第二章 随机变量及其分布第二节 离散随机变量一、选择1. 设离散随机变量X 的分布律为:),3,2,1(,}{ ===k b k X P k λ 且0>b ，则λ为（ C ）(A) 0>λ (B)1+=b λ (C)b +=11λ (D)11-=b λ 二、填空1.进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为54, 失败的概率为51, 将试验进行到出现一次成功为止, 以X 表示所需试验次数, 则X 的分布律是{} 1,2, , 54)51(1=⋅==-K K X P K三、计算题1. 一个袋子中有5个球,编号为1,2,3,4,5, 在其中同时取3只, 以X 表示取出的3个球中的最大号码, 试求X 的概率分布.的概率分布是从而，种取法，故只，共有任取中，，个号码可在，另外只球中最大号码是意味着事件种取法，故只，共有中任取，，个号码可在，另外只球中最大号码是意味着事件只有一种取法，所以只球号码分布为只能是取出的事件的可能取值为解X C C X P C X C C X P C X C X P X X 53}5{624,321253},5{103}4{2321243},4{1011}3{,3,2,13},3{.5,4,335242235232335=============第三节 超几何分布 二项分布 泊松分布一、选择1.设随机变量),3(~),,2(~p B Y p B X , {}{}()CY P X P =≥=≥1,951则若(A)43 (B)2917 (C)2719 (D)97 二、填空1.设离散随机变量X 服从泊松分布,并且已知{}{},21===X P X P{})0902.0_____(32_42-=e X P ＝则.三、计算题1.某地区一个月内发生交通事故的次数X 服从参数为λ的泊松分布,即)(~λP X ,据统计资料知,一个月内发生8次交通事故的概率是发生10次交通事故的概率的2.5倍. (1) 求1个月内发生8次、10次交通事故的概率； （2）求1个月内至少发生1次交通事故的概率；9975.000248.01}0{1}1{00248.0}0{)2(0413.0!106}10{1033.0!86}8{)1(6,36!105.2!8}10{5.2}8{.,.,2,1,0,!}{),(~10610682108≈-≈=-=≥≈===≈==≈====⨯====⋯===------X P X P e e X P e X P e X P e e X P X P k k e k X P P X k λλλλλλλλλλλλ解出即据题意有关键是求出是未知的这里题这是泊松分布的应用问解第五节 随机变量的分布函数一、填空题1.设离散随机变量,216131101~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-X 则X 的分布函数为 . ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<==++=≤=≥=+=≤=<≤=≤=<≤-=≤=-<1,110,2101,311,0)(1216131}{)(1;216131}{)(1031}{)(01;0}{)(1x x x x x F x X P x F x x X P x F x x X P x F x x X P x F x 当当当当整理，得时，当时，当时，当时，当解二、选择1.设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数,为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一变量的分布函数,在下列给定的数值中应取( A )(A)52,53-==b a (B)32,32==b a (C)23,21=-=b a (D)23,21-==b a 2.设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<**≤=2,12)(,4)(,0)(2x x xx x F ,当(*)取下列何值时,)(x F 是连续型随机变量的分布函数.（ A ）(A) 0 (B) 0.5 (C) 1.0 (D)1.5三．计算题1.设随机变量X 的分布函数为x B A x F arctan )(+=,求B A ,的值. 解:由随机变量分布函数的性质.0)(lim =-∞→x F x .1)(lim =+∞→x F x 知.2)2()a r c t a n (lim )(lim 0B A B A x B A x F x x ππ-=-⨯+=+==-∞→-∞→.22)arctan (lim )(lim 1B A B A x B A x F x x ππ+=⨯+=+==+∞→+∞→ 解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-1202B A B A ππ得π1,21==B A 第六节 连续随机变量的概率密度一、选择1.下列函数中，可为随机变量X 的密度函数的是（ B ）（A ） sin ,0()0,x x f x π≤≤⎧=⎨⎩其它（B ）sin ,0()20,x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它（C ） 3sin ,0()20x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩，其它（D ）()sin ,f x x x =-∞<<+∞ 二、填空1.设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x x F ,arctan 121)(π(1)(11)P X -≤≤= 0.5 (2)概率密度()f x =2111x +⋅π 三、计算题1. 设随机变量X 的概率密度：,10(),010,1c x x f x c x x x +-≤≤⎛=-≤≤ >⎝求：（1）常数c ；（2）概率(0.5)P X ≤ 解：（1）1)()(11=-++⎰⎰-dx x c dx x c ，c=1(2) (0.5)P X ≤=75.0)1()1(5.005.0=-++⎰⎰-dx x dx x2.已知随机变量X 的概率密度1(),2xf x e x -=-∞<<+∞， 求：分布函数()F x 。
