y = r sin θ ；
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f (r cosθ , r sin θ )rdrdθ 。
D D
1）极点在 D 外：
α ≤θ ≤ β ⎧ D:⎨ ⎩ϕ1 (θ ) ≤ ρ ≤ ϕ2 (θ )
∫∫ f ( x, y)dσ = ∫
D
β
α
dθ ∫
ϕ2 (θ ) ϕ1 (θ )
D D D
性质 2 （区域具有可加性） 如果闭区域 D 可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域
D1 和 D2 , 则 ∫∫ f ( x, y )dσ = ∫∫ f ( x, y )dσ + ∫∫ f ( x, y )dσ .
D D1 D2
�
性质 3 如果在闭区域 D 上, f ( x, y ) = 1, σ 为 D 的面积, 则
Ω
λ →0
i =1
其中： Ω 为积分区域， f ( x, y, z ) 称为被积函数， dV 为体积元素。 � 当 f ( x, y, z ) ≡ 1 时，设积分区域 Ω 的体积为 V ，则有 V = ∫∫∫1 ⋅ dv = ∫∫∫ dv ；
Ω Ω
密度为 1 的均质立体 Ω 的质量在数值上等于 Ω 的体积. � � 若 f ( x, y, z ) 在有界闭区域 Ω 上连续，则
∫∫∫ f ( x, y, z )dV 必存在；
Ω
物理意义：表示体密度为 f ( x, y, z ) (≥ 0) 的立体 Ω 的质量。
2．直角坐标系下三重积分的计算 � 投影法（先一后二法） ：设 Ω 在 xoy 平面上的投影区域为
⎧a ≤ x ≤ b ⎪ Dxy ： Ω : ⎨ y1 ( x) ≤ y ≤ y2 ( x) ， ⎪ z ( x, y ) ≤ z ≤ z ( x, y ) ⎩ 1 2
D
1
d
ψ 2 ( y)
f ( x, y )dx.
特点：平行于 x 轴的直线穿过 D 与曲线ψ 1 ( x),ψ 2 ( x) 各有一个交点； � 若积分区域 D 既是 X 型又是 Y 型，可根据 D 的形状及被积函数的特点，选择较为简便 的方法计算。
2） ．在极坐标系下二重积分的计算 � � � 面积微元 dσ = rdrdθ ； 直角坐标与极坐标之间的转换关系为： x = r cosθ ,
∫∫ f ( x, y)dσ 表示以区域 D 为底、以曲面 z = f ( x, y) 为
D
∫∫ µ ( x, y)dσ 。
D
2．二重积分的性质 � � 性质 1 （线性性质）
∫∫[αf ( x, y) ± βg ( x, y )]dσ = α ∫∫ f ( x, y )dσ ± β ∫∫ g ( x, y)dσ .
D a
b
ϕ2 ( x)
ϕ1 ( x )
f ( x, y )dy
特点：平行于 y 轴的直线穿过 D 与曲线 ϕ1 ( x), ϕ 2 ( x) 各有一个交点； � 积分区域 Y − 型： {( x, y ) | c ≤ y ≤ d , ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y )} ，有
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫c dy ∫ψ ( y )
3．柱面坐标系下三重积分的计算 � 空间点 M ( x, y, z ) 的直角坐标和柱面坐标的关系：
⎧ x = ρ cos θ , ⎪ ⎨ y = ρ sin θ , ⎪ z = z, ⎩
�
0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ ρ < +∞ −∞ < z < +∞
在柱面坐标系中，三组坐标面为：
ρ = 常数：即以 z 轴为轴的圆柱面；
∫∫ f ( x, y)dσ = ∫
D
2π
0
dθ ∫
ϕ (θ )
0
f ( ρ cos θ , ρ sin θ ) ρ d ρ
二、三重积分 1．三重积分的概念与性质
n
�
三重积分的概念： ∫∫∫ f ( x, y, z )dv = lim ∑ f (ξ i ,ηi , ζ i )∆vi ， （和式的极限）
∫∫1 ⋅ dσ = ∫∫ dσ = σ .
