自学提纲 一、 写出应力圆方程 并判断应力圆的圆心在那个轴上？
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自学§7-4 二向应力状态分析-图解法
二、 应力圆的画法 1 定圆心 2 定半径 3 画圆 三、 应力圆的应用 1 求主应力 2 面内最大切应力
(1)
四、 几种特殊应力状态的应力圆
1：单向拉伸应力状态的应力圆 2 ：纯剪切应力状态的应力圆
y
dA - (dA cos ) sin - xy (dA cos ) cos x yx (dA sin ) sin y (dA sin ) cos 0
3、平面应力状态任意方向面上的正应力 与切应力 x y x - y cos2 - xysin2
二
主平面、主应力与主应力方向 x y x - y cos2 - xysin2 2 2

1
x - y
2
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sin2 xy cos2
sin2 0 xy cos2 0 0
切应力为零的面为主平面
yx
x
y
左 右 面 上 的 切 应力
xy
x
各量的含义 1) 左右面上的正应力 上下面上的正应力 2 )
1 方向角与应力分量的正负号规定 正应力正负规定 拉应力为正压应力为负 切应力正负号规定
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x y
' '
xy
yx
y
外法线
使微元或其局部顺时针方向转动为正； 反之为负
σ 0
σ
2 求正应力的极值面
x y

x - y
2 2 上式对α 求一次导数，并令其等于零
cos2 - xysin2
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d -( x - y )sin2 - 2 xy cos2 0 d
解出的角度

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- 90
yx
0
xy
y
即又一次证明了切应力的互等定理
二
主平面、主应力与主应力方向
1 切应力为零的面为主平面??
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2 主应力 主平面上的正应力 ??
3 主应力方向 ------主平面的法线方向
要求 掌握主应力计算！！牢记公式，并进行 排序！
sin 2 xy cos 2
30
10 30 sin 60 20 cos 60 2
27.32MPa
思考 900 ？

90 ？？
0
x



用 斜截面截取，此截面上的应力为
2
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y
dA
- x (dA cos ) cos xy (dA cos ) sin
- y (dA sin ) sin yx (dA sin ) cos 0
平衡方程
Ft 0
x


xy

t
n
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yx
dA
方向角的正负号规定
由 x正向转到截面外法线
逆时针 为正 反之为负
注意：方向角的定义 以及正负号规定
n

x
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问题
已知原始单元体互相垂直面上的应力
y yx
y
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x
y
xy x x
求任意斜截面上的应力 （斜截面的位置？？）
yx

xy
y
x y x - y cos 2 xy sin 2 2 2
-
x - y
sin 2 - xy cos 2
90 x y
0

即单元体两个相互垂直面上 的正应力之和是一个常数
x


tan 2＝－
2 τ xy
x - y
角度α与α 0 完全重合。
表明∶ tan 2 0＝－ 正应力的极值面与主平面重合；
2 τ xy
x - y
正应力的极值就是主应力；
3 平面应力状态的三个主应力
解决问题的方法
平衡
的思想
2、单元体的局部平衡
y yx
y
n+
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x

xy x x x
y

xy


n 0
????
+ 0
x


xy

t
n
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yx
dA
2 2
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x - y
2
sin2 xy cos2
y yx
y
x
y
xy x x
例题1求斜面ab上的正应力和切应力
y
20MPa
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x 10MPa, y -30MPa 解：
a
xy 20MPa, yx -20MPa, 30

0
x - y
2
2 τ xy
tan 2 0＝－
x - y
0 0 90
O
该式确定了两个相互垂直的主平面的位置
对于平面应力状态， 平行于xy坐标面的平 面，其上既没有正应 力，也没有切应力作 用，前后面是一个主 平面。 这一主平面上的主应力等于零
σ
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30

10MPa
300

x y
2

x - y
2
cos 2 - xy sin 2
b
30
0
20MPa
x

30
10 - 30 10 30 cos 60 - 20sin 60 2 2


x - y
2
30MPa
-17.32MPa
(1)
3：二向等拉应力状态的应力圆
§7-3 二向应力状态分析？？---解析法
主应力（计算）、主平面（位置确 定！）
----分析任意斜截面上的应力
任意斜截面上的应力
思路
一
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要求： 1 掌握解决问题的思想
要求： 2 考研的同学理解记忆公式
y
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