大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分）________１１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为_________√１－ｘ2_______________ 。

２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是 ______________ 。

ｆ（ Xo＋２ h）－ｆ（ Xo－３ h）３．设ｆ（ X）在 Xo 可导且ｆ ' （ Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────h→o h＝_____________ 。

４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是____________。

ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________ 。

１－ｘ4１６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝ ___________。

x→∞Ｘ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝ ____________。

_______R√R2－ｘ2８．累次积分∫ｄｘ∫ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为____________。

00ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为 ____________。

ｄｘ3ｘｄｘ2∞∞１０．设级数∑ａn发散，则级数∑ ａn_______________。

n=1n=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设函数ｆ（ｘ）＝──，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１①１－──ｘ②１＋１──ｘ１③ ────１－ｘ④ｘ２．ｘ→ 0１时，ｘｓｉｎ──＋１ｘ是（）①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是（）①若ｆ（②若ｆ（③若ｆ（④若ｆ（X ）在X ）在X ）在X ）在X ＝Xo 连续，则ｆ（X ＝Xo 不可导，则ｆ（X ＝Xo 不可微，则ｆ（X ＝Xo 不连续，则ｆ（X）在X）在X）在X）在X＝ Xo 可导X＝ Xo 不连续X＝ Xo 极限不存在X＝ Xo 不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ' （ｘ）〈０，ｆ" （ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ'(x)＝Ｇ '(x)，则（）①Ｆ (X) ＋Ｇ (X)为常数②Ｆ (X) －Ｇ (X)为常数③Ｆ (X) －Ｇ (X)＝０ｄ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘｄｘｄ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘ1６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（）-1①０②１③２④３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（）①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ轴的平面③过ｏｚ轴的平面④直线８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ 3＋ｙ3＋ｘ2ｘｙｔｇ──，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝ｙ（）①ｔｆ（ｘ，ｙ）3②ｔ 2ｆ（ｘ，ｙ）１④──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ 2９．设ａn≥０，且ｌｉｍn→∞ａn＋１─────ａ＝ｐ，则级数n=1∞∑ａ n（）①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是（）①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程（二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是（）①ｙ＝ｅ③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ②ｙ＝ｘ＋１④ｙ＝ｌｎ│ｘ│使（１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ）1〈ｘ 2〈ｂ，则至少有一点ζ ∈（ａ，ｂ）①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ' （ζ ）（ｂ－ａ）②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ' （ζ ）（ｘ2－ｘ1）③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ 2－ｘ 1）１３．设ｆ（ X）在 X ＝ Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在X＝Xo可导的（）①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝（）ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝（）①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１x１６．ｌｉｍ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝（）x→0ｘ30１①０②１③──④∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ─────＝（）x→0ｘ2＋ｙ2y→0① ０②１③∞④ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是（）①设ｙ ' ＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ②设ｙ ' ＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③设ｙ ' ＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④设ｙ ' ＝ｐ，则ｙ"＝─────ｐｄｙ１９．设幂级数∞∞∑ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛，则∑ａnｘn在│ｘ│ 〈│ｘ o│（）n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与ａn有关ｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ 2 所围成，则∫∫─────ｄσ ＝（）Dｘ11ｓｉｎｘ① ∫ ｄｘ∫ ───── ｄｙ0xｘ__1√yｓｉｎｘ② ∫ ｄｙ∫─────ｄｘ0yｘ__1√xｓｉｎｘ③ ∫ ｄｘ∫─────ｄｙ0xｘ__1√xｓｉｎｘ④ ∫ ｄｙ∫─────ｄｘ0xｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）___________／ｘ－１１．设ｙ＝／──────求ｙ'。

√ｘ（ｘ＋３）ｓｉｎ（９ｘ2－１６）２．求ｌｉｍ───────────。

x→4/3３ｘ－４ｄｘ３．计算∫ ───────。

（１＋ｅx）2t1ｄｙ４．设ｘ＝∫（ｃｏｓｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，ｙ＝∫（ｓｉｎｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，求─── 。

0tｄｘ５．求过点Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程。

___６．设ｕ＝ｅx＋√ｙ＋ｓｉｎｚ，求ｄｕ。

x asinθ７．计算∫∫ｒｓｉｎθ ｄｒｄθ。

00ｙ＋１８．求微分方程ｄｙ＝（────）2ｄｘ通解。

ｘ＋１３９．将ｆ（ｘ）＝─────────展成的幂级数。

（１－ｘ）（２＋ｘ）四、应用和证明题（共１５分）１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（比例常数为ｋ〉０）求速度与时间的关系。

