第一讲 坐标系
一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)
1.点M 的直角坐标为
),则它的球坐标为( )
5.2,,.2,,444453.2,,.2,,4444A B C D ππππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解析
:2,1,tan 0,tan 02,x 0.
4
11,,1
5.4
r y x ϕϕθϕθπθππ
θ===
===
<-=-=
<=
=由≤≤得又≤所以
答案:B
2.在平面直角坐标系中,以(1,1)为圆心
为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点,以Ox 为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为
( )
()
B..
C.
D.44A ρθρθππρθρθ⎛
⎫=- ⎪
⎝
⎭⎛
⎫- ⎪⎝
=-
=⎭=-
解析:由题意知圆的直角坐标方程为 (x-1)2
+(y-1)2
=2.
化为极坐标方程为(ρcos θ-1)2
+(ρsin θ-1)2
=2.
∴0.40
4,04044 .
.
ρρθρθρρππππθρθρπθ⎡
⎤
⎛⎫--
= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣
⎦
⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭⎡⎤
⎛
-∴-∴⎫--
= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭⎛
⎫- ⎪⎝
⎭= 也过极点与等价对应的极坐标方程为
答案:A
3.在极坐标系中,点(ρ,θ)与(-ρ,π-θ)的位置关系为( ) A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.重合 D.关于直线θ=
2
π
(ρ∈R)对称 解析:点(ρ,θ)也可以表示为(-ρ,π+θ),而(-ρ,π+θ)与(-ρ,π-θ)关于极轴所在直线对称,故选A.
答案:A
4.在柱坐标系中,两点24,,04,,333M N π
π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
与的距离为( ) A.3 B.4 C.5 D.8
解析:解法一:由柱坐标可知M 在Oxy 平面上,N 在Oxy 平面上的射影坐标为
N |MN |4,24,,0MN 5.3.
,
C π'∴'===⎛⎫
⎪⎝⎭
再由勾股定理得故选
解法二:可将M ､N 化为直角坐标
,N(MN 5..
C =-∴=故选
答案:C
5.两直线θ=α和ρcos(θ-α)=a 的位置关系是( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.重合
解析:θ=α表示过极点且极角为α的一条直线,ρcos(θ-α)=a 表示与极点距离为a 并且垂直于上述直线的直线,选C.
答案:C
6.在极坐标方程中,曲线C 的方程是ρ=4sin θ,过点4,6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
作曲线C 的切线,则切线长为
( )
A.4.C D 解析:ρ=4sin θ化为普通方程为x 2+(y-2)2
=4,
点4,2),6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
化为直角坐标为切线长､圆心到定点的距离及半径构成直角三角形.
由勾股定理:
= 答案:C
二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.圆ρ=5cos θ
sin θ的圆心坐标是________.
解析:
圆的普通方程是2
2
525.22x y ⎛⎫⎛
⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴圆心为5,,2⎛
⎝转化为极坐标为5,.3π⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
答案:5,3π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
8.设直线过极坐标系中的点M(2,0),且垂直于极轴,则它的极坐标方程为________. 解析:设所求直线的任一点的极坐标为(ρ,θ),由题意可得ρcos θ=2. 答案:ρcos θ=2
9.极坐标方程分别为ρ=cosθ与ρ=sinθ的两个圆的圆心距为________.
解析:ρ=cosθ表示圆心为
1
,0,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
半径为 的圆.
ρ=sinθ表示圆心为
1
,,
22
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
半径为 的圆.
∴圆心距d==
答案:
2
10.(2010·广东)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为________.
解析:曲线ρ=2sinθ化为直角坐标方程为
x2+y2=2y,即x2+(y-1)2=1,
而ρcosθ=-1化为直角坐标方程为x=-1.
直线x=-1与圆x2+(y-1)2=1的交点坐标为(-1,1),化为极坐标为3
. 4π⎫
⎪
⎭
答案:3
4π⎫
⎪
⎭
三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)
11.(2010·江苏)在极坐标系中,圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值.
解:化为平面直角坐标系:圆:x2-2x+y2=0,
即:(x-1)2+y2=1.直线:3x+4y+a=0.
1
=,
∴a=2或a=-8.
12.(2010·浙江自选模块卷)如图,在极坐标系(ρ,θ)中,已知曲线
213,
4
23:4422C :4sin 2C .
2:40C cos π
ρθθρθθθπρπθππππ=⎛⎛⎫ ⎪⎝⎭⎫
< ⎪⎝⎭==⎛
⎫ ⎪⎝
⎭≤≤≤≤或≤，≤≤
(1)求由曲线C 1,C 2,C 3围成的区域的面积; (2)设M 4,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
,N(2,0),射线θ=α0,
4
2π
πρα⎛⎫
<<
⎪⎝
⎭
≥与曲线C 1,C 2分别交于A,B(不同于极点O)两点.若线段AB 的中点恰好落在直线MN 上,求tan α的值.
解:(1)由已知,如图弓形OSP 的面积= ×π×22
- ×22
=π
-2,
从而,如图阴影部分的面积= ×π×22
-2(π-2)=4,
故所求面积= π×42+ ×π×22
-4=6π-4. (2)设AB 的中点为G(ρ,α),∠ONG=φ. 由题意ρ
=
2sin 2cos ,sin 2
A B
ααϕϕρρ+=
+== 在△OGN 中,
222,.
()2
.
()2sin cos ON OG sin cos sin OGN sin ONG sin sin sin sin sin cos αα
παφφ
φααα
φαα+==--==++∠∠+即所以
化简得sin 2
α-3sin αcos α=0, 又因为sin α≠0,所以tan α=3.
13.从极点O 作直线与另一直线l:ρcos θ=4相交于点M,在OM 上取一点P,使OM·OP=12. (1)求点P 的轨迹方程;
(2)设R 为l 上的任意一点,试求|RP|的最小值.
解:(1)设动点P 的极坐标为(ρ,θ),M 的极坐标为(ρ0,θ),则ρρ0=12. ∵ρ0cos θ=4,
∴ρ=3cos θ即为所求的轨迹方程.
(2)将ρ=3cos θ化为直角坐标方程是x 2
+y 2
=3x, 即(x- )2
+y 2
=( )2
,
知P 的轨迹是以( ,0)为圆心,半径为 的圆.直线l 的直角坐标方程是x=4.结合图形易得|RP|的最小值为1.。