{f}wx
T y
三、三角形薄板单元
四、用矩形薄板单元进行薄壳分析
五、用三角形薄板单元进行薄壳分析
六、用薄板单元进行薄壳分析的步骤
第六章 杆系结构的有限单元法
杆件的受力状态：
1、轴向拉压－杆件、索 （二力杆） 2、纯扭 3、纯弯－梁 4、拉压、弯、剪、扭联合作用－偏心受力构件
杆系结构类型：
1、桁架结构－平面、空间 2、刚架结构－平面、空间 3、拱－特殊的平面刚架
第六章 杆系结构的有限单元法
三、纯弯杆单元
3、单元分析
a）结点位移
e w 1 1 w 2 2T, i d d iw x(i 1 ,2 )
b）广义坐标法建立形函数
2个结点，4个自由度，故在自然坐标下设：
w a 1a 2 a 32a 43
其中 ： xx1,01
l
则： d dw xldd w 1 l(a22a33a42)
第六章 杆系结构的有限单元法
一、拉压杆单元
2、基本方程 a）几何方程
c）平衡方程
εx
du dx
b）物理方程
σx
Eεx
Edu dx
ddxAx f(x) 即：AEdd2xu2 f (x)
d）总势能
E 2A 0 l d d u x 2d x0 l f(x)ud x j P juj C0问题
第六章 杆系结构的有限单元法
四、平面杆件系统
1、平面杆系结构的特点 1）杆件和荷载都处于同一面内 2）有较明确的传力路径
3）杆件之间可以是铰接也可以是刚接
第六章 杆系结构的有限单元法
四、平面杆件系统
2、局部坐标系下的平面杆单元
1）结点位移－轴向＋弯曲
e u 1w 1 1u 2w 2 2 T
第六章 杆系结构的有限单元法
一、拉压杆单元
3、单元分析
a）建立自然坐标
2 lxxc, xcx1 2x2
b）试凑法建立形函数
1 1
2结点单元： N11 21, N21 21
第六章 杆系结构的有限单元法
一、拉压杆单元
3、单元分析 b）试凑法建立形函数
3结点单元： N 1 1 21 , N 2 1 2 , N 3 1 21
1、基本方程 a）几何方程
dx dx
b）物理方程 MGJGJdx
dx
c）平衡方程 ddM xGJdd2x2x mt(x)
d）总势能
G 2J0lddxx2d x0lmt(x)xdx C0问题
第六章 杆系结构的有限单元法
二、扭转杆单元－自由扭转
2、单元分析 参考拉压杆单元的分析过程，对扭转杆单元进行分 析，并写出2结点杆单元的刚度矩阵
第六章 杆系结构的有限单元法
三、纯弯杆单元
3、单元分析
c）单元平衡方程
将位移函数带入总势能方程
E 20 l Id d 2 w 2 x 2 d x 0 lq (x )w dj P x jw jkM k d d k w x
并对势能取驻值得：
[k]e[]e{R }e0
其中：
[k]e
01E l3 Idd22N Tdd22N d
第六章 杆系结构的有限单元法
三、纯弯杆单元
3、单元分析 c）单元平衡方程
[k]e[]e{R }e0
12 6l 12 6l
[k]e
01E l3 Idd22N Tdd22N d
EI l3
对
4l 2 称
6l 12
2l
2
6l
4l
2
R e0 1 N T q dlj N T jP jk dd T N k kM lk
第六章 杆系结构的有限单元法
一、拉压杆单元 二、扭转杆单元 三、纯弯杆单元 四、平面杆系结构 五、空间杆系结构
第六章 杆系结构的有限单元法
一、拉压杆单元
图示等截面直杆，其中f(x)是轴向的分布荷载，P1、P2、P3等是轴向的集中荷载
1、计算假定 a）应力在截面上均匀分布 b）原来垂直于轴线的截面变形后仍保持和轴线垂直 三维问题简化为一维问题，只有沿x轴方向的位移u
第六章 杆系结构的有限单元法
三、纯弯杆单元
图示等截面梁，其中q(x) 是横向作用的分布荷载，
P1…；M1 …等是横向
集中荷载和弯矩
1、计算假定 变形前垂直梁中心线的截面，变形后仍保持为平面， 且仍垂直于中心线－克希霍夫假定 三维问题简化为一维问题，基本未知量只有中线的挠度w
第六章 杆系结构的有限单元法
三、纯弯杆单元
2、基本方程
a）几何方程
d 2w dx2
b）物理方程 MEI EIdd2xw2
c）平衡方程 QddM xEd d I3w 3x,
dQ d4w
d
EI xd
x4
q(x)
C1问题
d）总势能
E 20 l Id d 2 w 2 x 2 d x 0 lq (x )w dj P x jw jkM k d d k w x
c）位移插值函数
n
u Ni()ui Ne i1
第六章 杆系结构的有限单元法
一、拉压位移函数带入总势能方程，并对势能取驻值得：
[k]e[]e{R }e0
其中[：k]e0 lE d d A N x T d d N x d x 1 12 E l d A d N T d d N d
第六章 杆系结构的有限单元法
三、纯弯杆单元
3、单元分析 b）广义坐标法建立形函数
将结点坐标及位移代入上面三式:
2
2
w N iw iN zii N i iN e
i 1
i 1
N N 1N z 1N 2N z 2 形函数矩阵
N113223 Nz13223 形函数
N2223l Nz232l
{R }elN Tf(x)d x1N Tf()ldx
0
1
2
第六章 杆系结构的有限单元法
一、拉压杆单元
3、单元分析
d）单元平衡方程
2结点杆单元的单刚：
[k]e
EA 1 l 1
1 1
3个以上结点的杆单元，内部自由度可以在单元层次凝聚掉，以 提高计算效率
第六章 杆系结构的有限单元法
二、扭转杆单元－自由扭转
第四章 空间问题有限单元法
空间问题的有限单元法中的位移仍然只有位移，所以仍属于 C0连续问题，因此构造单元并不难。将平面问题有限元法 “稍加变动”并“加以推广”便可用于空间问题。
基本变量
1 ELEMENTS
u
{
f
}
v
w
1
第五章 板壳问题有限单元法
一、薄板弯曲基本假定和基本方程
二、矩形薄板单元