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导数与函数的零点讲义(非常好,有解析)

函数的零点【题型一】函数的零点个数【解题技巧】用导数来判断函数的零点个数,常通过研究函数的单调性、极值后,描绘出函数的图象,再借助图象加以判断。

【例1】已知函数3()31,0f x x ax a =--≠()I 求()f x 的单调区间;()II 若()f x 在1x =-处取得极值,直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点,求m 的取值范围。

变式:已知定义在R 上的奇函数)(x f ,满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=【答案】 -8【解析】因为定义在R 上的奇函数,满足(4)()f x f x -=-,所以(4)()f x f x -=-,所以, 由)(x f 为奇函数,所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =,由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为)(x f 在区间[0,2]上 是增函数,所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0) 在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,不妨设1234x x x x <<<,由对称性知1212x x +=-,344x x +=.所以12341248x x x x +++=-+=-.6【题型二】复合函数的零点个数复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的,在处理其零点个数问题时,应分清内层和外层函数与零点的关系。

【解题技巧】函数()(())h x f f x c =-的零点个数的判断方法可借助换元法解方程的思想 分两步进行。

即令()f x d =,则()()h x f d c =- 第一步:先判断()f d c =的零点个数情况 第二步:再判断()f x d =的零点个数情况【例2】已知函数3()3f x x x =- 设()(())h x f f x c =-,其中[22]c ∈-,,求函数()y h x =的零点个数1.(江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试(数学)已知函数322()39(0)f x x ax a x a =--≠.若方程'2()12169f x nx ax a a =---在[l,2]恰好有两个相异的实根,求实数a 的取值范围(注:1n2≈0.69):【题型三】如何运用导数求证函数“存在、有且只有一个”零点【解题技巧】(1)要求证一个函数存在零点,只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明。

即:如果函数()f x 在区间[]a b ,上是一条连续不断曲线,并且()()0f a f b ⋅<,则函数()f x 在区间()a b ,上至少有一个零点。

即存在一点()0x a b ∈,,使得0()0f x =,这个0x 也就是方程()0f x =的根.(2)要求证一个函数“有且只有一个”零点,先要证明函数为单调函数,即存在零点;再用“函数零点的存在性定理”求证函数零点的唯一性。

其依据为:如果函数()f x 在区间[]a b ,上是单调函数,并且()()0f a f b ⋅<,则函数()f x 在区间()a b ,上至多有一个零点。

【例3】设函数329()62f x x x x a =-+-. (1)对于任意实数x ,()f x m '≥恒成立,求m 的最大值;(2)若方程()0f x =有且仅有一个实根,求a 的取值范围.变式:设函数()ln f x x =,()ag x x=,()()()F x f x g x =+。

若方程()f x mx =在区间2[1,]e 上有唯一实数解,求实数m 的取值范围; 解析:方程()f x mx =在区间2[1,]e 上有唯一实数解等价于方程ln x mx=在区间2[1,]e 上有唯一实数解。

记2ln ()[1,]x h x x e x =∈,则21ln ()x h x x-'=, 令()0h x '=,得:x e =, 当[1,]x e ∈时,()0h x '>,()h x 递增;当2[,]x ee ∈时,()0h x '<,()h x 递减。

所以max 1()()h x h e e==。

易求得:(1)0h =,222()h e e =。

为使方程ln x m x=在区间2[1,]e 上有唯一实数解, 则直线y m =与函数ln ()xy h x x==的图象有唯一交点,根据()h x 的图象可知:1me=或 220m e ≤<。

故m 的取值范围是2210,e e ⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭。

【例4】已知函数()x f x e mx =-在(1,)-+∞上没有零点,求m 的取值范围;【题型四】如何运用导数来判断与求证含参函数的零点【例5】(2013·江苏卷)设函数ax x x f -=ln )(,ax e x g x-=)(,其中a 为实数.若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数,试求)(x f 的零点个数,并证明你的结论.基础练习:1.己知()ln xf x a x a =--e ,其中常数0a >.(1)当a =e 时,求函数()f x 的极值;2.已知函数f (x )=12m (x -1)2-2x +3+ln x ,m ∈R .当m >0时,若曲线y =f (x )在点P (1,1)处的切线l 与曲线y =f (x )有且只有一个公共点,求实数m 的值.3.已知函数1()1x f x x e=-+(a R ∈,e 为自然对数的底数).若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值.4.已知函数f (x )=13x 3+1-a 2x 2-ax -a ,x ∈R,其中a >0.若函数f (x )在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a 的取值范围;5.设1a >,函数a e x x f x-+=)1()(2.(1) 求)(x f 的单调区间 ;(2) 证明:)(x f 在(),-∞+∞上仅有一个零点;参考答案与解析【例1】解析:(1)'22()333(),f x x a x a =-=- 当0a <时,对x R ∈,有'()0,f x >当0a <时,()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞当0a >时,由'()0f x >解得x <x >由'()0f x <解得x <<当0a >时,()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞;()f x 的单调减区间为(。

