1 从应力圆上确定任意斜截面上的应力
y
xy
B
n
α
x
A yx
E
D
2α
o
C
D’
E点的横、纵坐标即位该任意斜截面上的正应力 和切应力
2 从应力圆上确定主应力大小
y
yx
B
x
A xy
e
o
D’
σmin
C
σmax
应力圆和横轴交点的横坐标值
D
b
3 从应力圆上确定主平面位置
y
xy
E
B
BA
x
α0
σ’ yx
e
o
§7-3 二向应力状态分析？？---解析法
主应力（计算）、主平面（位置确定！）
思路 ----分析任意斜截面上的应力 一 任意斜截面上的应力 要求： 1 掌握解决问题的思想 要求： 2 考研的同学理解记忆公式
y
yx
x
xy
x
y
各量的含义 1) 左右面上的正应力 上下面上的正应力 2 ) 左 右 面 上 的 切 应力
-96MPa
1 26MPa 2 0MPa 3 -96MPa
2 求主平面位置
大
3 主单元体
70
50
大
tg 2 0
- 2 xy x - y
- 2 50 - 70 - 0
10 7
0 27.5o或117.5o
逆时针转?
主应力、主平面
max
min
(x
- y
2
)2
2 xy
max
20 cos 60o
27.32MPa
思考 900 ？ 900 ？？
x
用 斜截面截取，此截面上的应力为
2
yx
y
xy
x
-
y -x
2 x - y
- y
2
sin
cos 2 xy sin 2
2 - xy cos 2
900 x y
即单元体两个相互垂直面上的正应力 x
主应力是一点应力状态的最终度量
三 面内最大切应力
不同方向面上的切应力亦随着坐标的旋转而变化，因而切应力 亦存在极值
x
- y
2
sin2 xycos2
对α求一次导数，并令其等于零；
d d
( x - y )cos2 - 2 xysin2
0
由此得出另一特征角，用α1表示
tan
21＝
x -
2τ xy
30
10MPa
300
30o
x
x
y
2
x
- y
2
cos 2
- xy sin 2
b 300
20MPa
30o
10 - 30 10 30 cos 60o - 20 sin 60o
2
2
30MPa
Hale Waihona Puke -17.32MPax- y
2
sin 2
xy cos 2
30o
10 30 sin 60o 2
1 方向角与应力分量的正负号规定
正应力正负规定
拉应力为正压应力为负
x' y'
切应力正负号规定
xy
使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负
方向角的正负号规定
由 x正向转到截面外法线
逆时针 为正 反之为负
注意：方向角的定义
yx
y 外法线
n
x
以及正负号规定
问题 已知原始单元体互相垂直面上的应力
3 判断 最大主应力(的区间) 面的法线方向(的区间)
(两个切应力箭头指向决定)
第一主应力方向
大 4 (求出的主应力) 之间夹角 (小)
大(原始单元体中代数值)
4 主(应力)单元体：
0 15.5, 0 15.5 90 105.5
y ????? xy
x
x 60 MPa，
xy -30 MPa,
起点代数值大的面 对应的点
D
2 α 0
C
b
D’ 大的正应力的面对 应的点
转向 顺时针
有几个主应力？
σ e o
d
a
C
b
σ1 σ σ2 σ
3 0
4 从应力圆上确定面内最大切应力
τmax
应力圆上的最高点的纵坐标对应 “
面内最大切应力” 。
Co
四 几种特殊应力 状态下 的应力圆
1：单向拉伸应力状态的应力圆
min
x y
2
(x
- y
2
)2
2 xy
''' 0
tan
2
＝
0
－
2τ xy
x -
y
0 0 90 O
练习求单元体
1 主应力的大小 2 主单元体 3 (面内)最大切应力（应力单位取MPa)
20 40
顺时针!!
x -40MPa \ \ \ \ y -20MPa xy -40MPa
例题3
P
解：
x -70 MPa
y 0
xy 50 MPa
70
50
1 主应力大小 2 主平面位置 3 绘出(主应力)单元体。
1 求主应力
大 大 27.5o
max min
x
y
2
x
- y
2
2
2 xy
- 70 0 ( - 70 - 0 )2 (50)2
2
2
1
3
二向应力状态 26MPa
这一主平面上的主应力等于零
σ
σ 0
σ
2 求正应力的极值面
x
y
2
x
- y
2
cos2
- xysin2
上式对α 求一次导数，并令其等于零
d d
-( x - y )sin2 - 2 xycos2 0
解出的角度
tan 2＝－ 2τ xy x - y
表明∶ 正应力的极值面与主平面重合；
角度α与α 0 完全重合。
- y
2
cos2
- xysin2
x
- y
2
sin2 xycos2
1 切应力为零的面为主平面
0
x
- y
2
sin20 xycos20
0
tan
2
＝
0
－
2τ xy
x -
y
0
该式确定了两个相互垂直的主平面的位置
0 90 O
对于平面应力状态，平行于 xy坐标面的平面，其上既没 有正应力，也没有切应力作用， 前后面是一个主平面。
自学§7-4 二向应力状态分析-图解法
自学提纲
一、 写出应力圆方程
并判断应力圆的圆心在那个轴上？
二、 应力圆的画法
1 定圆心 2 定半径 3 画圆
三、 应力圆的应用
1 求主应力 2 面内最大切应力
四、 几种特殊应力状态的应力圆
(1)
1：单向拉伸应力状态的应力圆
2 ：纯剪切应力状态的应力圆
(1)
3：二向等拉应力状态的应力圆
x
- ( dA sin ) sin yx ( dA sin ) cos 0
y
平衡方程
Ft 0
x
n
xy dA
yx
t
y
dA - ( dA cos ) sin - ( dA cos ) cos
x
xy
( dA sin ) sin ( dA sin ) cos 0
A B
D’
C
o
D
2：纯剪切状态的应力圆
σ-45＝
45＝-
B
be
A
D (0, )
C
o
D'(0,- )
四 几种特殊应力 状态下 3：二向等值拉伸应力状态
的应力圆
的应力圆
o
习题7-5 P253-254
结论：二向等值拉伸下,
所有的面
都是主平面
要求
一、 应力圆方程
二、 应力圆的画法 三、 应力圆的应用 四、 几种特殊应力状态的应力圆
(
-x
y
)2
2
2
(
x
-
y
)2
2 xy
2
二、 应力圆的画法
1、点面对应
y y yx
x
xy x
x
——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应 y
力和切应力；
2、转向对应
——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；
3、二倍角对应
——半径转过的角度是方向面 法线旋转角度的两倍；
点面对应
40
1 11.2MPa\ \ \ \ 3 -71.2MPa 2 0
max 41.2MPa
0 -37 059'
铸铁扭转
为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？
例题4：讨论圆轴扭转时
的应力状态，
并分析铸铁试件受扭
时的破坏现象
Me
这也是横力弯曲中性轴上点的单元 体
y
x
解: 1 (取单元体) 圆轴扭转时，在横截面的边缘处切应力最大，其
tan
2
＝
0
－
2τ xy
x -
y
0 0 90 O
max
min
x y
2
(x
- y
2
)2
2 xy
''' 0
max
min
(x
- y
2
)2
2 xy