F () a b 1，解得 a 1 , b 1 ．
2
⑵
2 由⑴知， F (x)
1
1
2 arctan x ， x ，故
ห้องสมุดไป่ตู้P1
X
0
2
F(0) F(1)
1
[1
1
(
)]
1
，
2 2 4 4
P X 3 1 F( 3 0)
1 lim (1 1 arctan x) 1 (1 1 ) 1 ．
例如在抛一枚硬币 的随机试验中，令
0, “出现反面”, X 1, “出现正面”,
则 X 为随机变量．
例如：掷骰子出现的点数， 一批产品中的次品个数， 等车所需的时间等等
均为随机变量．
3
引入随机变量后，可利用随机变量的某种逻辑关系 表示随机事件．
例如在抛硬币的随机试验中，事件
“正面向上” {X 1} {X 1}， 2
2 0
x 3
2 3 6 12
{0 X 1} {X 2} {X 1} ， 2
{X 1} {X 0} ． 2
进而有 P{X 1} 1 , P{X 2} 1, P{X 1} 0 等等．
2
2
4
一般地，设 X 为一随机变量， L 为某实数集，则 {X L}
表示一个随机事件．
特别地，如果 a, b 为实数，则 {a X b}, {X b}, {X a}, {X a}, {X a}
（ 2）分布 函数 F(x) 的直 观意义为 随机变量 X 落 在区间 (, x]上的概率．
6
定理 1.1 对于任意实数 a, b (a b) ，则有 P{a X b} F(b) F(a) ．
证明：事实上，由
P{a X b} P{X b} P{X a} F(b) F(a)
即可证得
等均表示随机事件．
5
二、分布函数
定义 1.2 设 X 为一随机变量，对于任意实数 x ，称函数
PX x为 X 的分布函数．记为 F(x) ．即随机变量 X 的分布函数为 F(x) PX x, x ．
【注意】（1）不论随机变量 X 如何取值，其分布函数 F(x) 的 定义域总是 (, ) ．
F(x) PX x P{X 0} P(A) 1 ；
2
当 x 1时， F(x) PX x P() 1．
10
续解 综上可得 X 的分布函数为
0,
F
(x)
1 2
,
1,
x 0, 0 x 1,
x 1.
不难发现， F(x) 在区间 (, 0)， (0,1) 和 (1, ) 内均连
性质 1.3 设 F(x) 为任一分布函数，则 F(x) 单调不减，
即对于任意实数 x1, x2 ，当 x1 x2 时， F (x1) F (x2 ) ． 性质 1.4 设 F(x) 为任一分布函数，则 F(x) 处处右连续，
即对于任意给定的 一点
x0
，
F
( x0
0)
lim
x xo
F
(x)
F
( x09)
续，而点 x 0 和 x 1均为 F(x) 的跳跃间断点．事实上，F(x)
在点 x 0 和 x 1处均右连续，而不左连续．
11
例 1.2 已知随机变量 X 的分布函数为 F(x) a b arctan x ，
x ．⑴求常数 a, b ；⑵计算概率 P1 X 0 和
P{X 3} ． 解 ⑴ 由 分 布 函 数 的 性 质 1.2 知 F () a b 0 ，
Pa X b F(b 0) F(a 0)
8
分布函数 F(x) 的基本性质. 性质 1.1 设 F(x) 为任一分布函数，总有 0 F(x) 1 ．
性质 1.2 设 F(x) 为任一分布函数，则有
lim F(x) 0 ， lim F(x) 1 ，
x
x
简记为 F() 0 ， F () 1．
．
例 1.1 在抛一枚硬币的随机试验中，记事件 A 表示硬币正面向
上，令
X
0, 1,
若A不发生, 若A发生,
求随机变量 X 的分布函数 F(x) ，并讨论 F(x) 的连续性．
解 由题意知 P(A)=P(A)= 1 ． 2
当 x 0 时， F(x) PX x P() 0 ；
当 0 x 1时，
第二章 一维随机变量及其分布
1
§1 随机变量及其分布函数
一、随机变量的概念
定义 1.1 设随机试验 E 的样本空间为 ，对每一个样本点
，均有一个惟一确定的实数 X 与之对应，就称 X 为一
个定义在 上的随机变量，也记为 X X () ．通常随机变 量用 X ,Y , , 等符号表示．
由定义 1.1 知随机变量 X 为样本点 的函数．
推论 1.1 设 x0 为任一给定实数，则有
PX x0 F(x0) F(x0 0) ．
7
【注】利用定理 1.1 和推论 1.1
PX a 1 F(a) ， PX a 1 F(a 0) ，
PX b F(b 0) ，
Pa X b F(b 0) F(a)
，
Pa X b F(b) F(a 0) ，