六、常见的概率分布
两点分布（贝努里分布）
若随机变量只有两个可能的取值 0和1，其概率分布为
01
则称X服从参数为p的两点分布.
应用： 0-1分布 只有“成功”和“失败” 两种对立结局的试验称做伯努 利试验；伯努利试验成功的次数X服从0-1分布，参数——成功的概率， ——失败的概率．例如产品抽样验收：抽到不合格品——成功，抽到合 格品──失败；射击：命中──成功，脱靶──失败……
查泊松分布表可得，，于是这家商店只要在月底保证存货不少于15件就 能以95%以上的把握保证下月该商品不会脱销.
例5 在500个人组成的团体中，恰有5个人的生日是元旦的概率是多 少？
解：该团体中每个人的生日恰好是元旦的概率都是，则该团体中生 日为元旦的人数，恰有5个人的生日是元旦的概率为
泊松定理：设随机变量序列服从二项分布（这里概率与n有关），若 满足（为常数），则有：
x 0.10 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 0.53 0.579 0.655 0.726 0.788 0.841 0.885 0.919
解：设A1={ 电压不超过200伏}，A2={ 电压在200伏~240伏}，A3={电 压超过240伏}，B={电子元件损坏} 由于 所以， 又知： 所以 Ⅲ、典型例题分析
则的分布密度为 例3 设随机变量的概率密度为
求：的分布密度函数. 解：由分布函数的定义 当时， 当时， 当即时， 当即时， 因此 分布密度为
例４. 已知Ｘ服从区间[0,1]上的均匀分布, 求Ｘ的函数Ｙ=3Ｘ+1的概率分 布. 解: 根据题意知Ｘ的概率密度为： 则Ｙ的分布函数为 对其求导得Ｙ的概率密度与Ｘ的概率密度间的关系为 即Y服从在区间[1,4]上的均匀分布. 例５. 已知Ｘ～, , 求Ｙ的概率密度. 解: Ｙ的分布函数 因ey总大于0, 而当y大于0时FX(x)为 因此有: 则Y的概率密度为其分布函数的求导:
X
……
……
p 求函数的分布. 例1 设随机变量X的概率分布为
X -2 -1
…… 01
…… 23
p 0.05 0.15 0.20 0.25 0.2 0.15
求和的概率分布. 先将的值代入函数，求随机变量Y相应的取值
如果的值各不相等，则Y的概率分布为
Y
……
……
p
……
……
如果中出现相同的函数值，如，则在Y的分布列中，取的概率为. 2、连续型随机变量函数的分布 例2 设的分布密度为，求随机变量（，均为常数，且）的概率密度. 解：用来表示随机变量的分布函数，由分布函数的定义 当时， 当时，
定义：假如一个变量的取值取决于随机试验（现象）的基本结果， 则该变量称为随机变量. 随机变量常用大写字母X、Y、Z等表示，其取 值用小写字母x、y、z等表示.
例1 （1）若用表示某厂10台车床在一天内需要维修的数目， X是一 个随机变量，它可能取0，1，…，10中的任一个值；
（2）某传呼台单位时间内接到传唤的次数是一个随机变量，它可能 取一切非负整数；
例1 假设某篮球运动员投篮命中率为0.8，表示他投篮一次命中的次 数，求的概率分布. 二项分布B（n,p）
特点： （1）n次重复试验相互独立； （2）每次试验只有两个可能的结果：A发生或发生； （3）每次试验事件A出现的概率相同，都等于p.
设X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数，则X所有可能的取值为 0，1，…，n，且相应的概率为
（4）在的连续点处，有.
对于连续型随机变量：（1）是连续函数； （2）（a为任意实数）.
例 已知随机变量的密度函数,求X的分布函数.
解: f(x)可重新写为,根据性质, 又因φ(x)为偶函数, 因此有
, 则有A=1/2
因此
.
