第十章曲线积分与曲面积分一、教学目标及基本要求：1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2、会计算两类曲线积分3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。

4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并会计算两类曲面积分。

5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。

6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等）。

二、教学内容及学时分配：第一节对弧长的曲线积分2学时第二节对坐标的曲线积分2学时第三节格林公式及其应用4学时第四节对面积的曲面积分2学时第五节对坐标的曲面积分2学时第六节高斯公式通量与散度2学时第七节斯托克斯公式环流量与旋度2学时三、教学内容的重点及难点：1、二类曲线积分的概念及其计算方法2、二类曲面积分的概念及其计算方法3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。

5、两类曲线积分的关系和区别6、两类曲面积分的关系和区别7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用五、思考题与习题第一节习题10—1 131页：3（单数）、4、5第二节习题10-2 141页：3（单数）、4、5、7（单数）第三节习题10-3 153页：1、2、3、4（单数）、5（单数）6（单数）、7第四节习题10-4 158页：4、5、6（单数）、7、8第五节习题10-5 167页：3（单数）、4第六节习题10-6 174页：1（单数）、2（单数）、3（单数）第七节习题10-7 183页：1（单数）、2、3、4第一节对弧长的曲线积分一、内容要点由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。

1、引例：求曲线形构件的质量最后举例巩固计算方法的掌握。

2、s z y x f d ),,(⎰Γ为第一类曲线积分，其中为曲线，被积函数),,(z y x f 中的点),,(z y x 位于曲线上，即),,(z y x 必须满足对应的方程，222dz dy dx ds ++=是弧微分、弧长元素。

若是封闭曲线，则第一类曲线积分记为s z y x f d ),,(⎰Γ3、第一类曲线积分的应用： 1）、曲线的长s=s d ⎰Γ2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(z y x f ，Γ∈),,(z y x ，则其质量M ds z y x f ),,(⎰Γ=;质心坐标为),,(z y x ，其中Mds z y x zf z Mds z y x yf y Mdsz y x xf x ),,(,),,(,),,(⎰⎰⎰ΓΓΓ===;对x 轴的转动惯量ds z y x f z y Ix ),,()(22+=⎰Γ4、第一类曲线积分的计算方法：若空间曲线参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，βα≤≤t ，则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=，s z y x f d ),,(⎰Γ=⎰βα))(),(),((t z t y t x f t t z t y t x d )]('[)]('[)]('[222++。

例1 计算⎰Γds z y x )(222++，其中：t x cos =，t y sin =，t z =，π20≤≤t解 因为222z y x ++=222sin cos t t t ++=21t +，dt dt t t ds 21)(cos )sin (22=++-=, 所以⎰Γds z y x )(222++)382(22)1(3220πππ+=+=⎰dt t例2⎰Γds y ||，其中为球面2222=++z y x与平面y x =的交线；解 的参数方程为t z t y x sin 2,cos ===，π20≤≤t ，dt dt z y x ds 2'''222=++=，根据对称性得到⎰Lds y ||=24d cos 2420=⎰t t π例3 计算⎰Γds z y x )(222++，其中⎪⎩⎪⎨⎧==+1222z a y x )0(>a 解 :⎪⎩⎪⎨⎧===1sin cos z t a y ta x ,π20≤≤t ,dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=adt dt t t a =+=)cos (sin 222⎰Γds z y x )(222++)1(2)1(2220+=+=⎰a a adt a ππ或解：被积函数222z y x ++中的点),,(z y x 位于曲线上，即),,(z y x 必须满足对应的方程 ，所以12222+=++a z y x ，⎰Γds z y x )(222++=⎰Γds a )1(2+=⎰+=+Γ)1(2)1(22aa ds a π二、教学要求和注意点1、理解对弧长的曲线积分的概念，了解对弧长的曲线积分的性质2、掌握计算对弧长的曲线积分的方法3、对弧长的曲线积分与曲线方向无关，化弧长的曲线积分为定积分时，定积分的上限不能比下限小。

