高中数学必修一《幂函数》精选习题（含详细解析）
一、选择题
1.下列函数中,是幂函数的是( )
A.y=2x
B.y=2x3
C.y=
D.y=2x2
2.若幂函数y=(m2-3m+3)x m-2的图象不过原点,则m的取值范围为( )
A.1≤m≤2
B.m=1或m=2
C.m=2
D.m=1
3.函数y=x-2在区间上的最大值是( )
A. B. C.4 D.-4
4若本题的条件不变,则此函数在区间上的最大值和最小值之和为多少?
5.在下列函数中,定义域为R的是( )
A.y=
B.y=
C.y=2x
D.y=x-1
6函数y=|x(n∈N,n>9)的图象可能是( )
7下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是( )
A.y=
B.y=x2
C.y=x3
D.y=
8下列幂函数中过点(0,0),(1,1)且为偶函数的是( )
A.y=
B.y=x4
C.y=x-2
D.y=
9.在同一坐标系内,函数y=x a(a≠0)和y=ax-的图象可能是( )
二、填空题
10幂函数f(x)=xα过点,则f(x)的定义域是.
11若y=a是幂函数,则该函数的值域是.
12若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值等于.
13.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是.
14已知幂函数f=(m∈Z)的图象与x轴,y轴都无交点,且关于原点对称,则函数f的解析式是.
三、解答题
15.比较下列各组数的大小:
(1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2;
(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.
16.已知幂函数y=x3-p(p∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上为增函数,求满足条件(a+1<(3-2a的实数a的取值范围.
17幂函数f的图象经过点(,2),点在幂函数g的图象上,
(1)求f,g的解析式.
(2)x为何值时f>g,x为何值时f<g?
18已知幂函数f(x)=(m2-m-1)·x-5m-3在(0,+∞)上是增函数,又g(x)=lo(a>1).
(1)求函数g(x)的解析式.
(2)当x∈(t,a)时,g(x)的值域为(1,+∞),试求a与t的值.
参考答案与解析
1【解析】选C.由幂函数所具有的特征可知,选项A,B,D中x的系数不是1;故只有选项C中y==x-1符合幂函数的特征.
2【解析】选D.由题意得解得m=1.
3【解析】选C.y=x-2在区间上单调递减,
所以x=时,取得最大值为4.
4【解析】y=x-2在区间上单调递减,所以x=2时,取得最小值为,当x=时,取得最大值为4.故最大值和最小值的和为.
5【解析】选C.选项A中函数的定义域为[0,+∞),选项B,D中函数的定义域均为(-∞,0)∪(0,+∞).
6【解析】选C.因为y=|x为偶函数,所以排除选项A,B.又n>9,所以<1.由幂函数在(0,+∞)内幂指数小于1的图象可知,只有选项C符合题意.
7【解析】选B.函数y=,y=x3,y=在各自定义域上均是增函数,y=x2在(-∞,0)上是减函数. 8【解析】选B.函数y=x4是过点(0,0),(1,1)的偶函数,故B正确;函数y=x-2不过点(0,0),故C 不正确;函数y=,y=是奇函数,故A,D不正确.
9【解析】选C.当a<0时,函数y=ax-在R上是减函数,此时y=x a在(0,+∞)上也是减函数,同时为减的只有D选项,而函数y=ax-与y轴相交于点,此点在y轴的正半轴上,故D选项不适合.当a>0时,函数y=ax-在R上是增函数,与y轴相交于点,此点在y轴的负半轴上,只有A,C适合,此时函数y=x a在(0,+∞)上是增函数,进一步判断只有C适合.
10【解析】因为幂函数f(x)过点,所以=2α,
所以α=-1,所以f(x)=x-1=,
所以函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
答案:(-∞,0)∪(0,+∞)
11【解析】由已知y=a是幂函数,得a=1,所以y=,所以y≥0,故该函数的值域为[0,+∞).
答案:[0,+∞)
3,
12【解析】依题意设f(x)=xα,则有=3,得α=log
2
则f(x)=,于是f====.
答案:
13【解析】因为y=在x∈(0,+∞)上递增,
所以>,即a>c,因为y=在x∈(-∞,+∞)上递减,所以>,即c>b,所以a>c>b.
答案:a>c>b
14【解析】因为函数的图象与x轴,y轴都无交点,所以m2-1<0,解得-1<m<1;因为图象关于原点对称,且m∈Z,所以m=0,所以f=x-1.
答案:f=x-1
15【解析】(1)由于函数y=x0.1在第一象限内单调递增,
又因为1.1<1.2,所以1.10.1<1.20.1.
(2)由于函数y=x-0.2在第一象限内单调递减,又因为0.24<0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.
(3)首先比较指数相同的两个数的大小,由于函数y=x0.3在第一象限内单调递增,而0.2<0.3,所以0.20.3<0.30.3.
再比较同底数的两个数的大小,由于函数y=0.3x在定义域内单调递减,而0.2<0.3,所以0.30.3<0.30.2.
所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.
16【解析】因为幂函数y=x3-p(p∈N*)的图象关于y轴对称,所以函数y=x3-p是偶函数.
又y=x3-p在(0,+∞)上为增函数,
所以3-p是偶数且3-p>0.
因为p∈N*,所以p=1,
所以不等式(a+1<(3-2a化为:
(a+1<(3-2a.
因为函数y=是[0,+∞)上的增函数,
所以⇒⇒-1≤a<,故实数a的取值范围为.
17【解析】(1)设f=xα,则()α=2,所以α=2,所以f=x2.设g=xβ,
则(-2)β=,所以β=-2,所以g=x-2(x≠0).
(2)从图象可知,当x>1或x<-1时,f>g;
当-1<x<0或0<x<1时,f<g.
18【解析】(1)因为f(x)是幂函数,且在(0,+∞)上是增函数,所以解得m=-1,
所以g(x)=log
a
.
(2)由>0可解得x<-1或x>1,
所以g(x)的定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞).
又a>1,x∈(t,a),可得t≥1,
设x
1,x
2
∈(1,+∞),且x
1
<x
2
,于是x
2
-x
1
>0,x
1
-1>0,x
2
-1>0,
所以-=>0, 所以>.
由a>1,有log
a >log
a
,即g(x)在(1,+∞)上是减函数.又g(x)的值域是(1,+∞),
所以得g(a)=log
a
=1,可化为=a, 解得a=1±,因为a>1,所以a=1+,
综上,a=1+,t=1.。