___１２．（７分）借助于函数的单调性证明：当ｘ〉１时，２√ｘ〉３－──。

ｘ附：高数（一）参考答案和评分标准一、填空题（每小题１分，共１０分）１．（－１，１）２．２ｘ－ｙ＋１＝０３．５Ａ４．ｙ＝ｘ2＋１１５．──ａｒｃｔｇｘ2＋ｃ２６．１７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）π /2π８．∫ ｄθ ∫ ｆ（ｒ2）ｒｄｒ00９．三阶１０．发散二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１．③２．③３．④４．④５．②６．②７．②８．⑤９．④１０．③（二）每小题２分，共２０分１１．④１２．④１３．⑤１４．③１５．③１６．②１７．①１８．③１９．①２０．②三、计算题（每小题５分，共４５分）１１．解：ｌｎｙ＝──［ｌｎ（ｘ－１）－ｌｎｘ－ｌｎ（ｘ＋３）］（２分）２１１１１１──ｙ ' ＝──（────－──－────）（２分）ｙ２ｘ－１ｘｘ＋３__________１／ｘ－１１１１ｙ ' ＝──／──────（────－──－────）（１分）２√ ｘ（ｘ＋３）ｘ－１ｘｘ＋３１８ｘｃｏｓ（９ｘ2－１６）２．解：原式＝ｌｉｍ────────────────（３分）x→4/3３１８（４／３）ｃｏｓ［９（４／３）2－１６］＝──────────────────────＝８（２分）３１＋ｅx－ｅx３．解：原式＝∫───────ｄｘ（２分）（１＋ｅx）2ｄｘｄ（１＋ｅx）＝∫─────－∫───────（１分）１＋ｅx（１＋ｅx）2１＋ｅx－ｅx１＝∫───────ｄｘ＋─────（１分）１＋ｅx１＋ｅx１＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅx ）＋─────＋ｃ（１分）１＋ｅx４．解：因为ｄｘ＝（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ，ｄｙ＝－（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ（３分）ｄｙ－（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ所以─── ＝────────────────＝－ｔｇｔ（２分）ｄｘ（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ５．解：所求直线的方向数为｛１，０，－３｝（３分）ｘ－１ｙ－１ｚ－２所求直线方程为────＝────＝────（２分）１０－３____６．解：ｄｕ＝ｅx + √y + sinzｄ（ｘ＋√ｙ＋ｓｉｎｘ）（３分）__一、D C A C A B C C B A DA B A D ADBDA二 课程代码： 00020一、单项选择题（本大题共20 小题，每小题 2 分，共 40 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的 括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设函数 f (1 x（）) ，则 f ( 2x )xx 112 A.2xB.x1 1 2( x 1)2(x 1)C.D.2xx2.已知 f(x)=ax+b, 且 f(-1)=2,f(1)=-2, 则 f(x)= （ ）A.x+3B.x-3C.2xD.-2x3. lim ( x) x （）xx 1A.eB.e -1C.D.14.函数 yx3的连续区间是（）(x2)( x 1)A. ( , 2) ( 1,) B. ( , 1) ( 1,)C. ( , 2)( 2, 1) ( 1,)D. 3,5.设函数 f ( x)( x 1) ln( x 1) 2， x1连续 ,则 a=（）a， x在 x=-11A.1B.-1C.2D.06.设 y=lnsinx, 则 dy= （ ）A.-cotx dxB.cotx dxC.-tanx dxD.tanx dxx(a>0,a1),则 y (n) x 0（）7.设 y=aA.0B.1C.lnaD.(lna) n8.设一产品的总成本是产量x 的函数 C(x), 则生产 x 0 个单位时的总成本变化率( 即边际成本 )是（ ）C(x )C(x)A.B.x x 0xxC. dC(x )D. dC (x ) x x 0dxdx9.函数 y=e -x -x 在区间 (-1,1)内（ ）A. 单调减小B. 单调增加C.不增不减D. 有增有减 10.如可微函数 f(x) 在 x 0 处取到极大值 f(x 0),则（）A. f ( x 0 ) 0B. f (x 0 ) 0C. f (x 0 ) 0D. f (x 0 ) 不一定存在11. [f (x) xf (x )]dx （ ）A.f(x)+CB. xf ( x) dxC.xf(x)+CD. [xf (x )]dx12.设 f(x) 的一个原函数是2xf (x)dx （）x ,则A. x 3 CB.x 5+C3C. 2x 3Cx5CD.31513.83 xdx （）e8A.0B. 2 83x dxe22C.e xdxD. 3x 2e xdx2214.