第二节 对坐标的曲线积分一、内容要点引例：变力沿曲线所作的功由例子引入对坐标的曲线积分的定义，给出性质然后介绍将对坐标的曲线积分化为定积分的计算方法，并强调指出两类曲线积分化为定积分的计算方法，最后举例巩固计算方法的掌握。

一、⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(为第二类曲线积分，其中是一条定向曲线，)),,(),,,(),,,((z y x R z y x Q z y x P F =为向量值函数，=r d ),,(dz dy dx 为定向弧长元素（有向曲线元）若曲线的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，则切向量))('),('),('(t z t y t x =τ ，单位切向量)cos ,cos ,(cos γβατ=e弧长元素=dt t z t y t x 222)(')(')('++定向弧长元素=r d),,(dz dy dx =))(',)(',)('(dt t z dt t y dt t x dt t z t y t x ))('),('),('(= ds t z t y t x t z t z t y t x t y t z t y t x t x ))(')(')(')(,)(')(')(')(',)(')(')(')('(222222222++'++++==ds e ds τγβα=)cos ,cos ,(cos⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(=∙⎰ΓF =∙⎰ΓF ds e τ=ds z y x R z y x Q z y x P ⎰Γ++]cos ),,(cos ),,(cos ),,([γβα=ds t z t y t x t z z y x R t y z y x Q t x z y x P ⎰Γ++'+'+'222)(')(')(')(),,()(),,()(),,(上面的等式表明第二类曲线积分可以化为为第一类曲线积分。

例 1 把第二类曲线积分⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(化成第一类曲线积分，其中为从点)0,0,0(到点)1,22,22(的直线段。

解 方向向量)1,22,22(，其方向余弦22cos ,21cos ,21cos ===γβα， 原式=ds z y x R z y x Q z y x P ⎰Γ++]cos ),,(cos ),,(cos ),,([γβα=ds z y x R z y x Q z y x P ⎰Γ++2),,(2),,(),,(例2.把第二类曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(化成第一类曲线积分，其中为从点)0,0(沿上半圆周x y x 222=+到点解 的参数方程为10:22→⎪⎩⎪⎨⎧-==x xx y xx ，切向量)','(y x =τ)21,1(2xx x --=其方向余弦22cos x x -=α，x -=1cos β，⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(=ds y x Q y x P L ⎰+]cos ),(cos ),([βα=ds y x Q x y x P x x L ⎰-+-)],()1(),(2[2。

二、第二类曲线积分的应用：若一质点从点A 沿光滑曲线（或分断光滑曲线）移动到点B ，在移动过程中，这质点受到力k z y x R j z y x Q i z y x P F),,(),,(),,(++=，则该力所作的功W=∙⎰ΓF=⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(三、第二类曲线积分的计算方法：1、若空间定向曲线的参数方程b a t t z z t y y t x x →⎪⎩⎪⎨⎧===:)()()(，则⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(=⎰++ba dt t z t z t y t x R t y t z t y t x Q t x t z t y t x P )]('))(),(),(()('))(),(),(()('))(),(),(([2、若平面定向曲线的参数方程：b a t t y y t x x →⎩⎨⎧==:)()(，则⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+badt t y t y t x Q t x t y t x P )]('))(),(()('))(),(([例 1 计算⎰Γ-+ydz zdy dx x 2，其中为曲线θθθsin ,cos ,a z a y k x ===上从0=θ到πθ=的一段弧。

解 ⎰Γ-+ydz zdy dx x 2=θθθθπd a a k ]cos sin [0222223⎰--=ππ2333a k -。

例2计算曲线积分⎰-+-+-cz y x y z x x y z d )(d )(d )(，其中是曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+2122z y x y x 从轴正向看去，取顺时针方向 分析 先写出曲线的参数方程，可令θcos =x ，θsin =y ，则θθsin cos 2+-=z ，为参数，由题设，的起点、终点对应的参数值分别为和0；在代入计算公式。