大一高等数学复习题(含答案)复习题一、 单项选择题：1、5lg 1)(-=x x f 的定义域是（ D ） A 、()),5(5,+∞∞- B 、()),6(6,+∞∞- C 、()),4(4,+∞∞- D 、())5,4(4, ∞- ()),6(6,5+∞2、如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x)+f(x 2)的定义域是（ B ） A 、[1，2] B 、[1，2] C 、]2,2[- D 、]2,1[]1,2[ -- 3、函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D )A 、是奇函数，非偶函数B 、是偶函数，非奇函数C 、既非奇函数，又非偶函数D 、既是奇函数，又是偶函数解：定义域为R ，且原式=lg(x 2+1-x 2)=lg1=0 4、函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1x f（ C ） A 、21x - B 、21x --C 、)01(12≤≤--x x D 、)01(12≤≤---x x5、下列数列收敛的是（ C ） A 、1)1()(1+-=+n nn f n B 、⎪⎩⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n nn n n f ,11,11)(C 、⎪⎩⎪⎨⎧+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1)( D 、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n n n f n nnn,221,221)(解：选项A 、B 、D 中的数列奇数项趋向于1，偶数项趋向于-1，选项C 的数列极限为06、设1111.0个n ny =，则当∞→n 时，该数列（ C ）A 、收敛于0.1B 、收敛于0.2C 、收敛于91 D 、发散解：)1011(91101101101111.02n n ny-=+++==7、“f(x)在点x=x 0处有定义”是当x →x 0时f(x)有极限的（ D ）A 、必要条件B 、充分条件C 、充分必要条件D 、无关条件8、下列极限存在的是（ A ） A 、2)1(lim x x x x +∞→ B 、121lim -∞→xxC 、xx e 10lim → D 、xx x 1lim2++∞→解：A 中原式1)11(lim =+=∞→xx 9、xx x x x x sin 2sin 2lim 22+-+∞→=（ A ）A 、21B 、2C 、0D 、不存在解：分子、分母同除以x2，并使用结论“无穷小量与有界变量乘积仍为无穷小量”得 10、=--→1)1sin(lim 21x x x （ B ）A 、1B 、2C 、21D 、0 解：原式=21)1sin()1(lim 221=--⋅+→x x x x11、下列极限中结果等于e 的是（ B ） A 、xxx x x sin 0)sin 1(lim +→ B 、xxx xx sin )sin 1(lim +∞→C 、xx x xx sin )sin 1(lim -∞→- D 、xxx xxsin 0)sin 1(lim +→解：A 和D 的极限为2， C 的极限为1 12、函数||ln 1x y =的间断点有（ C ）个 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 解：间数点为无定义的点，为-1、0、1 13、下列函灵敏在点x=0外均不连续，其中点x=0是f(x)的可去间断点的是（ B ）A 、x x f 11)(+=B 、x xx f sin 1)(=C 、xe xf 1)9= D 、⎪⎩⎪⎨⎧≥<=0,0,)(1x e x e x f x x解：A 中极限为无穷大，所以为第二类间断点 B 中极限为1，所以为可去间断点C 中右极限为正无穷，左极限为0，所以为第二类间断点D 中右极限为1，左极限为0，所以为跳跃间断点14、下列结论错误的是（ A ）A 、如果函数f(x)在点x=x 0处连续，则f(x)在点x=x 0处可导B 、如果函数f(x)在点x=x 0处不连续，则f(x)在点x=x 0处不可导C 、如果函数f(x)在点x=x 0处可导，则f(x)在点x=x 0处连续D 、如果函数f(x)在点x=x 0处不可导，则f(x)在点x=x 0处也可能连续15、设f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3),则f ’(0)=( A ) A 、6 B 、3 C 、2 D 、0 16、设f(x)=cosx ，则=∆∆--→∆xx a f a f x )()(lim（ B ）A 、a sinB 、a sin -C 、a cosD 、a cos -解：因为原式=)()()(lim 0a f xx a f a f x '=∆-∆--→∆17、xy 2cos 2=，则=dy （ D ） A 、dx x x )2()2(cos2'' B 、xd x 2cos )2(cos2'C 、xdx x 2sin 2cos 2-D 、x xd 2cos 2cos 218、f(x)在点x=x 0处可微，是f(x)在点x=x 0处连续的（ C ）A 、充分且必要条件B 、必要非充分条件C 、充分非必要条件D 、既非充分也非必要条件 19、设xne xy 2-+=，则=)0()(n y（ A ）A 、nn )2(!