【题型一】函数的零点个数 【解题技巧 】用导数来判断函数的零点个数 ,常通过研究函数的单调性、极值后, 描绘出函数的图象, 再借助图象加以 判断。
【例 1】已知函数 f ( x) x3 3ax 1,a 0
求 f ( x) 的单调区间; 若 f (x) 在 x 1 处取得极值,直线 y=m 与 y f (x) 的图象有三个不同的交点,求 m
的取值范围。 变 式 : 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 满 足 , 且 在 区 间 [0,2] 上 是 增 函 数 , 若 方 程
f ( x) m (m 0) 在区间 [ 8 , 8]上有四个不同的根,则
【答案 】 -8 【解析】 因为定义在 R 上的奇函数,满足,所以,所以 , 由为奇函数,所以函数图象关于直
线对称且,由知,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为在区间 [0,2] 上 是增函数,所 以在区间 [-2,0] 上也是增函数.如图所示,那么方程 f(x)=m(m>0) 在区间上有四个不同
的根,不妨设 ,由对称性知 ,. 所以 .
y f(x)=m -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 x
【题型二】 复合函数 的零点个数 复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的, 在处理其零点个数问题时, 应分清内层
和外层函数与零点的关系。 【解题技巧】函数 h( x) f ( f ( x)) c
的零点个数的 判断方法可借助换元法解方程的思想
分两步进行。即 令 f (x) d ,则 h(x) f (d ) c 第一步:先 判断 f (d ) c
的零点个数情况
第二步:再 判断 f ( x) d 的零点个数情况 【例 2】已知函数 f (x) x3 3x 设 h(x) f ( f ( x)) c ,其中 c [ 2 ,2] ,求函数 y h(x) 的
零点个数
1 .( 江 苏 省 连 云 港 市 2013 届 高 三 上 学 期 摸 底 考 试 ( 数 学 ) 已 知 函 数 f ( x) x3 3ax 2 9a2 x(a 0) . 若方程 f ' ( x) 121nx 6ax 9a2 a 在 [l,2] 恰好有两
个相异的实根 , 求实数 a 的取值范围 ( 注:1n2 ≈:
【题型三】 如何运用导数求证函数“存在、有且只有一个”零点 【解题技巧】( 1)要求证一个函数 存在零点, 只须要用 “ 函数零点的 存在性定理” 即可证明。
即: 如果函数 f ( x) 在区间 a, b 上是一条连续不断曲线,并且 f ( a) f (b) 0
,则函数
f (x) 在区间 a, b 上至少有一个零点。 即存在一点
x
0 a, b
,使得 f (x0 ) 0
,
这个 x0 也就是方程 f (x) 0 的根 .
( 2)要求证一个函数“ 有且只有一个”零点,先要证明函数为单调函数,即存在零点;再 用 “ 函数零点的 存在性定理”求证函数零点的唯一性。其依据为: 如果函数 f ( x) 在区间 a, b 上是单调函数,并且 f (a) f (b) 0 ,则函数 f ( x) 在区间
a, b 上至多有一个零点。
【例 3】设函数 f ( x) x3 9 x2 6x a .
2
( 1)对于任意实数 x , f (x) m 恒成立,求 m 的最大值;
( 2)若方程 f ( x) 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. 变式:设函数 f ( x) ln x ,g( x)
a ,F ( x) f (x) g ( x) 。若方程 f ( x) mx
x
在区间 [1 , e2 ] 上有唯一实数解,求实数 m
的取值范围;
解析:方程 f ( x) mx 在区间 [1 , e2 ]
上有唯一实数解等价于
方程 m ln x
在区间 [1 , e2 ]
上有唯一实数解。
x
记 h(x) ln x [1 , e2 ] ,则 h ( x) 1 ln x , 令 h ( x) 0 ,得: x e
, x
x x2
当 x [1 , e] 时, h ( x) 0 , h(x) 递增;
当 x [e , e2 ] 时, h (x) 0 , h(x) 递减。所以 h(x)max h(e) 1
。
e
易求得: h(1) 0 , h(e2 ) 2
。
e2
为使方程 m ln x
在区间 [1 , e2 ] 上有唯一实数解, x
则直线 y m与函数 y h( x)
ln x
的图象有唯一交点, x
根据 h(x) 的图象可知:
m 1 0 m 2 。 或
e2 e
2 1 故 m的取值范围是 0 , e2 U e 。
【例 4】已知函数 f x ex mx在上没有零点,求的取值范围; 【题型四】 如何运用导数来判断与求证含参函数的零点 【例 5】(2013·江苏卷)设函数, ,其中为实数.若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.
基础练习: 1.己知 f ( x) ex aln x
a ,其中常数 a 0
.
( 1)当 a e 时,求函数 f ( x) 的极值;
2.已知函数 1 f ( x)= 2m(x- 1) 2- 2x+ 3+ ln x , m∈ R.当
m> 0 时,若曲线 y= f ( x)在
点 P( 1,1)处的切线 l 与曲线 y= f (x)有且只有一个公共点,求实数 m
的值.
3 .已知函数 1 f ( x) x 1 ex ( a R , e 为自然对数的底数 ). 若直线 l : y kx 1与曲线
y f ( x) 没有公共点 , 求 k 的最大值 . 1 3 1- a 2
4.已知函数 f ( x) =3x + 2 x - ax- a, x∈R,其中 a>0.若函数 f ( x)在区间( -2,0 )内恰
有两个零点 , 求 a 的取值范围;
5.设 a 1 ,函数
f ( x) (1 x2 )e
x
a .
(1) 求 f ( x) 的单调区间 ;
(2) 证明: f (x) 在 , 上仅有一个零点;
参考答案与解析 【例 1】解析:( 1) f ' (x) 3x2 3a 3( x2 a),
当 a 0 时,对 x R ,有 f ' (x) 0,
当 a 0
时, f (x) 的单调增区间为 ( , )
当 a 0
时,由 f
' ( x) 0 解得 x a 或 x a
;
由 f ' (x) 0 解得a xa
,
当 a 0 时 , f (x) 的 单 调 增 区 间 为 ( , a ),( a, ) ; f ( x)
的 单 调 减 区 间 为
( a, a ) 。
( 2)因为 f ( x) 在
x 1
处取得极大值,
所以 f ' ( 1) 3 ( 1)
2
3a 0, a 1.
所以 f ( x) x3 3x 1, f ' ( x) 3x2
3,
由 f ' (x) 0 解得 x
1 1, x
2 1
。
由( 1)中 f ( x) 的单调性可知, f (x) 在 x 1 处取得极大值 f ( 1) 1,
在 x 1 处取得极小值 f (1) 3 。
因 为 直 线 y m 与 函 数 y f ( x) 的 图 象 有三 个 不 同 的交 点 , 又 f ( 3) 19 3
,