥=1152253051)()(}1{}2{)}1()2{(dx dx dx x f dx x f k P k P k k P p k k §2.4 随机变量的函数及其分布一、计算题1. 设随机变量的分布列为X X -2 -1 0 1 3k p51 61 51 151 3011求的分布列.2X Y =解：所有可能取值为0，1，4，9.2X Y =2221{0}{0},5117{1}{1}{1}{1},1563011{4}{4}{2}{2}0,551111{9}{9}{3}{3}0,3030P Y P X P Y P X P X P X P Y P X P X P X P Y P X P X P X =========+=-=+======+=-=+======+=-=+=故X 的分布律为：Y149k P 51307 51 30112.设随机变量的概率密度，求下列随机变量的概率密度：X 2,01()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它（1）; （2） .12Y X =+2Y X =解：（1） （2）1(y),1320Y y f y -⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩1,01()0,Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩3. 设随机变量在区间内服从均匀分布,求的分布密度. X )1,0(Xe Y =解： Y 的分布函数)ln ()()()(y X P y e P y Y P y F xY ≤=≤=≤=当y>0时，（注意x 在有值，y 在）y dx x f y F yY ln )()(ln ==⎰∞-)1,0(),0(e ，y dy y dF y f Y Y 1)()(==⎪⎩⎪⎨⎧≤<=其他,0,1,1)(e y y y f Y第三章 二维随机变量及其分布§3.1 二维随机变量及其分布一、单选题1.设二维随机变量的联合概率密度为(,)X Y (),0,0;(,)0,.x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他则（ A ）()P X Y <=（A ）0.5 （B ）0.55 （C ） 0.45 （D ）0.62.二维随机变量的联合分布函数是以下哪个随机事件的的概率（ B ）(,)X Y (,)F x y （A ） （B ） ()()X x Y y ≤≤ ()()X x Y y ≤≤ （C ） （D ）X x y ≤+X x y ≤-二、填空题1.设二维随机变量的联合分布函数为 (,)X Y (,)(arctan arctan 23x y F x y A B C =++则系数=，=，=，的联合概率密度为A 21πB 2πC 2π(,)X Y . 2226(,)(4)(9)f x y x y π=++2.设二维随机变量的联合概率密度为,X Y （）(2),0,0;(,)0,.x y Ae x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他则 = 2 .A 三、计算题1.设二维随机变量的联合概率密度为：(,)X Y222(,),(,)(4)(9)Af x y x y x y π=-∞<<+∞++求 （1）系数；（2）. A }{02,03P X Y <<<<解：（1）由于，⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(y x f故， 2221(4)(9)Adxdy x y π+∞+∞-∞-∞=++⎰⎰222111(4)(9)Adx dy x y π+∞+∞-∞-∞=++⎰⎰所以 1,6A=6A =（2） }{02,03P X Y <<<<232220611(4)(9)dx dy x y π=++⎰⎰ 116=2.设二维随机变量的联合概率密度为(,)X Y(6),02,24;(,)0,.k x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他试求：（1）常数；(2)概率. k (1,3)P X Y <<解：（1）由于，⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(y x f 故，1)6(--=--⎰⎰+∞∞+∞∞dxdy y x k18=k 所以 81=k （2）=)3,1(<<Y X P 83)6(811032=--⎰⎰dxdy y x3.将三个球随机的投入三个盒子中去，每个球投入盒子的可能性是相同的.以及 分别X Y 表示投入第一个及第二个盒子中球的个数，求二维随机变量联合概率分布. (,)X Y 解：3;3,2,1,0;3,2,1,0,)31()!3(!!!3),(3≤+==--===j i j i j i j i j Y i X P XY1230 271 273 273 2711 273 276 273 02 273 273 0 03271§3.2 边缘分布 §3.3 随机变量的独立性1.下表列出了二维随机变量联合概率分布及关于和关于的边缘概率分布的部 (,)X Y X Y 分数值，试将其余值填入表中的空白处 YX 1y2y 3y{}i i P X x p ⋅==1x 124 81 112142x 183814 43{}i jP Y y p ⋅==61 21 31 12.已知随机变量和的概率分布如下 1X 2X而且12{0} 1.P X X ==1X1-1P1412142X 01 P 1212（1）求和的联合分布；（2）问和是否独立？为什么？ 1X 2X 1X 2X 解：2X 1X -1 0 10 0.25 0 0.2510 0．5 0（2）和不独立。