-+ B 、n! C 、1)2(!--+n n D 、n!-2 20、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ A ）A 、y=x 2-5x+6 [2，3]B 、2)1(1-=x y[0，2]C 、xxe y -= [0，1] D 、⎩⎨⎧≥<+=5,15,1x x x y [0，5]21、求下列极限能直接使用洛必达法则的是（ B ）A 、x x x sin lim ∞→ B 、xxx sin lim 0→ C 、x x x 3sin 5tan lim 2π→D 、xxx x sin 1sin lim20→22、设232)(-+=x xx f ，则当x 趋于0时（ B ）A 、f(x)与x 是等价无穷小量B 、f(x)与x 是同阶非等价无穷小量C 、f(x)是比x 较高阶的无穷小是D 、f(x)是比x 较低阶的无穷小量 解：利用洛必达法则13ln 2ln 13ln 32ln 2lim 232lim )(lim 00000≠+=+-+=→→→x x x x x x x x x x f23、函数xxe e xf -+=)(在区间（-1，1）内（ D ）A 、单调增加B 、单调减少C 、不增不减D 、有增有减24、函数21x x y -=在（-1，1）内（ A ）A 、单调增加B 、单调减少C 、有极大值D 、有极小值25、函数y=f(x)在x=x 0处取得极大值，则必有（ D ）A 、f ’(x 0)=0B 、f ”(x 0)<0C 、f ‘(x 0)=0且f “(x 0)<0D 、f ‘(x 0)=0或f ‘(x 0)不存在26、f ‘(x0)=0，f “(x0)>0是函数f(x)在点x=x0处以得极小值的一个（ B ）A 、必要充分条件B 、充分非必要条件C 、必要非充分条件D 、既非必要也非充分条件27、函数y=x 3+12x+1在定义域内（ A ） A 、单调增加 B 、单调减少 C 、图形上凹 D 、图形下凹28、设函数f(x)在开区间（a ，b ）内有f ‘(x)<0且f “(x)<0，则y=f(x)在(a ，b)内（ C ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调增加，图形下凹C 、单调减少，图形上凹D 、单调减少，图形下凹29、对曲线y=x 5+x 3，下列结论正确的是（ D ） A 、有4个极值点 B 、有3个拐点 C 、有2个极值点 D 、有1个拐点 30、若⎰+=Cex dx x f x22)(，则f(x)=（ D ）A 、ze x 22 B 、zxe 24 C 、xe x 222 D 、)1(22x xex+31、已知x y 2='，且x=1时y=2，则y=( C ) A 、x 2 B 、x 2+C C 、x 2+1 D 、x 2+2 32、=⎰x d arcsin（ B ）A 、x arcsinB 、x arcsin +C C 、x arccosD 、xarccos +C33、设)(x f '存在，则[]='⎰)(x df （ B ）A 、f(x)B 、)(x f 'C 、f(x)+CD 、)(x f '+C 34、若⎰+=Cx dx x f 2)(，则=-⎰dx xxf )1(2（ D ）A 、Cx+-22)1(2 B 、Cx+--22)1(2 C 、Cx+-22)1(21 D 、Cx+--22)1(21 解：C x x d x f dx xxf +--=---=-⎰⎰22222)1(21)1()1(21)1(35、设⎰+=C x dx x f sin )(，则=-⎰dx x x f 21)(arcsin （ D ）A 、arcsinx+CB 、Cx +-21sin C 、Cx +2)(arcsin 21D 、x+C解：原式=⎰+=+=C x c x x d x f )sin(arcsin arcsin )(arcsin36、设xe xf -=)(，则='⎰dx xx f )(ln （ C ） A 、C x +-1 B 、C x +-ln C 、C x+1 D 、lnx+C 解：原式=C xC eC x f x d x f x+=+=+='⎰-1)(ln ln )(ln ln37、设⎰+=C x dx x xf arcsin )(，则⎰=dx x f )(1（ B ） A 、Cx +--32)1(43B 、Cx +--32)1(31C 、Cx +-322)1(43D 、Cx +-322)1(32解：对⎰+=C x dx x xf arcsin )(两端关于x 求导得211)(xx xf -=，即211)(xx x f -=，所以C x x d x dx x x dx x f +--=---=-=⎰⎰⎰22222)1(31)1(1211)(138、若sinx 是f(x)的一个原函数，则⎰='dx x f x )(（ A ）A 、xcosx-sinx+CB 、xsinx+cosx+C C 、xcosx+sinx+CD 、xsinx-cosx+C 解：由sinx 为f(x)的一个原函数知f(x)=cosx ，则使用分部积分公式得 39、设xef x+='1)(，则f(x)=（ B ）A 、1+lnx+CB 、xlnx+C C 、Cx x ++22D 、xlnx-x+C40、下列积分可直接使用牛顿—莱布尼茨公式的是（ A ） A 、dx x x ⎰+5231B 、dxxdx ⎰--1121 C 、⎰-4223)5(x xdx D 、⎰11ln exx xdx解：选项A 中被积函数在[0，5]上连续，选项B 、C 、D 中被积函数均不能保证在闭区间上连续 41、≠⎰-22|sin |ππdx x （ A ）A 、0B 、⎰2|sin |2πdxx C 、⎰--02)sin (2πdxx D 、⎰2sin 2πxdx42、使积分⎰=+-22232)1(dx xkx 的常数k=（ C ）A 、40B 、-40C 、80D 、-80解：原式=325202)11(2)1()1(2220222==+-=++⎰-k x k x d x k43、设⎩⎨⎧≤≤-<≤-+=10,101,12)(x x x x f x ，则 =⎰-11)(dx x f （ B ）A 、312ln 21+B 、352ln 21+C 、312ln 21-D 、352ln 21- 解：352ln 2101)1(3210)22ln 1(1)12()(2312111+=---+=-++=⎰⎰⎰--x x dx x dx dx x f x x44、⎰+-=xdtt t y 02)2()1(，则==0x dxdy（ B ）A 、-2B 、2C 、-1D 、1 解：dy/dx=(x+1)2(x+2)45、下列广义积分收敛的是（ B ） A 、⎰10xdx B 、⎰1xdx C 、⎰1xx dx D 、⎰103xdx 解：四个选项均属于⎰10px dx，该广义积分当p<1时收敛，大于等于1时发散二、填空题 1、⎰=+dx exe x （ ）解：原式=xx x ex e e xe de e dx e e==⋅⎰⎰+C2、已知一函数的导数为211)(xx f -=，且当x=1时，函数值为π23， 则此函数F(x)=( π+x arcsin ) 解：ππ=∴=+=+=-=∴='⎰C C F Cx dx xx F x f x F ,231arcsin )1(arcsin 11)()()(23、曲线2x e y -=的上凸区间是（ （22,22-） ）解：22,)12(2,2222±=∴-=''-='--x e x y xe y x x4、=+⎰-xdx x x 322cos )sin (22ππ（ 8π ） 解：⎰⎰⎰⎰--=-===∴222020222222323824cos 1212sin 412cos sin 0cos cos πππππππdx x xdx xdx x xdx x ，x 为奇函数5、若f(x)的一个原函数是sinx ，则⎰=''dx x f )(（ -sinx+C ）解：x x f x x f x x x f cos )(,sin )(,cos )(sin )(-=''-='='= 6、设2222)ln()(a x a x x x x f +-++=，其中0≠a ，则='')0(f （ a1 ）解：222222222222222221)0(1)2211(1)()ln(221)2211()ln()(a f a x a x xa x x x f a x x a x x a x x a x x x a x x x f =''+=+⋅+++=''++=+⋅-+⋅++++++='7、曲线⎰+=+=ty t t x sin 1cos cos 2上对应于4π=t 的点外的法线斜率为（ 21+ ） 8、设)2(2x f y =，而xx f tan )(='，则==8πx dy （π2 ）解：)2tan(4)2()2(222x x x xf dxdy ='⋅'=9、=++++++∞→)2211(lim 222n n n n n n （ 21 ） 10、设1)1(lim)(2+-=∞→nx xn x f n ，则f(x)的间断点为x=（ 0 ）解：x 不等于0时，xn x n n x x f n 1111lim)(2=-+-=∞→X=0时，f(x)=f(0)=0,显然x 不等于0时，f(x)=1/x 连续，又)0()(lim 0f x f x ≠∞=→三、计算题 1、求极限22220sin 112lim x x x x x +-+→参考答案： 原式=81)(81lim )](81211[12lim 4440444220=-=+-+-+→→x x o x x x o x x x x x2、求极限)1ln()13()1(11320limx e x x x x x +----+→参考答案：利用等价无穷小：xx x x a x a x e x xαα~1)1(,~)1ln(,ln ~1,~1-++--原式=3ln 32lim 31lim 3ln 1)1(lim 11lim 3ln 1)3(ln )1(11lim 202202023202320-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=⋅---+→→→→→x x x x x x e x x x x e x x x x xx x xx 3、设⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x ，求22dx y d参考答案：)cos 1(sin t a t a x y dx dy t t -=''=23222)cos 1(1)cos 1(1cos )cos 1(1)cos 1(sin sin )cos 1(cos )(t a t a t t a t t t t t dx dt dx dy dt d dx dx dy d dx y d --=--=-⋅-⋅--=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==4、求由方程yxe y +=1所确定隐函数的二阶导数22dx y d参考答案：把原方程两边对自变量x 求导，得 dxdy xe e dxdyy y⋅+=解得ye xe e dx dy yy y -=-=21则32222)2()3()2()()2()2(y ey y dx dye y dx dy e y e dx d dxy dy y yy-⋅-=----⋅=-=5、近似计算数e 的值，使误差不超过10-2参考答案：n x x n x x e !1!2112++++≈令x=1)!1(!1!2111++++++=⇒n e n e θ要使误差310-<nR，只需210)!1(3-<+≤n Rn经计算，只需取n=5,所以72.27167.20083.00417.01667.05.2!51!2111≈=+++=++++≈ e6、讨论函数)1()(3x x x f -=的凸性与相应曲线拐点 参考答案： 函数的定义为R 3243)(x x x f -=')21(6126)(2x x x x x f -=-=''由0)(=''x f 可得x=0,1/2 列表如下： x(-∞，0)（0，1/2）1/2（1/2，+∞）)(x f ''- 0 + 0 - )(x f凹拐点凸拐点凹所以凹区间为),21()0,(+∞⋃-∞ 凸区间为)21,0( 拐点为（0，0）和)161,21( 7、 求函数22y x x=+的单调区间、极值点参考答案：定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞． 由3222122x yx x x-'=-=，令0y '=得驻点1x =，列表给出单调区间及极值点： x (,0)-∞(0,1) １ (1,)+∞y '－ — ０ ＋ ()f x极小值3所以，函数的单调递减区间为(,0)-∞，(0,1]，单调递增区间为[1,)+∞，极小值点为(1,3) 8、 求由,,2yx y x x 所围图形的面积参考答案：120174()d (d )233Axx xxx x9、设210()0xx x f x ex -⎧+≤=⎨>⎩，求31(2)d f x x-⎰．参考答案：方法一：先作变量代换 23112111(2)d ()d (1)d d x tt f x x f t t t t e t-=----==++⎰⎰⎰⎰301111147[]1333tt t e e e ----=+-=-+=-． 方法二：先给出2(2)1(2)2(2)2x x x f x ex --⎧+-≤-=⎨>⎩，于是3232(2)11127(2)d [1(2)]d d 3x f x x x x e x e ----=+-+=-⎰⎰⎰10、求曲线33)1(xx y -+=在A （-1，0），B （2，3），C （3，0）各点处的切线方程参考答案：323323)3(1313)1()3(31)1(3x x x x x x y -+--=-⋅-⋅++-='-在A （-1，0）点处，34)1(=-'=y k所以在A 点处的切线方程为)1(43+=x y而在B （2，3）点处，0)2(='=y k 所以在B 点处的切线方程为y-3=0又在C （3，0）点处，)3(y k '=不存在，即切线与x 轴垂直所以C 点处的切线方程为x=311、在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上，曲线x y sin =与直线0,2==y x π所围成的图形分别绕x 轴和y 轴所产生的放置体的体积。