第三章 多维随机变量及其分布
第一节 二维随机变量的联合分布与边缘分布 第二节 二维离散型随机变量 第三节 二维连续型随机变量 第四节 两个随机变量函数的分布 第五节 n维随机变量
引入
一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点 讨论二维随机变量 .
在实际应用中, 有些随机现象需要同时用两个或两个以上 的随机变量来描述.
F(,) 0; F(,) 1. 3) F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即
F (x , y )关于 x 右连续，关于 y 也右连续.
4) F( x2 , y2 ) F x2 , y1) F( x1, y1) F( x1, y2 ) 0.
x 2 2
arctan
y 5
1 arctan x 1 arctan y
2
2 2
5
FX xFY y
所以X 与Y 是相互独立的随机变量
四、小 结
一 二维随机变量的定义 二 二维随机变量的分布函数 三 边缘（概率）分布
即 FX ( x) F ( x, ) 同理可得 FY ( x) F(，y)
定义 设 F( x, y)及 FX ( x) , FY ( y) 分别是二维随机变 量 ( X, Y ) 的分布函数及边缘分布函数。若对
于所有 x, y 有
P{X x,Y y} P{X x}P{Y y} 即 F( x, y) FX ( x)FY ( y)
定义：X和Y的概率分布分别称为（X,Y）关于X 或Y 的边缘（概率）分布
思考:
二者之间有什么关系呢?
可以相互确定吗？
先看如何由联合分布来确定两个边缘分布
边缘分布函数可以由 (X,Y) 的分布函数 F( x, y) 确定。 事实上，FX ( x) P{X x} P{X x,Y } F( x, )
2 2
arctan
y 5
1 arctan x
2
2
x ，
Y 的边缘分布函数为
FY y
lim Fx，
x
y
1
lim
x
2
2
arctan
x
2 2
arctan
y 5
1
2
arctan
y 5
y ，
所以，对于任意的实数x， y，有
F x，
y
1 2
2
arctan
Fx， y PX x， Y y
是 x， y的函数．我们称此函数为二维随机变 量X， Y 的分布函数.
2.二元分布函数的几何意义
二 元 分 布 函 数 的 几 何 意义 是 ：
F x， y 表 示 平 面 上 的 随 机 点X， Y 落 在 以 x， y 为 右
上 顶 点 的 无 穷 矩 形 中 的概 率 ．
第一节 二维随机变量的联合分布与边缘分布
一 二维随机变量的定义 二 二维随机变量的分布函数 三 边缘（概率）分布 四 小结 思考题
一、二维随机变量的定义
1.定义:
设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 ()
设 X X () 和 Y Y () 是定义在 上的随机变
量。由它们构成的一个向量 (X, Y) ,叫做二维随 机向量，或二维随机变量。
上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何 二维随机变量的分布函数都具有这四条性质； 更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数具有这四条性 质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数（证明略）．
三、边缘（概率）分布
二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值 及其概率规律. 而单个随机变量X,Y也具有自己的概率 分布. 1.边缘（概率）分布
例如：在打靶时,命中点的位置是由一 对r.v(两个坐标)来确定的.
例如： 研究某地区学龄前儿童的发育情况时, 就要同时 抽查儿童的身高X, 体重Y, 这里, X和Y是定义在同一个 样本空间S={某地区全部学龄前儿童}上的两个随机变量.
在这种情况下, 我们不但要研究多个随机变量各自的统 计规律, 而且还要研究它们之间的统计相依关系, 因而 还需考察它们联合取值的统计规律, 即多维随机变量的 分布.
则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的。
例i 设二维随机变量X， Y 的联合分布函数为
F x，
y
1
2
2
arctan
x
2 2
arctan
y 5
x ， y
试判断X 与Y 是否相互独立？
解：X 的边缘分布函数为
FX x
lim Fx，
y
y
1
lim
y
2
2
arctan
x
3.分布函数具有以下的基本性质：
1) F (x , y )是变量 x , y 的不减函数，即 对于任意固定的 y , 当 x1 x2 时，F(x1, y) F(x2, y); 对于任意固定的 x , 当 y1 y2 时，F(x, y1) F(x, y2 );
2) 0 F( x, y) 1, 且 对于任意固定的 Y , F (, y) 0; 对于任意固定的 X , F( x,) 0;
注:
⑴ 二维随机变量也称为二维随机向量；
⑵ 我们应把二维随机变量
X， Y X ， Y
看作一个整体，因为X 与Y 之间是有联系的；
⑶ 在 几 何 上 ， 二 维 随 机 变量 X， Y 可 看 作 平 面 上
的随机点．
二、二维随机变量的分布函数
1.定义
设X， Y 是一个二维随机变量，则对于任意一对 实数x， y，