当x<0时, 有
当x≥0时, 有
所以
五、一维随机变量函数的分布
1、离散型随机变量函数的分布 如果X是离散型随机变量，则也是离散型随机变量. 设X的概率分布为
分布函数的基本性质： （1） 对于任意实数，；
（2）； ；. （3）是单调非减函数，即对于任意，有； （4）右连续，即. (5) 任意给定实数a，b（a < b），有 根据分布函数求事件的概率，例如 三、 离散型随机变量的分布 若的所有可能取值为有限个或可列个，则称为离散型随机变量.称 为随机变量的概率分布或分布列. 或表示为
，0，1，…，n. 1) 独立重复试验成功次数的分布 设X是n次伯努利试验成功的次 数，则，参数是每次试验成功的概率．例如，n次独立重复射击命中的 次数X服从二项分布，参数是每次射击的命中率． 2) 自有限总体的还原抽样 设总体含N个个体，其中M个具有某种特 征A（如不合格品）．设X是n次还原抽样具有特征A的个体出现的次 数，则布，其中（如不合格品率）． 例2 甲、乙两名棋手约定进行10盘比赛，以赢的盘数较多者为胜. 假设 每盘棋甲赢的概率都为0.6，乙赢的概率为0.4，且各盘比赛相互独立，问 甲、乙获胜的概率各为多少？甲平均赢得的盘数是多少？ 解： ，即
= 故一般正态分布可以通过线性变换转化为标准正态分布，再利用标 准正态分布表求相应的概率，即 例10 设随机变量，求 解：
例11 设，求,；
例12（91数4）（7分）在电压不超过200伏、在200伏~240伏和超过 240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为：0.1，0.001和 0.2，假设电源电压X服从正态分布，试求：（1）该电子元件损坏的概 率；（2）该电子元件损坏时，电源在200伏~240伏的概率。（附正态分 布表）
．
分析 先求X的概率分布．易见，X有1,2,3等3个可能值，且
p 0.6624 0.3011 0.0354 0.0011
函数是阶梯形右连续函数， 在处有间断点. 四、连续型随机变量的分布
定义：如果对于随机变量X的分布函数，存在函数，使得对于任意实 数x，有 则称X为连续型随机变量，函数称为X的概率密度函数（简称密度函 数）. 它的性质：
（1）非负性：（）； （2）=1； （3）对于任意实数和，有；
二项分布概率的近似计算 设服从二项分布，参数充分大、p充分小 而p适中，则有如下近似公式——泊松定理：
实际中，当时即可利用此式，不过应尽量地大，否则近似效果不 佳．
例5中，，满足泊松定理条件，可以用的泊松分布来近似计算： 例6 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工. 若设备是否发生故 障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01. （每台设备发 生故障可由1人排除）. 试求： （1）若一名维修工负责维修20台设备，求设备发生故障而不能及时 维修的概率； （2）若3人负责80台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率；
解：（1）设表示20台设备中同时发生故障的台数，则，根据泊松定 理，X又可近似地看作服从泊松分布，其中参数.
20台设备中只配备一个维修人员，则只要有两台或两台以上设备同 时发生故障，就不能得到及时维修. 故所求概率为
（2）80台设备中同时发生故障的台数，类似的，可用的泊松分布来近 似，于是所求概率为
（3）电视机的寿命有长有短，是一个随机变量X（单位：小时），它 可以在（0，+∞）
（4）汽车司机刹车时，轮胎接触地面的点的位置可能是轮胎圆周上 的任一点，是在[0，]上取值的随机变量，其中是轮胎的半径. 二、 随机变量的概率分布函数
定义：设X是一个随机变量，对于任意实数x，令 称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数.
3、特别，设是严格单调的连续函数，是函数的值域，是的惟一反函 数；是连续型随机变量，其概率密度为，则也是连续型随机变量，其概 率密度通过表示为 例3中 是严格单调函数在x >0时，值域，反函数
例４中Ｙ=3Ｘ+1的值域为[１,４],严格单调，其反函数为. 解:Ｘ的概率密度，所以 例5中. 的值域，且严格单调，其反函数，所以
均匀分布 随机变量X，如果其密度函数为
则称X服从上的均匀分布，其分布函数为： 对于任意，有
例7 某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，可将车站上侯车的乘客 全部运走. 设乘客在两趟车之间的任何时刻到站都是等可能的，求乘客 侯车时间不超过3分钟的概率. 指数分布
设是在服从参数为的泊松分布的随机质点流中，相继出现的两个随 机质点时间间隔——等待时间（例如，设备无故障运转的时间、设备的 使用寿命或维修时间、设备相继出现两次故障的时间间隔），则等待时 间服从参数为的指数分布．密度函数为
例1 (87数4)(是非题2分) 判断：连续型随机变量取任何给定实数值的概
率为0。(正确)
例2（连续型分布）假设X是在区间（0,1）内取值的连续型随机变量，
而．已知，则满足的常数k= ．
例3（分布函数） 设10件产品中恰好有2件不合格品，从中一件一件地
抽出产品直到抽到合格品为止，则最后抽出产品件数X的分布函数为
其中为参数，则称X服从参数为的指数分布，指数分布的密度函数为 例8 假设某种热水器首次发生故障的时间X（单位：小时）服从指
数分布，求：（1）该热水器在100小时内需要维修的概率是多少？
正态分布 随机变量X密度函数为
其中为常数，，，则称X服从参数为和的正态分布，其特性： （1）具有钟形的图象，密度曲线关于均值对称； （2）当时，密度函数达到最大值， 并且x离越远，的值就越小. （3）在处曲线有拐点. 曲线以轴为水平渐近线； （4）若固定，改变值，则的图形沿轴平行移动，但不改变其形状，
内容提要
一、 随机变量的定义 （1）质量检验员检验100件产品，若用表示这100件产品中次品的件
数，则变量X所有可能的取值为0，1，2，…，100. “检验出10件次 品”， 则该随机事件对应着“X=10”； “次品数不超过20件”就可以表示 为“X≤20”，
（2）掷一枚硬币一次，试验只有两种可能的结果：正面向上或反面 向上，令：
第二章 随机变量及其概率分布