第9章矩阵位移法习题解答习题9.1是非判断题（1）矩阵位移法既可计算超静定结构，又可以计算静定结构。

（）（2）矩阵位移法基本未知量的数目与位移法基本未知量的数目总是相等的。

（）（3）单元刚度矩阵都具有对称性和奇异性。

（）（4）在矩阵位移法中，整体分析的实质是建立各结点的平衡方程。

（）（5）结构刚度矩阵与单元的编号方式有关。

（）（6）原荷载与对应的等效结点荷载使结构产生相同的内力和变形。

（）【解】（1）正确。

（2）错误。

位移法中某些不独立的杆端位移不计入基本未知量。

（3）错误。

不计结点线位移的连续梁单元的单刚不具奇异性。

（4）正确。

（5）错误。

结点位移分量统一编码会影响结构刚度矩阵，但单元或结点编码则不会。

（6）错误。

二者只产生相同的结点位移。

习题9.2填空题（1）矩阵位移法分析包含三个基本环节，其一是结构的,其二是分析，其三是分析。

（2）已知某单元的定位向量为[3 5 6 7 8 9]七则单元刚度系数炫应叠加到结构刚度矩阵的元素中去。

（3）将非结点荷载转换为等效结点荷载，等效的原则是。

（4）矩阵位移法中，在求解结点位移之前，主要工作是形成矩阵和_________________ 列阵。

（5）用矩阵位移法求得某结构结点2的位移为4=[. V2 ft]T=[0.8 0.3 0.5]T,单元①的始、末端结点码为3、2,单元定位向量为尸＞=[0 0 0 3 4 5]T ,设单元与x轴之间的夹角为a =买，则2 尹＞ =O（6 ）用矩阵位移法求得平面刚架某单元在单元坐标系中的杆端力为F e =[7.5 -48 -70.9 -7.5 48 -121.09]T ,则该单元的轴力心=kN。

【解】（1）离散化，单元，整体；（2）灯8；（3）结点位移相等；（4）结构刚度，综合结点荷载；（5）[0 0 0 0.3 -0.8 0.5]。

（6）-7.5o离、空的值以及K ⑴中元素妍、愚、姒的值。

【解】各刚度系数的物理意义如习题解9.3图所示。

因此，各刚度系数的值为=EA/l ,=6EI/l 2,恐）=-6£7/尸；J -(f)以？的物理意义习题解9.3图习题9.4根据结构刚度矩阵元素的物理意义，直接求出习题9.4图所示刚架结构刚度矩阵中的 元素如、如、心的值。

各杆E 、A, I 相同。

【解】各刚度系数的物理意义如习题解9.4图所示。

因此，各刚度系数的值为7 12EI EA 7 八， 佑］=—^―+ 容，幻1=0, k 32(c)右？的物理意义3EI4F习题9.3图C =12EI/l 3,嫩=0,襟=0。

(d)妃〉的物理意义(e)馅？的物理意义习题9.4图习题9.5用简图表示习题9.5图所示刚架的单元刚度矩阵左⑴中元素史°, K ⑵中元素待)的物理意义。

【解】各刚度系数的物理意义如习题解9.5图所示。

习题解9.5图习题9.6习题9.6图所示刚架各单元杆长为I, EA. 政为常数。

根据单元刚度矩阵元素的物理意义，写出单元刚度矩阵K ⑴、K ⑵的第3列和第5列元素。

习题9.6图【解】各列刚度系数的物理意义如习题解9.6图所示。

因而双中第3列元素:6EI 4EI 6EI 2EI0 — -------------- 0 z ——I 2 I I 2 I砂＞ 中第5列元素:n 12EI 6EI n 12EI 6EIZ 2kn(a)知和心的物理意义 (b"32的物理意义习题解9.4图力1=1习题9.5图2(a)说)的物理意义K ②中第3列元素：0 — 一哮0 —LI 2 I i 1 I_ 「 EA EA ~|T 中第5列元素：0 --- 0 0 — 0习题9.7用先处理法，对习题9.7图所示结构进行单元编号、结点编号和结点位移分量编码, 并写出各单元的定位向量。

