L
y
3
o
2x
提示: 利用对称性
L 2 xy ds 0
x2 y2 原式 = 12 ( )ds 12 ds 12a L 4 L 3
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第二节
第十章
对坐标的曲线积分
1、对坐标的曲线积分的概念
与性质
2、 对坐标的曲线积分的计算法 3、两类曲线积分之间的联系
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对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!
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2. 计算
x (t ) , t : • 对有向光滑弧 L : y (t )



P [ (t ), (t )] (t ) Q [ (t ), (t )] (t )d t
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理2. 设D 是单连通域 , 函数 在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有
L Pd x Qd y 0 .
L
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pd x Qd y
与路径无关, 只与起止点有关.
如果方程为极坐标形式: L : r r ( ) ( ), 则
f (r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
推广: 设空间曲线弧的参数方程为

则

: x (t ), y (t ) , z (t ) ( t ) f ( x, y , z ) d s

f ( (t ) , (t ), (t ) ) 2 (t ) 2 (t ) 2 (t ) d t
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对称性的应用：
1.如果曲线关于x轴对称，函数f(x,y)关于y为奇偶函 数，则
0, 当f ( x, y)关于y为奇函数； L f ( x, y)ds 2 f ( x, y)ds,当f ( x, y)关于y为偶函数 L1
4 xd S 4 x d S

xd S x d S
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第五节
第十章
对坐标的曲面积分
一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质
L
7.(11)设L是柱面x2 +y 2 =1与平面z=x+y的交线，从z轴 y2 正向看去为逆时针方向，则 xzdx xdy dz L 2
8.(12)已知L是第一象限中从点（0,0）沿x2 +y2 =2 x到点(2,0), 再沿x +y =4到点(0,2)的曲线段，计算J= 3x ydx ( x x 2 y)dy
b

• 对光滑曲线弧
• 对光滑曲线弧
L f ( x, y)ds
f (r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
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如果曲线 L 的方程为
b
则有
f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x a
L D
域) 域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数
Q P x y d xd y Pd x Qd y ( 格林公式 ) D L
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3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
取定点 ( x0 , y0 ) D 及动点 ( x , y ) D , 则原函数为
u ( x, y )
( x, y ) ( x0 , y0 ) x x0 y
P( x, y )d x Q( x, y )d y
2 2 2 3 L
9. 97）求 ( z y)dx （ （x-z)dy ( x y )dz
L
x2 +y 2 =1 其中L : ,从z轴正向看L的方向顺时针. x y z 2
第四节
第十章
对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法
2 L
2.(03）已知D:0 x ,0 y ，L为D的正向边界， 试证:(1) xe dy ye
sin x L sin x
dx xe
L 2
sin x
dy ye dx
sin x
(2) xe dy ye
sin x L
sin x
dx 2
若 关于另外两个坐标面有对称性，也有类似结论
例3. 计算
其中 是球面 x 2 y 2
z 2 2( x y z ).
解: 显然球心为 (1,1,1) , 半径为 3 利用对称性可知
2 4 2 2 2 I ( x y z ) d S ( x y z ) d S 3 3 xd S yd S zd S 利用重心公式
第十章
曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分 曲线积分 曲面积分
积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域
曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分
曲面域
对坐标的曲线积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
第一节
第十章
对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
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1. 定义
lim P( k , k ) xk Q( k , k ) yk
0 k 1
n
性质
(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧

(2) L－ 表示 L 的反向弧
k
i 1
L i P( x, y)d x Q( x, y)d y
L
P( x, y )d x Q( x, y )d y
1
(3)
ds l
( l 曲线弧 的长度)
( 由1, 2 组成)
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2
3. 计算
• 对光滑曲线弧
L L
f ( x, y ) ds f [ (t ), (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t f ( x, y ) ds f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x a
其中L1是曲线L在x轴右侧的那一部分；关于y轴对 称也有类似结论。
2.设f(x,y)在曲线连续，曲线L关于原点对称，函数 f(x,y)关于（x,y）为奇偶函数，则
0,当f ( x, y)关于( x, y)为奇函数； L f ( x, y)ds 2 f ( x, y)ds,当f ( x, y)关于( x, y)为偶函数 L1 其中L1是曲线L在右半平面或上半平面的那一部分。
d
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例2. 计算
x2 y2 其中为球面
z 2 9 与平面 x z 1的交线 . 2 1 ( x 1 ) 2 1 y 2 1 解: : 2 2 4 , 化为参数方程 x z 1 x 2 cos 1 2 0 2 : y 2 sin z 1 2 cos 2
则

ds

( 2 sin )
2
( 2 sin ) d 2d
2
9 2 I 2 d 18 2 0
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思考与练习
x2 y2 1周长为a , 求 已知椭圆 L : 4 3 (2 xy 3x 2 4 y 2 ) ds 2
1
2 zx

2 zy
d xd y
(曲面的其他两种情况类似)
• 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式 简化计算的技巧.
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对称性的应用
设 关于yoz对称，则


0, 当f ( x, y, z )关于x是奇函数 f ( x, y, z )dS f ( x, y, z )dS，当f ( x, y, z )关于x是偶函数 1
例1. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2 ) 2 a2 (x2 y2 ) ( a 0 )
解: 在极坐标系下
它在第一象限部分为
y
(0

4 r cos
L1 : r a cos 2
利用对称性 , 得
4
)
o
x
4 4

0 4 a 2 cos
0
r 2 ( ) r 2 ( ) d
L P( x, y) d x Q( x, y) d y
P( x, y ) cos Q( x, y ) cos ds
L
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第三节
第十章
格林公式及其应用
一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
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一、 格林公式
单连通区域 ( 无“洞”区 区域 D 分类 域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区
(3)
即
在 D 内是某一函数
的全微分,
d u( x, y) P d x Q d y P Q . (4) 在 D 内每一点都有 y x