例：（1）如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径，
且OD//AC。求证：CD=BD 证明：㈣ 延长DO交⊙O于点E，连接AE ，

∵AC//OD
∴⌒ AE
=
⌒ CD

在圆中，一组 平行弦所夹弧 相等。
E
∴AE=CD
AOE BOD
AE BD
∴CD=BD
（2）：如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径， 且OD//AC。延长AC、BD交于点E，连接BC，请判断： 下面结论中正确的是______________ 。 ①、②
∴四边形CFDG是矩形
（4）移动点D位置，使点D在弧AB中点处，令点C在弧AD之间， 过D做DF⊥BC，DG⊥AE，垂足为E、F，则四边形DGCF是什 么四边形？为什么？ 证明：连接OD，
∵AB是直径， DF⊥BC，DG⊥AE
∴∠FCG=∠CFD=∠DGC=90° ∴四边形CFDG是矩形
∵D是弧AB中点
A
C
O ·
⌒ AC = ⌒ BD
?
D B
·
例：（1）如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径，
且OD//AC。求证：CD=BD
AC // OD 证明：㈠ 连接OC，
A BOD, ACO COD
OA OC
A ACO
COD DOB CD BD
BOD 900
1 BCD BOD 45 0 2 ∴DF=CF
∴矩形CFDG是正方形
小结
通过本节课的复习，我们又重新梳理了圆心角、 圆周角、弧、弦、弦心距五种量之间的关系，以及 直径与弧、弦之间的关系定理——垂径定理及逆定 理。从这些关系中我们发现，证明圆中一对量相等 的道路是四通八达的，可以考虑证明圆中的其它几 对量相等。圆的这些性质是我们计算角、线段及证
①AB=AE ②BD=DE
√
√
③∠E=2∠EBC
×
④
×
（3）如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径， 且OD//AC。过点D做DG⊥AE，垂足为G，则四边形DGCF 是什么四边形？为什么？ 证明：∵AB是直径， DG⊥AE ∴∠FCG=∠DGC=90°
∵AC//OD
∴∠FCG=∠CFD=∠DGC=90°

通过证圆心角相等，得到弦相等
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弧相等，所对的弦也相等．
A′ B
B′
O
·
A
例：（1）如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径，
且OD//AC。求证：CD=BD 证明：㈡ 连接AD，
AC // OD
OA OD
CAD ODA OAD
∵AC//OD OD BC
∴⌒ CD
=
⌒ BD
∴CD=BD

通过垂径定理得到弧相等， 从而得到弦相等
C
即直径CD垂直于弦AB，平分弦AB, ⌒及ACB ⌒ 并且平分AB
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
·
E A D B
O
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧． 半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90度的圆周角所对的弦是直径。
相等的 圆心角

A′
所对的弧相等 所对的弦相等
D′ B′
B
D O
弦心距相等
·
A
课堂作业49页：第2题
E
A
F
O
D
B
C
课堂作业51页：第1题
A O B C
D
E
CD ∴⌒
=
⌒ BD
CD BD

通过证弧相等，得到弦相等
圆周角定理: 同弧 (等弧) 所对的圆周是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径，
且OD//AC。求证：CD=BD 证明：㈢ 连接BC，∵AB是直径

ACB 900
明角、线段、弧相等的基本依据和方法。
C
即直径CD垂直于弦AB，平分弦AB, ⌒及ACB ⌒ 并且平分AB
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
·
E A D B
O
课堂作业47页：第1题
B C
E F O
·
E
A D
B
A
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弧相等，所对的弦也相等．对 应的弦心距也相等.