习题解9.7图本题可有多种离散化方法，因此上述答案不是唯一的正确答案。

习题9.8用先处理法形成习题9.8图所示结构的综合结点荷载列阵。

【解】离散化结果如习题解9.7图所示。

因而，各单元定位向量为舟=[1 0 0 2 3 4]T , 人⑵二任3 4 5 6 7]T , 1(100) 2。

)=[5 6 7 0 0 9]T 人”)=[5 6 80 0 0]T o 2(2,3.4)1 V3(5,6,7) 5(0,0,9) <X②④I0 ■4(5,6,8) 1|6(0,0,0) 习题解9.6图习题9.7图习题9.8图【解】离散化如习题解9.8图所示。

1(1,0,2)3(6,7,8)心方①2&4,5)②③4息产L④5(0,0,0)习题解9.8图非结点荷载引起的单元固端力为邦2)=[0 -12 -8 0 -12 8]T ,=[0 -9 -4.5 0 -9 4.5]T各单元的等效结点荷载列阵为人⑵-> 34 5 6 7 8=-尸1尺2)=一尺2)=[012 8 012 -/J 6 7 8 0 9 0 理)==_尸拜3)=_拜3)=[09 4.59 -4.5]集成为结构的等效结点荷载列阵化=[0 0 0 12 8 0 21 -3.5 9]「直接结点荷载列阵为f ；=[0 -5 0 4 0 0 0 0 0]T综合结点荷载列阵为P = P i+P E =[o -5 0 16 8 0 21 -3.5习题9.9用先处理法求习题9.9图所示连续梁的结构刚度矩阵和结构的综合结点荷载列阵。

已 知：EZ=2.4xl04kNm 2习题9.9图8kN 8kN5kN-m.2EI 3'6kN/mEI'454m_顷_|【解】离散化如习题解9.9图所示。

本题无需坐标转换。

妲？匚2,2) H 3(3)「言(4)® X _®X ®习题解9.9图先求结构刚度矩阵。

各单元的单刚为1 2 2 3 3 4■ 11/2-1=EI ~2/31/3- 2K& = EI■4/52/5-_1/2 1 2, _1/3 2/3_ 3, _2/5 4/5_集成即可得到结构刚度矩阵_ 1 1/2 0 0 -「2.4 1.2 0.0 0.0 -5/3 1/3 0 4.0 0.8 0.0K = EI=104对22/15 2/5 对 3.52 0.96称4/5 称 1.92 再求综合结点荷载列阵。

非结点荷载作用单元的等效结点荷载列阵为2 3 3 4=[10.67 -10.67]T, P^} =[12.5 -12.5]T集成为结构的等效结点荷载列阵《=[0 10.67 1.83 12.5]T综合结点荷载列阵为尸=当+弓=[5 0 0 0] +《=[5 10.67 1.83 12.5]T习题9.10用先处理法求习题9.10图所示结构刚度矩阵。

忽略杆件的轴向变形。

各杆£/=5xl05kNm2o习题9.10图【解】离散化如习题解9.10图所示。

因为不计各杆轴向变形，所以本题只涉及转角位移未知量, 无需坐标转换。

各单元的单刚为1 2 2 3 2 0 3 0-4/5 2/5一1K m = EI■4/52/5- 2= EI■ 11/2-2K w= EI~ 1 1/2-2/5 4/5_ 2, _2/5 4/5_ 3, _1/2 1 °,_1/2 1 集成即可得到结构刚度矩阵-4/5 2/50 - 一4 20一 K = EI 2/5 13/52/5 =105 2 13 2 02/5 9/50 291(1)2(2)3(3)1①③②④X4(0)b o )习题解9.10图习题9.11用先处理法建立习题9.11图所示结构的矩阵位移法方程。

