--圆方程与直线与圆、圆与圆关系一、圆的标准方程 1.圆的定义(1）条件:平面内到定点的距离等于定长的点的__集合__＿． (2)结论：定点是_圆心__＿＿,定长是___半径__. 2.圆的标准方程(1）圆心为A （a,b ）,半径长为r 的圆的标准方程为 .(2）圆心在原点,半径长为ｒ的圆的标准方程为 2．点与圆的位置关系圆C :(x -a )２＋(ｙ-ｂ）2=ｒ2(r ＞0），其圆心为(a ,b )，半径为r ，点P (x 0，y 0）,设d =｜PC ｜=错误!. 位置关系 d 与ｒ 的大小图示点P 的坐标的特点 点在圆外ｄ__>__r(x ０-a )2＋(y 0－b )2>r ２点在圆上d ＿_=__r(x 0-ａ)2＋(ｙ0-b ）2=r 2点在圆内d __<__ｒ(x ０－a )2+(y ０-b )２<ｒ2题型一：圆的标准方程 例1.写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点,半径是３；(2)圆心在点C （3,4)处，半径是5；(3）经过点P （5,1)，圆心在点C （８，－３)处题型二：点与圆的位置关系的判断例2．已知两点Ｐ1(3,8)和P 2(５，4)，求以线段P １P 2为直径的圆的方程,并判断点Ｍ(5,3）,N (3,４）,Ｐ（３,5)是在此圆上，在圆内,还是在圆外？变式：若原点在圆(x -1)2+(y ＋2)2=m 的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．m >5 Ｂ．m ＜5 C ．－2＜ｍ＜２ Ｄ.０＜m ＜2题型三：圆标准方程的求解例3.求下列条件所决定的圆的方程:（1)已知圆 C 过两点 A (5,１)，B (1,3),圆心在 x 轴上；(x －a )2＋(y －b )2＝r 2x 2+y 2=r 2--（2）求圆心在直线ｘ-２y -3＝0上,且过点A （2,－3)，Ｂ（－2,－5)的圆心的标准方程.（3)经过三点 A (1，-1)，B (1,4),C (４,－2).变式１:变式2:如图,矩形ABCD 的两条对角线相交于点Ｍ（２,０），A Ｂ边所在直线的方程为x －3y -6＝0，点Ｔ(－1,1）在AD 边所在的直线上.(１)求AD 边所在直线的方程； （２)求矩形ABCD 外接圆的方程.一、 圆的一般方程 １．圆的一般方程（1)方程：当Ｄ2＋Ｅ2-４F ＞0时,方程x 2＋y ２＋Dx +Ey ＋F =0叫做圆的一般方程，其中圆心为＿____＿__＿_＿＿＿_,半径为r =_＿_________＿____. (2)说明:方程ｘ２＋y 2＋Dx +Ey +Ｆ=0不一定表示圆.当且仅当_＿_＿_＿_＿____＿_时,表示圆:当D 2+E ２－４F ＝０时,表示一个点____(-Ｄ2，-错误!）＿_;当Ｄ2+Ｅ２-4Ｆ<0时，不表示任何图形.(3）用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤:①根据题意,选择＿标准方程＿＿_____或＿__一般方程_______; ②根据条件列出关于a ,b ，ｒ或D ，E ,F 的_方程组__＿_＿_＿__； ③解出ａ,b ,r 或D ,E ,F ,代入标准方程或一般方程. ２．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 剖析:已知点M (x 2＋y 222－4F ＞０)，则其位置关系如下表：位置关系 代数关系点Ｍ在圆外 x 错误!+y 错误!+Dx 0＋Ｅy 0＋Ｆ＞0 点M 在圆上 x ＼o ＼ａl(2,0）＋y ２0＋Dx ０＋Ｅy 0+Ｆ=0点Ｍ在圆内ｘ错误!＋ｙ错误!+Ｄx 0+Ey ０＋F <0题型一:圆的一般方程例1．圆ｘ2＋y 2－4x －１=0的圆心坐标及半径分别为( )A ．（２,0),5 B.(2,0),错误! C ．(0,2),错误!D.(2,2）,５变式2:下列方程各表示什么图形：圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 C (－D 2，－E 2) 12D 2＋E 2－4F D 2＋E 2－4F >0 变式1：若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．