解：x xt x te dt e dt e x F x 212121)(,0===<⎰⎰∞-∞-- x x tt x t te dt e dt e dt e dt e x F x --∞--∞---=+=+=≥⎰⎰⎰⎰21121212121)(,0000011,02()1,02xx e x F X e x -⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩第七节 均匀分布、指数分布一、选择1.在区间[]1,2-上服从均匀分布的随机变量X 的密度函数是（ B ）（A ） 3,12()0,x f x -≤≤⎧=⎨⎩其它（B ）1,12()30,x f x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它（C ） ()3,f x x =-∞<<+∞ （D ）1(),3f x x =-∞<<+∞2.服从参数为0.5的指数分布的随机变量X 的密度函数是（ C ）（A ） 22,0()0,x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ （B ） 2()2,x f x e x -=-∞<<+∞（C ） 121,0()20,0x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩（D ）121(),2x f x e x -=-∞<<+∞二、填空1.设随机变量X 在在区间[]1,2-上服从均匀分布，则 (1)(61)P x -<<-= 0 , (2) (41)P x -<<=32 ⑶ (23)P x -<<= 1 , (4) (16)P x <<=31三、计算题1.某仪器有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：h ）都服从同一指数分布，概率密度为：16001,0()6000,0x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩试求：在仪器使用的最初的200h 内至少有一只电子元件损害的概率。
解：312006006001)200(e dx e X P x ==>⎰∞- （一只没损害E 的 概率） 设A 表示最初的200h 内至少有一只电子元件损害e e A P 111)(331-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 第八节 随机变量函数的分布一、选择1.设随机变量X 的概率密度为22,0()0,x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩则随机变量2y X =的概率密度为（ D ）（A ） 2,()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩ （B ） 22,0()0,y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩（C ） 2,()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩ （D ） ,0()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩二、计算题1.设随机变量X 服从二项分布(3,0.4)B ，求2Y X X =-的概率分布。
2.设随机变量的概率密度2,01()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它求2Y X =的概率密度。
解：1)(2)(2)()()()(,1002='⋅==≤≤-=≤=≤=≤≤⎰y y y f xdxy X y P y X P y Y P y F y Y yY因此1,01()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其它第九节 二维随机变量的联合分布一、选择题1.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为 (),0,0;(,)0,.x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他则()P X Y <= （ A ）（A ）0.5 （B ）0.55 （C ） 0.45 （D ）0.6二、填空1. 下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部 分数值，试将其余值填入表中的空白处2.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为(,)(arctan )(arctan )23F x y A B C =++ 则系数A =21π，B =2π，C =2π， (,)X Y 的联合概率密度为2226(,)(4)(9)f x y x y π=++三、计算题。
1.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(2),0,0;(,)0,.x y Ae x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他 试求（1）常数A ； (2) 概率(01,02)P X Y ≤≤≤≤. 解：（1）由于(,)1f x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，故(2)012x y AAe dxdy +∞+∞-+==⎰⎰，所以2A = （2）12(2)01(01,02)2x y P X Y dx e dy -+≤≤≤≤=⎰⎰14(1)(1)e e --=--第十节 二维随机变量的边缘分布一、计算题1.设二维随机变量X Y （，）的联合概率密度为e ,0(,)0,y x yf x y -⎧<<=⎨⎩其他，求X 的边缘概率密度)(x f X 。