τα =
ห้องสมุดไป่ตู้
2
sin2α +τ xcos2α
上述关系建立在静力学基础上， 上述关系建立在静力学基础上，故所得结 论既适用于各向同性与线弹性情况， 论既适用于各向同性与线弹性情况，也适 用于各向异性、 用于各向异性、非线弹性与非弹性问题
单辉祖：工程力学 12
应力圆
应力圆原理
σα = σ x +σ y σ x −σ y
17
例 2-2 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解： ：
σ m = −115 MPa
τ m = 35 MPa
18
单辉祖：工程力学
例 2-2 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解： 1. 画应力圆 ： A点对应截面 x, B点对应截面 y 点对应截面 点对应截面 τ 2. 由应力圆求 σm 与 m 顺时针转60 由A点（截面 x ）顺时针转 。至D点（截面 y ） 点 点
解： σ x = −100 MPa τ x = −60 MPa σ y = 50 MPa α = −30o ：
σm =
σ x + σ y σ x −σ y
2 +
τm =
单辉祖：工程力学
σ x −σ y
2
2
cos2α −τ xsin2α = −114.5MPa
sin2α +τ xcos2α = 35.0MPa
(τ ydAsinα)sinα + (σ ydAsinα)cosα = 0
σα = σ xcos2α +σ ysin2α − (τ x +τ y )sinα cosα
τα = (σ x −σ y )sinα cosα +τ xcos2α −τ ysin2α
单辉祖：工程力学 11
σα = σ xcos2α +σ ysin2α − (τ x +τ y )sinα cosα
纯剪切与扭转破坏
纯剪切状态的最大应力
σ1
σ3
σ t,max = σC =τ
σc,max = σ D =τ
τmax =−τmin =τ
σ1 = −σ 3 =τ , σ 2 = 0
主平面微体位于 45o 方位
单辉祖：工程力学 25
圆轴扭转破坏分析
滑移与剪断 发生 在 τ m a x 的 作 用 面
断裂发生在 σmax 作用面
σ45o =50+0+50−0cos90o −30sin90o=−5 MPa
σ135o =55MPa
ε45。计算
单辉祖：工程力学
ε45o = 1 (σ45o −µσ145o ) =−3.31×10−4
E
36
例 5-2 对于各向同性材料，试证明： 对于各向同性材料，试证明：
G= E 2(1+ µ)
证： ：
根据几何关系求ε45。 εx + ε y εx −ε y γ xy cos2α − sin2α εα = +
2 2 2 γ xy =τ / G ε x =ε y = 0 γ xy τ ε45o = − = − 2G 2
根据广义胡克定律求 ε45。
σC =
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σ x +σ y
2
σ x −σ y 2 R= +τ x 2
2
13
应力圆的绘制 问题： 问题：已知σx , τx , σy , 画相应应力圆 根据： 根据： σC =
σ x +σ y
2
σ x −σ y 2 R= +τ x 2
2 2 σ x +σ y σ x −σ y cos2α −τ xsin2 σα = α + 2 2
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同理可证： 同理可证： τ H =τα
15
点、面对应关系
转向相同， 转向相同，转角加倍 互垂截面， 互垂截面，对应同一直径两端
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16
例 题
例 2-1 计算截面 m-m 上的应力
单辉祖：工程力学
26
例 题
例 4-1 用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位 用解析法与图解法，
解：1. 解析法 σ x =−70 MPa ：
τ x =50 MPa
σ y =0
σmax σ x +σ y ± = 2 σmin
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σ x −σ y 2 26 MPa +τ x = 2 −96 MPa τx =−62.5o α0 =arctan − σ −σ max y σ1 = 26 MPa σ2 = 0 σ 3 = −96 MPa
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33
广义胡克定律（平面应力状态） 广义胡克定律
σ ε′ = x x
E
ε′ = − y
µσ x
E
ε ′′ = y
σx =
σy
E
ε ′′ = − x
µσ y
E
1 ε x = (σ x − µσ y ) E 1 ε y = (σ y − µσ x ) E τ γ xy = x G
