利用导数研究函数的单调性问题浙江省湖州中学 李连方一．学情分析本人任教的两个班级均侧文，数学基础较薄弱．学生已基本掌握利用导数对常系数的单调区间求解，但是对含参数单调性问题常常一筹莫展，找不到分类的标准或者分类不合理、不完整．二．教学目标用导数讨论函数的单调性，是运用导数解决函数的极值、函数的最值的基础，所以本节复习课首先要让学生理解函数单调性和导数的关系，会用导数讨论含参函数的单调性，让学生理解含参函数单调性问题实质是解不等式问题，而解不等式问题实质是根的问题．其次，逐步使学生意识到要合理准确地分类讨论问题，体会到分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要地对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，然后综合各类结果得到整个问题的解答，其实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”．在分类讨论时，时刻注意：一要分类对象确定，标准统一；二要不重复，不遗漏；三要分层次，不越级讨论．三．教学重点和难点本节课的教学重点是能使学生明确产生分类讨论的标准，能合理、准确和完整地进行分类讨论．本节课的教学难点是分类标准难以把握，本节课试图从方程的根的角度来突破难点．四．教学设计【例1】（《创计新设》第42页）已知函数2()ax f x x e -=⋅，a R ∈．（Ⅰ）当=1a 时，求函数()y f x =的图象在点()()1,1f --处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数()y f x =的单调性．分析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）由题意得()2()2ax f x x ax e -'=-⋅， 其中22=0x ax -根为0x =或2x a=()0a ≠． ①当=0a 时，若0x <，则()0f x '<；若0x >，则()0f x '>． 所以当=0a 时，函数f (x )在区间()0-∞，上为减函数，在区间()0+∞，上为增函数．②当0a >时，当0x <或2x a >时，()f x '；当20x a<<时，()f x '． 所以函数()y f x =在区间()0-∞，与2+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上为减函数，在20a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数． 【设计意图】1．让学会认识到函数的单调性、函数的单调区间和极值等问题，最终归结到判断()f x '的符号问题上，而()0f x '>或()0f x '<，最终可转化为解不等式问题．若含参数，则含参数的不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题；2．让学生体会解不等式实质在解不等式对应的方程的根．【例2】（2008年浙江省高考试题改编）已知a 是实数，函数())f x x a =-．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；分析：函数的定义域为[0)+∞，，()f x '==，其中方程3=0x a -根为3a x =． ①若03a ≤即0a ≤，则()0f x '>，()f x 有单调递增区间[)0+∞，； ②若03a >即0a >，则当03a x <<时，()0f x '<，当3a x >时，()0f x '>． ()f x 有单调递减区间03a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，单调递增区间3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． 【设计意图】1．让学生意识到函数()f x 的单调性、最值、极值等函数性质问题时，必须优先考虑函数的定义域，并在解题时时刻注意其定义域；2．让学生体会到讨论单调性的基本步骤：一看定义域；二算方程有无根（在实数范围）；三思在所给函数定义域内有无根．【变形】已知a是实数，函数())f x x a =-，[]0,2x ∈．讨论求函数()f x 的单调区间．【设计意图】让学生板演和自主练习，能更好地使学生巩固如何把握分类讨论标准，让学生进一步领会分类讨论的思想．【例2】（Ⅱ）设()g a 为()f x 在区间[]0,2上的最小值．求()g a 的表达式．（Ⅱ）分析：函数的定义域为[]0,2()f x '==，其中方程3=0x a -根为3a x =． ①若03a ≤即0a ≤，()f x 在[02]，上单调递增，所以()(0)0g a f ==． ②若23a ≥即6a ≥，()f x 在[02]，上单调递减，所以()(2))g a f a ==-． ③若023a <<即06a <<，()f x 在03a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在23a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递增，所以()3a g a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭综上所述，00()06)6a g a a a a ⎧⎪⎪=<<⎨-，≤，，，≥． 