R B ．(－∞，1) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)(１)x 2＋y ２-4x -2y +5=0； (２)x 2＋ｙ2-2x +4ｙ－４＝0； (3)x ２＋ｙ2＋ax -3a ｙ=０.题型二:圆的方程求解例2.(1)过三点A (-１,５),B （5,5)，C （6，－2)的圆的方程是( )Ａ.x 2+y ２＋4x －2ｙ-２0=0 B.ｘ2+ｙ2－４x ＋2y －20=０ C.x ２+y 2－4x -2y -20＝０ Ｄ.x ２+y 2＋4x +4y -20＝0(２）已知圆Ｃ：x 2+y 2＋Ｄx +Ey ＋3=0,圆心在直线x ＋y -1＝０上,且圆心在第二象限,半径为2,求圆的一般方程．变式：(１）已知圆经过A (2，－3)和B (－2,－5),若圆心在直线x -２y -3＝0上，求圆的方程.(2）求过点Ａ（－1，0)、B （3,０)和Ｃ(0，1)的圆的方程．题型三：轨迹问题例3.变式：已知点Ａ在直线２x -3y +5=０上移动，点P 为连接Ｍ(4,-3)和点A 的线段的中点,求Ｐ的轨迹方程.题型四：点与圆的位置关系例4． 点（2a,2)在圆x 2＋y ２-2y －4＝0的内部,则a 的取值范围是( ）Ａ.-1<a <1 Ｂ.0＜a <１ C ．－1<ａ＜错误! D ．－错误!<ａ<1 变式:已知点Ｏ(０，0)在圆ｘ2＋ｙ2＋kx +2ky +2ｋ2+k －1=0外,求k 的取值范围.例5.圆C :ｘ2+y 2＋x －6y +3=０上有两个点Ｐ和Q 关于直线ｋx -y +4＝０对称,则k ＝( ）Ａ.2 B ．－＼r(3)２Ｃ．±错误!D.不存在变式：若圆x 2＋y 2－2ax ＋3ｂy =0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay +b =0一定不经过( ）A ．第一象限 B.第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限三、直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系有三种:(1）直线与圆相交⇔直线与圆有_两＿_个公共点;自圆x 2＋y 2＝4上的点A (2,0)引此圆的弦AB ，求弦AB 的中点轨迹方程．(2)直线与圆相切⇔直线与圆有__一_个公共点; (3)直线与圆相离⇔直线与圆___无＿_公共点． 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数__2__个 _＿１__个 ＿0___个 判 定方 法 几何法:设圆心到直线的距离d =错误! d __<__r d __=_＿r d __>__r 代数法:由错误!消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ__＞__0Δ＿_=__0Δ_<___03.弦长公式：①几何法:由圆的性质知,过圆心O 作ｌ的垂线,垂足C 为线段ＡB 的中点.如图所示，在Rt △OCB 中，｜BC |2=r 2－d 2,则弦长|AB ｜=2|BC |，即｜AB ｜＝2＼r （r 2-d 2）.②代数法：解方程组错误!消元后可得关于x 1＋x 2，x 1·x 或y 1＋y ２,ｙ1·y 2的关系式，则｜A Ｂ｜＝错误!=错误!.注:上述公式通常称为弦长公式.题型一：直线与圆的位置关系例１.已知直线方程ｍｘ-y -m -１=0,圆的方程x 2+y ２－4ｘ－2ｙ＋1=0．当ｍ为何值时，圆与直线(１)有两个公共点；(2）只有一个公共点； (3)没有公共点？变式:题型二：弦长问题例2.求直线l :3x ＋y -6＝0被圆C ：x 2＋ｙ２-2y -4＝０截得的弦长.变式1:设直线l 截圆x 2＋ｙ２－2ｙ=0所得弦A Ｂ的中点为(－错误!，错误!),则直线l 的方程为___＿____;|ＡＢ｜＝_____＿__．变式2． 过点(2,1）的直线中,被圆ｘ2＋y 2-2x +4y ＝0截得的弦最长的直线的方程是( ）Ａ.3x －ｙ-5=０ Ｂ．