(2)因为()f x 在1x =-处取得极大值, 所以'2(1)3(1)30, 1.f a a -=⨯--=∴= 所以3'2()31,()33,f x x x f x x =--=-由'()0f x =解得121,1x x =-=。

由(1)中()f x 的单调性可知,()f x 在1x =-处取得极大值(1)1f -=, 在1x =处取得极小值(1)3f =-。

因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点,又(3)193f -=-<-,(3)171f =>,结合()f x 的单调性可知,m 的取值范围是(3,1)-。

【例2】令3()3f x x x d =-=,则:()(())()h x f f x c f d c =-=-(1)先讨论关于d 的方程()=c f d 即33d d c -=根的情况:[]2, 2c ∈-2()333(1)(1)f d d d d '=-=-+∴()f d 在区间(),1-∞-上单调递增,在区间()1,1-单调递减,在区间()1,+∞单调递增。

()(1)2f d f ==-极小值 ()(1)2f d f =-=极大值描绘出函数的草图,并据草图可得:方程()=c f d 根的情况如下表所示:(2)下面考虑方程()f x d =即33x x d -=根的情况:据上述表格及图形()f x d =和()=c f d 的根的情况如下表c 的范围()f d c =根d 的范围 ()=d f x 根的个数C 的取值范围根的个数 根或根的范围2c =-2个根 2d =-或1d =22c -<< 3个根 1d 、2d 、3d2c =2个根1d =-或2d =综上所述:当=2c 时,函数()y h x =有5 个零点; 当2c <时,函数()y h x =有9 个零点。

