b

f x dx
a

f x dx f x dx
b a
一、连续型随机变量概念
例7 假设X是连续型随机变量，其密度函数为
cx 2 , 0 x 2; f x 其他． 0,
求：⑴c的值；⑵ P 1 X 1
解 (1)
c

2
0
x 2dx 1
因此代入即得结论。
三、常用的离散型分布
4.超几何分布 设N，M，k为正整数，且 , 布律为 ,若随机变量X的分
k n k CM CN M P( X k ) ,0 k n n CN
则称X服从参数为n，M，N的超几何分布(Hype-geometric distribution)，记作 X ~ H n, M , N
则称X服从参数为p的几何分布(Geometricdistribution)，
记作 X ~ G p
三、常用的离散型分布
几何分布具有下列无记忆性：
P( X m n X m) P( X n), m, n N
P( X m n) (1 p)mn ,
P( X n) (1 p)n
因此，至少有两个急诊病人前来就诊的概率为
三、常用的离散型分布
定理1（泊松定理）
k k lim Cn p (1 p)n k n
k e
k!
k k Cn p (1 p)n k
k e
k!
三、常用的离散型分布
例5 设某人进行射击，每次射击的命中率为0.005，独 立射击1000次，试求1 000次射击中集中次数不超过10次 的概率．
P X 0 P抽到白球＝ n mn
于是X的分布律为
二、离散型随机变量的分布律
例2 设随机变量 的分布律为：
求
(1) (2)
Y ( X 1) 2
Y=2X+3 的分布律。
二、离散型随机变量的分布律
解：由X的分布律可列出下表
二、离散型随机变量的分布律
由上表可定出
2 Y ( X 1 ) (1) 的分布律为：
均匀分布的分布函数为
x a, 0, x a F x , a x b, b a x b. 1,
三、常见的连续型分布
例10 试用均匀分布来求解下题：
某城际轻轨从上午7时起，每隔15分钟来一趟车，一乘客 在9:00到9:30之间随机到达该车站， ⑴该乘客等候不到5分钟乘上车的概率；
个数值，这样的随机变量称为离散型随机变量，它的分 布称为离散型分布．
二、离散型随机变量的分布律
设X为一个离散型随机变量，它可能取的值为 x1, x2 , ， 事件 X xi 的概率为
pi i 1,2,
，那么，可以用下列表
格来表达X取值的规律：
其中
N ．这个表格所表示的函数称
为离散型随机变量X的分布律（或称为概率分布）．
1
分布函数的概念 分布函数的性质
2
一、分布函数的概念
定义3 设X是一个随机变量，称定义域为 , ，函数 值在区间[0,1]上的实值函数
F x P X x
x
为随机变量X的分布函数（Distribution function）．
一、分布函数的概念
二、连续型随机变量函数的分布
例9 设随机变量X的密度函数为
求：Y=2X+3的密度函数。
二、连续型随机变量函数的分布
解：由分布函数的定义得Y的分布函数为：
FY ( y)
=
PY y
y3 y3
-3 y2 3 x2 = 0 x e dx, 0,
由此可得Y的密度函数
3 2 ) 1 y 3 3 ( y 2 ）e , ( y) = （ FY 2 2 0,
二、离散型随机变量的分布律
例1 在装有m个红球，n个白球的袋子中，随机取一球， 观察取出球的颜色，此时观察对象为球的颜色，因而是 定性的，我们可引进如下的量化指标（记之为X）：
1, 当取到的是红球； X 0， 当取到的是白球．
二、离散型随机变量的分布律
则有
m P X 1 P抽到红球＝ mn
三、常用的离散型分布
解 设X服从参数为 的泊松分布，由题意知
P X 0 P X 1
即
0
0!
e
1
1!
e
可解得
1
P X 2 1 P X 0 P X 1 10 1 11 1 1 e e 0! 1! 1 2e1.
c
3 8
(2)
P 1 X 1