3x +y -7=0 Ｃ．3x -y －１=0D ．3x ＋y -５=0变式3. 变式４ 已知直线x +7y ＝1０把圆ｘ2+y ２＝4分成两段弧,这两段弧长之差的绝对值等于（ )222若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短的弦长为________.A．＼ｆ(π，2) B.错误!C．π D.2π变式5.直线l经过点P(5,5)并且与圆C:x２+y2＝25相交截得的弦长为４＼r(5），求l的方程．题型三:圆的切线问题例3．过点A（4，－３)作圆C：(x－3）２+(y-1)2＝1的切线,求此切线的方程．变式1:求满足下列条件的圆ｘ2＋y2=４的切线方程:（１)经过点P(错误!，1）; (２)斜率为－１,（3）过点Ｑ(3,0）变式2:已知圆x2+ｙ2+2x＋2y+k=０和定点Ｐ(1，-1），若过点P的圆的切线有两条,则k的取值范围是(）A.(-2,＋∞)B．（-∞,2) C.(－2，2) D．(－∞,－２）∪（2，＋∞)变式3:若直线y=x+b与曲线y＝＼ｒ(4－ｘ2)有公共点,试求ｂ的取值范围．变式４:设圆(x－3)2＋(ｙ＋5)2＝ｒ2(r＞0)上有且仅有两个点到直线4x-3y－2=０的距离等于1，则圆半径r的取值范围是（)Ａ.3<r<5 B.4<ｒ＜6 C.r＞4 ﻩD．r>5变式5：过直线x+y－2＼r（２)=０上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线,若两条切线的夹角是６0°，则点Ｐ的坐标是__＿___＿_．变式6:已知圆x2+y2＋ｘ－6y＋m＝0与直线x+2y－3=0相交于Ｐ、Q两点,O为原点,且ＯP⊥ＯＱ,求实数m的值．二、圆与圆的位置关系1.判断圆与圆的位置关系(１)几何法:圆Ｏ1:（x-ｘ1)２+（ｙ－y1）２=ｒ21(r1>0)，圆Ｏ2：(x-x２)2＋(y-y２)2＝r错误!（r2>0)，两圆的圆心距d=|Ｏ1O2｜＝错误!,图示ｄ与r 1，ｒ２的关系ｄ＞r 1+r ２d =r 1＋ｒ２|r 1－２|<d < ｒ１＋r 2d =|ｒ1-2|d <|r 1-r 2|方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 ＿_＿＿２＿个 ___＿1_个_＿＿_0_个两圆的位置关系___相交＿__＿_外切＿＿或__内切__＿__内含_＿_或__外离_＿_题型一：两圆的位置关系例1.已知两圆C １：x 2+ｙ2＋４x +4y -2=0，C 2：x 2+y ２-2ｘ－8y －8=0，判断圆C １与圆C ２的位置关系,题型二:两圆的公共弦问题例２.已知两圆ｘ２＋y ２－２x +10y －24＝０和x ２＋ｙ2+2ｘ＋2y -8=0.（１）试判断两圆的位置关系; (2）求公共弦所在的直线方程; （３)求公共弦的长度．变式１:求过两圆x 2+y 2＋2x +8ｙ-８=0,x ２+ｙ２-4x －４y -２=0的交点且面积最小的圆的方程.变式2：求圆心在直线x ＋y ＝０上,且过两圆x ２＋y 2－２x +1０y －２4＝0,x 2＋y 2＋2x ＋2y －8=0的交点的圆的方程．题型三:两圆相切有关问题例3.半径为6的圆与x 轴相切,且与圆ｘ2+（y －3)2＝1内切，则此圆的方程是( )A ．(x －4)2+(y -６）2＝6 B.(x ＋４)２＋(y －6)2＝6或（x －4)２＋(y -6)２=6 C.(x －4)2+(y －6)2＝36 D ．(x ＋4)2+(y -6)2＝３6或(ｘ－4)2+(y -6)2＝36(２)求与圆x 2+y 2－x =0外切且与直线ｘ+错误!ｙ=0相切于点M (3,－错误!)的圆的方程．变式:求和圆(ｘ－２)２＋(y ＋1)２=4相切于点(４,-1)且半径为1的圆的方程.(2)代数法：圆O 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，圆O 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，两圆的方程联立得方程组，则有：。