【例3】解:(1) '2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--,因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即 239(6)0x x m -+-≥恒成立,所以 8112(6)0m ∆=--≤, 得34m ≤-,即m 的最大值为34- (2) 因为 当1x <时, '()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >; 所以 当1x =时,()f x 取极大值 5(1)2f a =-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52a >. 【例4】 方法一:当0n =,可得()()xxh x e mx e m ''=-=-,因为1x >-,所以1xe e>, ①当1m e≤时,()0xh x e m '=->,函数()h x 在(1,)-+∞上单调递增,而(0)1h =, 所以只需1(1)0h m e -=+≥,解得1m e ≥-,从而11m e e-≤≤.②当1m e>时,由()0xh x e m '=-=,解得ln (1,)x m =∈-+∞, 当(1,ln )x m ∈-时,()0h x '<,()h x 单调递减;当(ln ,)x m ∈+∞时,()0h x '>,()h x 单调递增.所以函数()h x 在(1,)-+∞上有最小值为(ln )ln h m m m m =-, 令ln 0m m m ->,解得m e <,所以1m e e<<. 综上所述,1[,)m e e∈-. 方法二:当0n =,xe mx =①当0x =时,显然不成立;②当1x >-且0x ≠时,x e m x =,令xe y x=,则()221xx x e x e x e y x x --'==,当10x -<<时,0y '<,函数x e y x =单调递减,01x <<时,0y '<,函数xe y x =单调递减,当1x >时,0y '>,函数x e y x =单调递增,又11x e y =-=-,1x y e ==,由题意知1[,)m e e∈-.【例5】a x g x-='e )(≥0在),1(+∞-上恒成立,则a ≤e x ,故:a ≤1e.)0(11)(>-=-='x xax a x x f . (ⅰ)若0<a ≤1e ,令)(x f '>0得增区间为(0,1a );令)(x f '<0得减区间为(1a,﹢∞).当x →0时,f (x )→﹣∞;当x →﹢∞时,f (x )→﹣∞; 当x =1a 时,f (1a )=﹣ln a -1≥0,当且仅当a =1e时取等号.故:当a =1e 时,f (x )有1个零点;当0<a <1e时,f (x )有2个零点.(ⅱ)若a =0,则f (x )=﹣ln x ,易得f (x )有1个零点. (ⅲ)若a <0,则01)(>-='a xx f 在)0(∞+,上恒成立, 即:ax x x f -=ln )(在)0(∞+,上是单调增函数, 当x →0时,f (x )→﹣∞;当x →﹢∞时,f (x )→﹢∞. 此时,f (x )有1个零点.综上所述:当a =1e 或a <0时,f (x )有1个零点;当0<a <1e 时,f (x )有2个零点.练习1、【答案】(1)()f x 有极小值0,没有极大值 【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞,(1)当e a =时,()e eln e xf x x =--,e ()e xf x x'=-, 而e()e xf x x'=-在(0,)+∞上单调递增,又(1)0f '=, 当01x <<时,()(1)0f x f ''<=,则()f x 在(0,1)上单调递减;当1x >时,()(1)0f x f ''>=,则()f x 在(1,)+∞上单调递增,所以()f x 有极小值(1)0f =,没有极大值.2、【解析】由f ′(x )=mx -m -2+1x,得f ′(1)=-1,所以曲线y =f (x )在点P (1,1)处的切线l 的方程为y =-x +2. 由题意得,关于x 的方程f (x )=-x +2有且只有一个解, 即关于x 的方程12m (x -1)2-x +1+ln x =0有且只有一个解.令g (x )=12m (x -1)2-x +1+ln x (x >0).则g ′(x )=m (x -1)-1+1x =mx 2-(m +1)x +1x =(x -1)(mx -1)x(x >0).①当0<m <1时,由g ′(x )>0得0<x <1或x >1m ,由g ′(x )<0得1<x <1m, 所以函数g (x )在(0,1)为增函数,在(1,1m )上为减函数,在(1m,+∞)上为增函数.又g (1)=0,且当x →∞时,g (x )→∞,此时曲线y =g (x )与x 轴有两个交点. 故0<m <1不合题意.②当m =1时,g ′(x )≥0,g (x )在(0,+∞)上为增函数,且g (1)=0,故m =1符合题意.③当m >1时,由g ′(x )>0得0<x <1m 或x >1,由g ′(x )<0得1m<x <1, 所以函数g (x )在(0,1m ) 为增函数,在(1m,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.又g (1)=0,且当x →0时,g (x )→-∞,此时曲线y =g (x )与x 轴有两个交点. 故m >1不合题意.综上,实数m 的值为m =1.3、【答案】解: 当1a =时,()11x f x x e =-+令()()()()111xg x f x kx k x e =--=-+, 则直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,等价于方程()0g x =在R 上没有实数解.假设1k >,此时()010g =>,1111101k g k e -⎛⎫=-+< ⎪-⎝⎭, 又函数()g x 的图象连续不断,由零点存在定理,可知()0g x =在R 上至少有一解,与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾,故1k ≤.又1k =时,()10xg x e =>,知方程()0g x =在R 上没有实数解. 所以k 的最大值为1.解法二:(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.(Ⅲ)当1a =时,()11x f x x e=-+. 直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,等价于关于x 的方程111xkx x e -=-+在R 上没有实数解,即关于x 的方程: ()11x k x e -=(*) 在R 上没有实数解.①当1k =时,方程(*)可化为10xe =,在R 上没有实数解. ②当1k ≠时,方程(*)化为11x xe k =-. 令()x g x xe =,则有()()1xg x x e '=+. 令()0g x '=,得1x =-,当x 变化时,()g x '的变化情况如下表:当1x =-时,()min g x e=-,同时当x 趋于+∞时,()g x 趋于+∞, 从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时,方程(*)无实数解, 解得k 的取值范围是()1,1e -.综上,得k 的最大值为1.5、【答案】(1)(),-∞+∞;(2)见解析;【解析】(1)依题()()()()()222'1'1'10x x x f x x e x e x e =+++=+≥, ∴ ()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数;(2)∵ 1a >,∴ ()010f a =-<且()()22110a f a a e a a a =+->+->,∴ ()f x 在()0,a 上有零点,又由(1)知()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数, ()f x 在(),-∞+∞上仅有一个零点;【考点定位】导数与函数单调性、零点、不等式,导数的几何意义等知识.【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性、零点、不等式恒成立,导数的几何意义等基础知识,属于中高档题,解答此题关键在于第(1)问要准确求出()f x 的导数,第(2)问首先要说明()0,a 内有零点再结合函数在(),-∞+∞单调性就易证其结论,第(3)问由导数的几何意义易得()221m m e a e+=-对比要证明的结论后要能认清1m e m ≥+的放缩作用并利用导数证明1m e m ≥+成立,则易证1m ≤-.。

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