《导数及其应用》一、选择题1.0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的:A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为A. B. C. D.3．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 4.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 5．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．56. 已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确 7. 直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为A ．1-B ．eC ．ln 2D ．18. 若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或C ．22<<-kD ．不存在这样的实数k9. 10．函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示， 则函数()f x 在(),a b 内有极小值点A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为A ．3B ．52 C ．2 D ．32二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11.函数sin xy x=的导数为_________________ 12、已知函数223)(a bx ax x x f +++=在x=1处有极值为10，则f (2)等于____________. 13．函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是14．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 15. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，0)()(2>-'xx f x f x ）（0>x ，则不等式0)(2>x f x 的解集是三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值．17. 已知函数3()3f x x x =-.（Ⅰ）求)2(f '的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.18. 设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3.（1）求)(x f 的单调区间和极值；（2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. （3）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围.19. 已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈< （1）求m 与n 的关系式； （2）求()f x 的单调区间；（3）当[1,1]x ∈-，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围。

20. 已知函数2()ln .f x x ax bx =--（I ）当1a =-时，若函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；（II ）若()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点，且AB 的中点为0(,0)C x ，求证：0'()0.f x <21. 已知函数2(),()2ln (x f x g x a x e e==为自然对数的底数） （1）求()()()F x f x g x =-的单调区间，若()F x 有最值，请求出最值；（2）是否存在正常数a ，使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。

《导数及其应用》参考答案二、填空题： 11. 2cos sin 'x x x y x -=；12. 18 13.36+π； 14.}0|{<a a ； 15.),1()0,1(+∞-三、解答题16. [解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1 (0<x <2π)令f ′(x )＝0，即sin(x ＋π4)＝－22，解之得x ＝π或x ＝32π.x ，f ′(x )以及f (∴f (x )的单调增区间为(0，π)和(32π，2π)单调减区间为(π，32π)．f 极大(x )＝f (π)＝π＋2，f 极小(x )＝f (32π)＝3π2.17. 解：（Ⅰ）33(2-='x x f ），所以9)2(='f . （Ⅱ）2()33f x x '=-，解()0f x '>，得1x >或1x <-.解()0f x '<，得11x -<<.所以(,1)-∞-，(1,)+∞为函数()f x 的单调增区间，(1,1)-为函数()f x 的单调减区间.18. 解:（1）2,2,0)(),2(3)(212=-=='-='x x x f x x f 得令 …………………1分∴当()0;,()0x x f x x f x ''<>>-<<<,当，…………………2分∴)(x f 的单调递增区间是(,)-∞+∞和，单调递减区间是)2,2(-……3分 当245)(,2+-=有极大值x f x ；当245)(,2-=有极小值x f x .…………4分（2）由（1）可知)(x f y =图象的大致形状及走向（图略）∴当)(,245245x f y a y a ==+<<-与直线时的图象有3个不同交点，……6分即当55a -<<+α=)(x f 有三解. …………………………………7分 （3）)1()5)(1()1()(2-≥-+--≥x k x x x x k x f 即∵),1(5,12+∞-+≤∴>在x x k x 上恒成立. …………………………………………9分令5)(2-+=x x x g ，由二次函数的性质，),1()(+∞在x g 上是增函数，∴,3)1()(-=>g x g ∴所求k 的取值范围是3-≤k ……………………………………12分19. 解：（1）2'()36(1).f x mx m x n =-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点.所以'(1)0f =即36(1)0,m m n -++=所以36n m =+（2）由（1）知，22'()36(1)363(1)[(1)]f x mx m x m m x x m=-+++=--+当0m <时，有211>+，当x 为化时，()f x 与'()f x 的变化如下表：故由上表知，当0m <时，()f x 在(,1)m -∞+单调递减，在(1,1)m+单调递增，在(1,)+∞上单调 递减.（3）由已知得'()3f x m >，即22(1)20mx m x -++>又0m <，所以222(1)0x m x m m-++<，即222(1)0,[1,1]x m x x m m-++<∈- 设212()2(1)g x x x m m =-++，其函数图象开口向上，由题意知①式恒成立，所以22(1)0120(1)010g m m g ⎧-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩ 解之得403m m -<<又所以403m -<<即m 的取值范围为4(,0)3-20.（1）由题意：bx x x x f -+=2ln )(， )(x f 在),0(+∞上递增，∴021)(≥-+='b x xx f 对),0(+∞∈x 恒成立，即x x b 21+≤对),0(+∞∈x 恒成立，∴只需min )21(x xb +≤， 0>x ，∴2221≥+x x，当且仅当22=x 时取“=”，∴22≤b ，∴b 的取值范围为)22,(-∞ （2）由已知得，⎩⎨⎧=--==--=0ln )(0ln )(2222212111bx ax x x f bx ax x x f ⇒⎩⎨⎧-=-=22221211ln ln bx ax x bx ax x ，两式相减，得： )())((ln21212121x x b x x x x a x x -+-+=⇒])()[(ln 212121b x x a x x x x++-=， 由b ax xx f -+='21)(及2102x x x +=，得： ])([221)(2211000b x x a x x b ax x x f ++-+=--='2111ln 1222x x x x x x +-+=]ln )(2[121111222x x x x x x x x -+--=]ln )1()1(2[121212112x x x x x x x x -+--=，令)1,0(21∈=x x t ，且t t t t ln 122)(-+-=ϕ)10(<<t ， 0)1()1()(22<+--='t t t t ϕ，∴)(t ϕ在)1,0(上为减函数，∴0)1()(=>ϕϕt ，又21x x <，∴0)(0<'x f21. 解：（1）3222()()()()(0)x a x ea F x f x g x x e x ex-'''=-=-=> ①当0,()0a F x '≤>时恒成立()(0,)F x +∞在上是增函数，()F x F 只有一个单调递增区间（0，-∞），没有最值……3分②当0a >时，2(()(0)x x F x x ex--=>，若0x <<()0,()F x F x '<在上单调递减；若x >()0,())F x F x '>+∞在上单调递增，x ∴=当()F x 有极小值，也是最小值，即min ()2ln F x F a a a a ==-=-…………6分 所以当0a >时，()F x的单调递减区间为单调递增区间为)+∞，最小值为ln a a -，无最大值…………7分（2）方法一，若()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点， 则方程()()0f x g x -=有且只有一解，所以函数()F x 有且只有一个零点…………8分[来源:学_科_网]由（1）的结论可知min ()ln 01F x a a a =-==得…………10分此时，2()()()2ln 0x F x f x g x x e =-=-≥m i n ())0F x ==1,()()f g f x g x ∴==∴与的图象的唯一公共点坐标为又()f e g ''==()()f x g x ∴与的图象在点处有共同的切线，其方程为1y x-=-，即1y x=-…………13分综上所述，存在a1=，使()()f xg x与的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方程为 1.y x=-…………14分方法二：设()f x与g(x)图象的公共点坐标为00(,)x y，根据题意得⎩⎨⎧==)()()()(''xfxfxgxf即22ln22xa xex ae x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由②得2xae=，代入①得021ln,2x x=∴=从而1a=…………10分此时由（1）可知min()0F x F==x x∴>≠当且()0,()()F x f x g x>>即因此除x=外，再没有其它x，使00()()f xg x=…………13分故存在1a=，使()()f xg x与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为，公切线方程为1y x=-…………14分。