下列广义积分中 ,发散的是（）1dxB.1 dxA.x0 x1dxD. 1dx C.3x1 x15.满足下述何条件 ,级数U n 一定收敛（）n 1nA.U i 有界B. lim U ni 1nC. limUn 1r1D.| U n | 收敛U nnn 116.幂级数(x 1) n 的收敛区间是 （）n 1A. 0,2B.(0,2)C. 0,2D.(-1,1)x 217.设 z e y ,则 z （ ）yx 2 B. x 2 x 2A. e y e yy 22xx 2 1 x 2C. y yy e D. ey18.函数 z=(x+1) 2+(y-2) 2 的驻点是（ ）A.(1,2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(1,-2)19. cos x cos ydxdy （ ）0 x 20 y 2A.0B.1C.-120.微分方程 dy 1 sin x 满足初始条件 y(0)=2 的特解是（ dxA.y=x+cosx+1B.y=x+cosx+2C.y=x-cosx+2D.y=x-cosx+3二、简单计算题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）21.求极限 l i m( n 3 n ) n 1.n122.设 y x x , 求y (1).cos 2x23.求不定积分dx.1 sin x cos x24.求函数 z=ln(1+x 2+y 2 )当 x=1,y=2 时的全微分 .125.用级数的敛散定义判定级数 的敛散性 . n 1 n n 1三、计算题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）26.设 z xy xF( u), u y , F( u)为可导函数 , 求 x z y z . x x y 227.计算定积分 I x ln x dx.128.计算二重积分 I cos(x 2 y 2 )dxdy ,其中 D 是由 x 轴和 y D D.2 ） x 2 所围成的闭区域 .229.求微分方程 x dy y e x 0 满足初始条件 y(1)=e 的特解 .dx四、应用题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）30.已知某厂生产 x 件某产品的成本为 C=25000+200x+ 1 x 2 . 问 40(1) 要使平均成本最小 ,应生产多少件产品 ?(2) 如产品以每件 500 元出售 ,要使利润最大 ,应生产多少件产品 ?31.求由曲线 y x ,直线 x+y=6 和10.设函数 y=ln x,则它的弹性函数 Ey=_____________.Ex11.函数 f(x)= x 2e -x 的单调增加区间为 ______________.12.不定积分 dx=__________________.2x 313.设 f( x)连续且 xf (t)dt x 2 cos 2 x ，则 f(x)=________________. 014.微分方程 xdy-ydx=2dy 的通解为 ____________________.xy 2 z15.设 z=xe ,则 x =______________________.y三、计算题（一） （本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）16.设函数 f(x)= k e x x 0 在 x=0 处连续，试求常数 k. 3x 1 x 017.求函数 f(x)= e x+x arctan x 的导数 .sin 2 x18.求极限 lim x 2.x 0 xe x sin x219.计算定积分 2 sin 2xdx . 020.求不定积分 1 xdx. 1 2x四、计算题（二） （本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）21.求函数 f(x)=x 3-6x 2+9 x-4 在闭区间 [0， 2]上的最大值和最小值 .22.已知 f(3x+2)=2 xe -3x ,计算 5f (x)dx .223.计算二重积分 x 2 ydxdy ，其中 D 是由直线 y=x,x=1 以及 x 轴所围的区域 . D五、应用题（本大题 9 分）24.已知矩形相邻两边的长度分别为 x,y ，其周长为 4.将矩形绕其一边旋转一周得一旋转体 （如图） .问当 x,y 各为多少时可使旋转体的体积最大？21-3/222-e^-123x- arctgx + C243/225y + 2 = 026t^2f(x,y)27-1/(2sqrt(x)sqrt(y))282pi/3291/230(c_1x + c_2 ) e^(4x)三四一、D C A C A B C C B A D A B A D A D B D A二21-3/222-e^-123x- arctgx + C243/225y + 2 = 026t^2f(x,y)27-1/(2sqrt(x)sqrt(y)) 282pi/3291/230(c_1x + c_2 ) e^(4x) 三四。