【设计意图】由于浙江省高考中导数在函数中的应用最常出现的问题是最值问题，让学生体会到，单调性的讨论是求解最值问题的关键．【例3】（《创计新设》第42页）设函数1()ln 1x f x a x x -=++，其中a 为常数． （Ⅰ）若=0a ，求函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性．分析（Ⅰ）略；（Ⅱ）函数()f x 的定义域为()0+∞，， ()()()222222()=11ax a x a a f x x x x x +++'=+++，其中()()222g x ax a x a =+++， 对应方程()=421a ∆+，①显然当=0a 时，故()0f x '>，此时()f x 有单调递增区间()0+∞，；②若()=4210a ∆+≤即12a ≤-时，()0g x ≤恒成立，故()0f x '≤，此时()f x 有单调递减区间()0+∞，；③若()=4210a ∆+>即12a >-且0a ≠时，设()11=a x a -+-，()21=a x a-++． (i)当102a -<<时，由韦达定理121222210x x a x x ⎧+=-->⎪⎨⎪=>⎩知，210x x <<， 故当20x x <<或1x x >时，有()0f x '<；当21x x x <<时，有()0f x '>．故()f x 有单调递减区间(]20,x 和[)1x +∞，，单调递增区间[]21,x x ．(ii)当0a >时，注意当函数()f x 的定义域为()0+∞，，显然()0f x '>，故函数()f x 有单调递增区间()0+∞，．综上可得：当0a ≥时，函数()f x 在()0+∞，上单调递增； 当12a ≤-时，函数()f x 在()0+∞，上单调递减； 当102a -<<时，故()f x 有单调递减区间(]20,x 和[)1x +∞，，单调递增区间[]21,x x ． 【设计意图】1．让一部分优秀学生能掌握较为复杂一元二次不等式解集的分类，学会层层分类，做到不重复，不遗漏．其中解一元二次不等式分类标准一：首先判断二次项系数是否为零，目的是讨论不等式是否为二次不等式；分类标准二：二次项系数的正负，目的是讨论二次函数图象的开口方向；分类标准三：判别式的正负，目的是讨论二次方程是否有解；分类标准四：两根差的正负，目的是比较根的大小；2．强化一元二次方程根的问题常常采用数形结合和韦达定理，渗透利用图像解不等式的方法．3． 让学生反思答案中为什么会出现当“0a ≥时，函数()f x 在()0+∞，上单调递增”．事实上利用复合函数可以得到当0a ≥，12()ln =ln 111x f x a x a x x x -=+-+++一定单调递增，所以在解题仅仅需要考虑0a <，从而简化计算．进一步可以引导学生判断单调性不要局限于导数，不盲目地使用导数，在解题时时要善于分析问题，从整体上、宏观上把握问题．【备用】已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,a b R ∈)．若函数f(x)在区间[]1,1-上不单调，．．．．求a 的取值范围． 分析：由题意得2()32(1)(2)f x x a x a a '=+--+，因为函数()f x 在区间(1,1)-上不．单调．．，．所以方程()0f x '=在(1,1)-上有实数解，且无重根． (1)(1)0f f ''∴-<g 或11130(1)0(1)0a f f -⎧-<<⎪⎪⎪∆>⎨⎪'->⎪'>⎪⎩，解得11(5,)(,1)22---U 另解：由题意得2()32(1)(2)f x x a x a a '=+--+，因为函数()f x 在区间(1,1)-上不单调，．．．．所以方程()0f x '=在(1,1)-上有实数解，且无重根，又由()0f x '=得1x a =，223a x +=-． 211113a a +∴-<<-<-<或，解得51a -<<． 若23a a +=-，得12a =-，此时解得1(1,1)2x =-∈- 12a ∴≠-，因此所求a 的取值范围是11(5,)(,1)22---U ． 【设计意图】进一步强化把握分类分类标准的核心是：根．五、作业【课后反思1】重视多题一解。

许多时候，我们要求学生能够举一反三，其实对许多学生来说真的有点难。

这是因为他们看到的“一”只是一道题，不是一类题，只有当他们了解到这类问题的共性，才能理解这种方法适用的条件和原因，并进行进一步的应用。

所以我们的课堂中需要归类，让学生多了解这类问题的共性与本质，所谓触类旁通吧，那么举一反三就有可能实现。

【课后反思2】反复讲。

逐步消除学生的畏惧心理。

【课后反思3】例题的变式。

学情的变化。

【课后反思4】如何选择复习主题。

如何顺应和适应。