1 8
二、连续型随机变量函数的分布
定理2 设连续型随机变量X的密度函数为 f X ( x) ，y g ( x) 是
是一个单调函数，且具有一阶连续导数， 的反函数，则 Y g ( X ) 的密度函数为
f Y (y) f X (h( y)) h( y)
三、常用的离散型分布
一个袋子装有N个球，其中有N1个白球，N2个黑球 （N=N1+N2）,从中不放回地抽取n个球，设X表示取得白 球的数目，则X的分布为超几何分布。即
P( X k )
k nk CN C N2 1
C
n N
,0 k n
三、常用的离散型分布
5.泊松分布 设随机变量X的分布律为
概率得到x取k值的概率
因此，X的分布律为
称这个离散型分布为参数为n,p的二项分布(Binomial
distribution)，记作 X ~ Bn, p ，这里
三、常用的离散型分布
例3 一个袋子中装有4个球，3个白球，1个黑球。从中 任意取出1球，观察其颜色，放回袋中。共取出三次。设 为取出黑球的次数，求随机变量 的分布律及至多取出一
解 设X为1 000次射击中的击中次数，对每次射击而言，
相当于做一次伯努利试验，1 000次就是做1 000重伯努 利试验，因此 X
~ B 1000 ,0.005
，而这1 000次射击中击中
次数不超过10次的概率为
5k 5 P X 10 e 0.986 k! k 0

10
第二节 随机变量的分布函数
例6 设一口袋有六个球，其中一个白球、3个红球、2个 黑球．从中任取一球，记随机变量 为取得球上的颜色 （白色、红色、黑色一次记为1、2、3），求X的分布函
数．
解 X可能取的值为1,2,3，由古典概型的计算公式，可知 取这些值的概率依次为
1 1 1 , , 6 2 3
．
一、分布函数的概念
F(x)点表达式为
x x0
x0
即任一分布函数是一个右连续函数
第三节 连续型随机变量
1
连续型随机变量概念
2
连续型随机变量函数的分布
常见的连续型分布
3
一、连续型随机变量概念
定义4 如果随机变量X的分布函数可表示为
F x f t dt
x
其中 f x 0 ，则称X为连续型随机变量，f x 为X的概率密
P X k
k
k!
e
k 0,1,2,
P( )
其中 0 ，则称随机变量X服从参数为 的泊松分布
(Poisson distribution)，记作 X
三、常用的离散型分布
例4 设每分钟来到某医院就诊的急诊病人数X服从泊松
分布，且已知在一分钟内没有急诊病人与恰有一个急诊 病人的概率相同，求在一分钟内至少有两个急诊病人前 来就诊的概率．
0, 1/ 6, F x 2 / 3, 1,
x 1; 1 x 2; 2 x 3; 3 x.
一、分布函数的概念
F(x) 1
-1 0
1
2
3
x
图4-1
按分布函数的定义可知
Pa X b P X b P X a F b F a
概率论与数理统计
第三章 一维随机变量及其分布
第三章 一维随机变量及其分布
1 离散型随机变量 2 随机变量的分布函数
3 连续型随机变量
第一节 离散型随机变量
1
随机变量的概念 离散型随机变量的分布律 常用的离散型分布
2
3
一、随机变量的概念
定义1
Ω 是其样本空间，对Ω 中 对于给定的随机试验，
每一样本点 ，有且只有一个实数 X 与之对应，则称 此定义在上Ω 的实值函数X为随机变量（Random variable）．通常用大写英文字母表示随机变量，用小
次黑球的概率．
解 每次取出黑球的概率为1/4，可认为做3次重复独立的 试验，每次试验中事件发生的概率为1/4，因此取出黑球
3, ，其分布律为 的次数X服从参数为3,1/4的二项分布B 4 1
k 1 3 P X k 3 4 4
⑵该乘客等候时间超过10分钟才乘上车的概率．
三、常见的连续型分布
解 设该乘客于上午9时过X分钟到达该车站，由于乘客 在9:00到9:30之间随机到达，因此X服从区间(0，30)上 的均匀分布，即X的密度函数为
1 , 0 x 30; f x 30 其他. 0,
⑴该乘客等候时间不到5分钟，必须且只需在9:10到9:15 之间或在9:25到9:30之间到达车站，因此所求概率为
⑵同⑴的分析方法类似可得到所求概率为
P0 X 5 P15 X 20 1 3
三、常见的连续型分布
2.指数分布 如果X的密度函数为
二、连续型随机变量函数的分布