7ql 4 384
ql3 6EI

71ql 4 384
A
l/2
l/2
ql/2
B
C
y C2
l/2
10
C1
B

q

l 2
3
6EI

ql 3 48
C 2

1 ql3 2 2EI

ql 3 4EI
C
C1
C 2

13ql 4 48EI
q
B
A
ql/2
C
yC
l/2
l/2

y

M elx 6EI
1
x2 l2

2
7.2 试用积分法求图示 M =3ql2/8
q
各梁 C 截面处的挠度yC
A
B
C
和转角θC 。梁的抗弯
x
刚度EI为常数。
解：支座反力如图所示 ql/2
x1
分两段建立挠曲线近似
x2
l/2
l/2
微分方程并积分。
y
(b)
AB段：
EIy1


M el 3EI
max
y

l 2


M 16
el 2 EI
0,
M elx 6EI
1
3x2 l2


0
x 0
3l 3
ymax

y x 0

M el 2 9 3EI

3M el 2 27EI


y

M elx 6EI
1
3x2 l2
ql 2

qlx

1 2
qx 2
A
ql
EIy1

5 8
ql
2
x

1 2
qlx2

1 6
qx3

C1
EIy1

5 16
ql 2 x2

1 6
qlx3

1 24
qx4

C1x

D1
EIy2

M
2 ( x)

5 8
ql 2

qlx

ql 2

x

l 4

EIy2

5 8
ql 2 x

7.1 试用积分法求图示各梁的挠曲线方程、转角方程、最大
挠度和最大转角。梁的抗弯刚度EI为常数。
解：支座反力如图
Me
M (x) Me x
A
l
x
EIy M (x) M e x Me/l l
l (a)
B M e/l
EIy M e x2 C 2l
代入得：C Me l, D 0 6
解：分为图示两种荷载
q
ql/2
单独作用的情况
yC1

yB

l 22
C
yC

q

l
4

2

l

q

l
3

2

7ql 4
8EI 2 6EI 384
(b)
q
B
A
C
θB
y B y C1
yC 2

1 ql3 2 3EI

ql 3 6EI
l/2
yC

yC1
yC 2
(b)
q
B
C
A
θB
y B y C1

M1(x)

1 2
qlx

3 8
ql
2
EIy1

1 4
qlx2

3 8
ql 2
x

C1
EIy1

1 12
qlx3

3 16
ql 2 x2

C1x

D1
3
M =3ql2/8 A
q
B
C
x
ql/2
x1
x2
BC段：
l/2
l/2
y
(b)
EIy2

M
2
(
x)


1 2
qlx

3 8
ql
2

1 2
q
qlx3

3 16
ql 2
x2

C1x

D1
EIy2


1 4
qlx2

3 8
ql 2 x

1 6
q

x

l 2
3


C2
EIy2

1 12
qlx3
3 16
ql 2x2

1 24
q

x

l 2
4
C2x

D2
由连续性条件：
M =3ql2/8 A
q
B
C
x
ql/2 y
x1

x

l 2
2

EIy2


1 4
qlx2

3 8
ql 2 x

1 6
q

x

l 2
3


C2
EIy2

1 12
qlx3
3 16
ql 2 x2

1 24
q

x

l 2
4

C2x

D2
4
EIy1

1 4
qlx2

3 8
ql 2 x

C1
EIy1

1 12

5 16
ql 2 x2

1 6
qlx3

ql 12

x

l 4
3

C2 x

D2
代入积分常数可得：
C

y(l)

13ql 4 48EI
yC

y(l)

71ql 4 384EI
M =5ql2/8 q
A
x1
ql
x2
l/2
ql/2
B C
l/2 (b)
9
补例：采用叠加法求梁截面C处的挠度yC和转角 。梁的抗弯 刚度EI为常数。
M =5ql2/8 q
A
x1
ql
x2
l/2
ql/2
B C
l/2 (b)
解：支座反力如图所示，分两段建立挠曲线近似微分方程 并积分。
7
M1(x)

qlx

5 8
ql
2

1 2
qx2
M =5ql2/8
M
2
(
x)

qlx

5 8
ql
2

ql 2

x

l 4

EIy1

M
1(x)

5 8
l 2
4
C2x

D2
M =3ql2/8 A
q B
ql/2 y
x1
x2
l/2
l/2
(b)
代入边界条件：
C x 0, y 0, y 0 x C1 C2 0; D 1 D2 0
C

y2 (l)

7 48EI
ql 3
yC

y2 (l)

41 384EI
ql 4
6
7.2（b）试用积分法求图示梁 C 截面处的挠度yC和转角θC 。 梁的抗弯刚度EI为常数。
1 2
qlx2

ql 4

x

l 4
2

C2
EIy2

5 16
ql 2 x2

1 6
qlx3
ql 12

x

l 4
3

C2x

D2
q
B x1
ql/2
C
x2
l/2
l/2
(b)
由变形连续条件：
EIy1

l 2


EIy
l 2

EIy1

x2
l/2
l/2
(b)
l x 2 : y1 y2;
1 2 y1 y2
C1 C2; D1 D52
EIy2


1 4
qlx2

3 8
ql 2 x

1 6
q

x

l 2
3

C2
EIy2

1 12
qlx3

3 16
ql 2x2

1 24
q

x

EIy M e x3 Cx D 6l
边界条件：
x 0 : y 0; x l : y 0


y

M elx 6EI
1
3x2 l2

y

M elx 6EI
1
x2 l2