如果两个向量a、b 不共线，则向量p与向 量a、b共面的充要条件 是存在实数对x、y，使
B'
E
Bp
b
M a A A'
Pp =x xaa + yybb.. p ME是以MA', MB'为邻
平面向量的基本定理. 边的平形四边形的对角线.
如果e1, e2是同一平面内的两个不共线向量,
那么对于这一平面内的任一向量a, 有且只
共线向量与共面向量
a
O
A
a
α
1.共线向量. 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量. 平面向量共线的充要条件.
定理: 对于空间任意两个向量a、b(b=0),a // b 的充要条件是存在实数λ使a= λb.
向量b与非零向量a共线的充要条件
是有且只有一个实数,使得b a.
另解：

1
B
M
OM OA (OA AB) (OA AC). A
33
3
C
OA 1 AB 1 AC.由共成向量定理的O 3 3 推论得M,A,B,C共面.
练习:已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外 的任意一点O，确定下列各条件下，点M是否与A、
B、C一定共面：(2)OM 2OA OB OC.
例1 对空间任意一点O和不共线的三点A、B、 C，试问满足向量关系式:
OP xOA yOB zOC(其中x y z 1)
的四点P、A、B、C是否共面。
解:原式可变为 OP (1 y z)OA yOB zOC.
OP OA y(OB OA) z(OC OA).
又OP OA AP. OB OA AB. OC OA AC.
推论：如果 l 为经过已知点A且平行于已知非
零向量 a 的直线，那么对任一点O，点P在直
线 l 上的充要条件是存在实数t，满足等式
OP = OA + t a. (1)
其中向量 a 叫做直线l 的方向向量.
P B
a
OP = (1- t)OA + t OB. (2)
A
特征:从一点出发的三个向量.
O
说明: (1),(2)都叫做空间
1 x y 2, x 1, y 1
这个方程组无解，故M与A，B，C不共面。
O
AC AB AD. EG OG OE
kOC kOA k AC k( AB AD)
DC
k(OB OA OD OA)
A
B
H
OF OE OH OE EF EH.
G
所以E、F、G、H共面；
E
F
(2)EF OF OE k(OB OA) k AB.
由(1)知EG k AC故EF // AB，EG // AC.
B解、三C一: 定1共面1：(1)1OM 1,1 OMA , A1 ,OBB,C1共OC面. .
(2)OM 23OA 3OB 3OC. 3
3
3
解：（1）由已知得 3OM OA OB OC.
OA OM (OM OB) (OM OC).
即MA BM CM MB MC.故M 与A, B,C共面.
A
AP y AB z AC.
可作一条
O
P 故点P与A、B、C共面. 性质应用
例2 已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O
引向量 OE kOA,OF kOB,OG kOC,OH kOD 求证：（1）四点E、F、G、H共面；
（所2）以平平面面EEGG////平平面面AACG..
证明: (1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以
直线的向量参数表示式.
2.共面向量
定义：平行于同一平面的向
量叫做共面向量．
O
已知平面 与向量a ,如果
向量 a 所在的直线OA平行
于平面 或向量 a 在平面 α
内,那么我们就说向量
于平面 ,记作 /a/
平a 行
.
a A
a
A
思考:
D
空间任意两个向量是否一定共面? B
空间任意三个向量呢?
C
２．共面向量定理:
有一对实数1,2使a 1e1 2 e2
２．共面向量定理:
推论:空间一点E于平面 MAB内的充分必要条件是
B'
E
Bp
b
M a A A'
存在有序实数对x、y，使
O
ME xMA yMB. (第一字母为M)
或对空间任一定点O，有
OE OM xMA yMB.
特征:等式右边含x ,y的项都是以同一点出发的向量.
解： 2 (1) (1) 0 1. M , A, B,C不共面.
另解：若M与A，B，C共面，则存在实数对 (x, y)
使 AM x AB y AC. 对于平面ABC外一点O有
OM OA x AB y AC.
B
M
OM OA x(OB OA) y(OC OA).A C
OM (1 x y)OA xOB yOC. O
练习
1．如图，已知A、B、C三点不共线，就平面ABC 外任一点O作出点P、Q、R、S，使：
1OP OA 2AB 2AC;
2 OQ OA
3AB 2AC;
3 OR OA
3AB 2AC;
Q
Q
C A
B
O
p
P
R
练习:已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外
的任意一点O，确定下列各条件下，点M是否与A、