D D
几何意义：以 D 为底、高为 1 的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。 � 性 质 4 （ 单 调 性 ） 如 果 在 闭 区 域 D 上 , 有 f ( x, y ) ≤ g ( x, y ), 则
∫∫ f ( x, y )dσ ≤ ∫∫ g ( x, y )dσ .
则：
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫
Ω
b
a
dx ∫
y2 ( x )
y1 ( x )
∫
z2 ( x )
z1 ( x )
f ( x, y , z )dz 。
注：可利用对称性化简三重积分计算：一般地,如果积分区域 Ω 关于 xOy 平面对称,且被积函 数 f ( x, y , z ) 是关于 z 的奇函数, 则三重积分为零; 如果被积函数 f ( x, y, z ) 是关于 z 的偶函数, 则三重积分为 Ω 在 xOy 平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍 . 当积分区域 Ω 关于 yOz 或 xOz 平面对称时，也有完全类似的结果。
D D
推论 1
∫∫ f ( x, y )dσ ≤ ∫∫ | f ( x, y) | dσ .
D D
推论 2
设 M , m 分别是 f ( x, y ) 在闭区域 D 上的最大值和最小值, σ 为 D 的面积, 则
mσ ≤ ∫∫ f ( x, y )dσ ≤ Mσ .
D
这个不等式称为二重积分的估值不等式。 � 性质 5 （积分中值定理）如果函数 f ( x, y ) D 上连续， σ 是 D 的面积，那么在 D 上至 少存在一点 (ξ ,η ) ，使得
f ( ρ cos θ , ρ sin θ ) ρ d ρ
2）极点在 D 的边界上：
⎧ α ≤θ ≤ β D:⎨ ⎩0 ≤ ρ ≤ ϕ (θ )
∫∫
D
f ( x, y ) d σ = ∫ d θ ∫
α
β
ϕ (θ )
0
f ( ρ cos θ , ρ sin θ ) ρ d ρ
3）极点在 D 的内部：
⎧ 0 ≤ θ ≤ 2π D:⎨ ⎩0 ≤ ρ ≤ ϕ (θ )
第十章
一、二重积分 1．二重积分的概念 �
多元函数的积分学及其应用
定义：设 f ( x, y ) 是有界闭区域 D 上的有界函数，
n
“分割、近似、求和、取极限” ：
பைடு நூலகம்
∫∫
D
f ( x, y )d σ = lim∑ f (ξi ,ηi )∆σ i
λ →0 i =1
其中： D 为积分区域， f ( x, y ) 称为被积函数， d σ 为面积元素。 � 几何意义：当 f ( x, y ) ≥ 0 ， 顶的曲顶柱体的体积。 � 非均匀平面薄片的质量： M =
∫∫ f ( x, y )dσ = f (ξ ,η ) ⋅ σ 。
D
3．二重积分的计算 1） ．在直角坐标系下二重积分的计算 � � 面积微元： dσ = dxdy ； 积分区域 X − 型： {( x, y ) | a ≤ x ≤ b, ϕ1 ( x) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x)} ，有
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dx ∫
∫∫ f ( x, y)dxdy ；
D
2．计算曲面面积：曲面方程 Σ ： z = z ( x, y ) ，它在 xOy 面上的投影区域为 D ，则曲面面
积为 S =
∫∫
D
1 + [ f x′ ( x, y )]2 + [ f y′ ( x, y )]2 dσ 。
θ = 常数：即过 z 轴的半平面；
z = 常数：即平行于 xoy 面的平面。
� � 柱面坐标下的体积微元： dV = ρ d ρ dθ dz
∫∫∫ f ( x, y, z )dV = ∫∫∫ f ( ρ cos θ , ρ sin θ , z ) ρ d ρ dθ dz 。
Ω Ω
三、二重积分在几何应用上的应用 1．计算曲顶柱体的体积：以区域 D 为底，曲面 z = f ( x, y ) 为顶，侧面为以 D 的边界为准 线，母线平行于 z 轴的曲顶柱体的体积： V =