已知：各杆EA=4xlO*N,£/=5xl04kN-m 2。

【解】1)离散化如习题解9.11(a)图所示。

习题解9.11图2) 计算结构刚度矩阵各单元单刚分别为：单元①单元②4(0.0.0)(a)离散化1 02 34 13.33 0 0 -13.330 0 2.222 3.333 0 -2.222 3.333 0 3.3336.667° -3.3333.333 -13.33 0 0 13.33 0 0-2.222 -3.333 0 2.222 -3.333 03.3333.333 :0 -3.333 6.66710 2 3 4①1(0,1,0) 2(2,3,4)3(5,0,6)K ⑴=欧)=］。

42 3 4 5 0 6■ 10.00 0 0 -10.00 00 一 20.9375 1.875 0-0.9375 1.875 3 =K m =1040 1.8755.000-1.875 2.5004-10.00 0 0 10.00 0 0 5 0 -0.9375 -1.875 0 0.9375 -1.875 01.8752.500-1.875 5.00062 3 4 0 0 0_0.9375 0 -1.875 ； -0.93750 -1.875- 20 10.00 0 0 -10.00 03K m =r T K (3)r = io 4-1.875 0 5.000 1.875 0 2.500 4 -0.93750 1.875 0.9375 0 1.875 0 0 -10.00 0 0 10.00 0 0-1.8752.5001.8755.000集成为总刚_2.222 0 -2.2223.333 0 00 24.27 0 -1.875 -10.00 0 K=104-2.222 013.16-1.458 0 1.875 3.333 -1.875 -1.458 16.670 2.500 0 -10.00 0 010.00 01.8752.5005.0002）计算综合结点荷载列阵除可以按照习题9.8的方法计算外，还可以直接根据其物理意义形成综合结点荷载列阵。

具体 做法如下： 将原结构上各结点位移未知量利用附加约束限制住后，施以原结构所受荷载。

这一过程可理解 成在矩阵位移法（先处理法）的基本结构上，作用外荷载，形成如习题解9.11（b ）图所示的矩阵位移 法基本体系。

由此，可得各附加约束上的反力为=因琅生％4 鼻5 4j =[-8 0 -18 -120 12「因此，综合结点荷载列阵为P =-外=[8 0 18 12 0 -12]T3）列出结构刚度方程瓦仁F一 2.2220 -2.222 3.333 0 0 -_8 -24.27-1.875 -10.000 u 210413.16 -1.4580 1.875—18 16.670 2.50012对称10.00“35.000 _ A.-12单元③9.12图所示刚架的结构刚度矩阵。

已知：EA=3.2xlO 5kN ,玫=4.8 x "kN 5。

习题9.12用先处理法计算习题【解】离散化如习题解9.12图所示。

各单元单刚分别为2(2,3,4)①N8 x©3(0,0,0)I\y习题解9.12图单元①2 3 4 0 1 0■ 6.4000 0 ；-6.400 0 0 20 0.4608 1.152 0 -0.4608 1.152 30 1.152 3.840 ；0 -1.152 1.920 4K{1>=104 1-6.400 0 0 1 6.400 0 0 00 -0.4608 -1.152 ；0 0.4608 -1.152 1-0 1.152 1.920 | 0 -1.152 3.84 0单元②2 3 4 0 0 0_ 0.9000 0 -1.800 ]-0.9000 0 -1.800] 20 8.000 0 o -8.000 0 3-1.800 0 4.800 ；1.800 0 2.400 4i-0.9000 0 1.800 i 0.9000 0 1.800 00 -8.000 0 0 8.000 0 0-1.800 0 2.400 1.800 0 4.800 J 0 集成为总刚'0.4608 0 -0.4608 -1.152 一K=104对7.300 0 -1.8008.461 1.152 称8.640EA=3.2 xl05kN , £7=4.8 xlO4kN • m2习题9.12图习题9.13用先处理法计算习题9.13图所示组合结构的刚度矩阵K.已知：梁杆单元的链杆单元的£A=2.4xl05kN。