E (ε + µε y ) 2 x 1− µ E σy = (ε + µε x ) 2 y 1− µ τ xy =Gγ xy
2 + cos2 −τ xsin2 α α
τα = σα −
σ x −σ y
2 =
2
sin2 +τ xcos2 α α cos2 −τ xsin2 α α
应力圆
σ x +σ y
2
σ x −σ y
2
τα − 0 =
σ x −σ y
2
sin2 +τ xcos2 α α
2
圆心位于σ 轴
2
σ x +σ y 2 σ x −σ y 2 +τ x σα − + (τα − 0) = 2 2
§1 引 言
实例 应力状态概念 平面与空间应力状态
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3
实 例
微体A 微体
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4
微体abcd 微体
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5
微体A 微体
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6
应力状态概念
应力状态 过构件内一点所作各微截面的应力状况， 过构件内一点所作各微截面的应力状况，称为该点 处的应力状态 研究方法 环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零， 环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋 于所研究的点，故通常通过微体， 于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应 力与应变状态 研究目的 研究一点处的应力状态以及应力应变间的一般关系， 研究一点处的应力状态以及应力应变间的一般关系， 目的是为构件的应力、变形与强度分析， 目的是为构件的应力、变形与强度分析，提供更广 泛的理论基础
单辉祖：工程力学
适用范围：各向 适用范围： 同性材料， 同性材料，线弹 性范围内
35
例 题
例 5-1 已知 E = 70 GPa, µ = 0.33, 求 ε45。
解： ：
应力分析
σ x =50MPa,
σα =
2 2
2 +
σ y =0, τ x =30MPa
2 cos2α −τ xsin2 α
σ x +σ y σ x −σ y
2
满足上述二条件 确为所求应力圆
单辉祖：工程力学 14
图解法求斜截面应力
σ H = OC + CD cos(2α0 + 2α)
σ H = OC + CDcos2α0cos2α − CDsin2α0sin2α σ x +σ y σ x − σ y cos2α −τ xsin2 = σα σH = α +
2
τmax = ±CK= ± τmin
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σ x −σ y 2
2
2 +τ x
21
极值应力方位 最大正应力方位： • 最大正应力方位：
2 x τ tan2α0 =− σ x −σ y
τx τx tanα0 =− =− σ x −σmin σmax −σ y
• σmax与σmin所在截面正交 极值与 极值所在截 • σ 极值与τ 极值所在截 面, 成 45o 夹角
单辉祖：工程力学
22
主平面与主应力
σ2 σ1 σ3
主平面－切应力为零的截面 主平面－ 相邻主平面相互垂直， 相邻主平面相互垂直，构成一 正六面形微体 － 主平面微体 主应力－ 主应力－主平面上的正应力 主应力符号与规定－ 按代数值） 主应力符号与规定－ σ1 ≥σ2 ≥σ3（按代数值）
σz σ
解： 画三向应力圆 ：
σ1 =σC =96.1 MPa σ2 =σ D =3.09 MPa σ3 =σ E =−40 MPa σ −σ σmax =σ1 =96.1 MPa τmax = 1 3 =68.1 MPa
2
单辉祖：工程力学 32
§5 广义胡克定律
广义胡克定律（平面应力） 广义胡克定律（平面应力） 广义胡克定律（三向应力） 广义胡克定律（三向应力） 例题
单辉祖：工程力学 23
应力状态分类 单向应力状态： 单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态： 二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态 三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态 三向应力状态：
二向与三向应力状态，统称复杂应力状态 二向与三向应力状态，统称复杂应力状态
单辉祖：工程力学 24
单辉祖：工程力学
9
应力分析的解析法
问题
表示； 斜截面： 斜截面：// z 轴；方位用 α 表示；应力为 σα , τα 符号规定： 符号规定： 切应力 τ － 以企图使微体沿 旋转者为正 方位角 轴为始边、 方位角 α － 以 x 轴为始边、 者为正 问题： 问题：建立 σα , τα 与 σx , τx , σy , τy 间的关系