由y(x)12x210x10得
因此确有 使
3对函数f(x)sinx及F(x)xcosx在区间 上验证柯西中值定理的正确性
解因为f(x)sinx及F(x)xcosx在区间 上连续在 可导且F(x)1sinx在 内不为0所以由柯西中值定理知至少存在一点 使得
令 即
化简得 易证 所以 在 内有解即确实存在 ,使得
因为nbn1(ab)nn1(ab)nan1(ab)
所以nbn1(ab)anbnnan1(ab)
10设ab0证明
证明设f(x)lnx则f(x)在区间[ba]上连续在区间(ba)内可导由拉格朗日中值定理存在(ba)使
f(a)f(b)f()(ab)即
因为ba所以
即
11证明下列不等式
(1)|arctanaarctanb||ab|
故
5不用求出函数f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)的导数，说明方程f(x)0有几个实根并指出它们所在的区间
解由于f(x)在[12]上连续在(12)内可导且f(1)f(2)0所以由罗尔定理可知存在1(12)使f(1)0同理存在2(23)使f(2)0存在3(34)使f(3)0显然1、2、3都是方程f(x)0的根注意到方程f(x)0是三次方程它至多能有三个实根现已发现它的三个实根故它们也就是方程f(x)0的全部根
(2)当x1时exex
证明(1)设f(x)arctanx则f(x)在[ab]上连续在(ab)内可导由拉格朗日中值定理存在(ab)使
f(b)f(a)f()(ba)即
所以 即|arctanaarctanb||ab|
(2)设f(x)ex则f(x)在区间[1x]上连续在区间(1x)内可导由拉格朗日中值定理存在(1x)使
13设f(x)、g(x)在[ab]上连续在(ab)内可导证明在(ab)内有一点使
解设 则(x)在[ab]上连续在(ab)内可导由拉格朗日中值定理存在(ab)使
(b)(a)()(ba)
即
因此
14证明若函数f(x)在()内满足关系式f(x)f(x)且f(0)1则f(x)ex
证明令 则在()内有
所以在()内(x)为常数
f(x)f(1)f()(x1)即exee(x1)
因为1所以
exee(x1)e(x1)即exex
12证明方程x5x10只有一个正根
证明设f(x)x5x1则f(x)是[0)内的连续函数
因为f(0)1f(1)1f(0)f(1)0所以函数在(01)内至少有一个零点即x5x10至少有一个正根
假如方程至少有两个正根则由罗尔定理f(x)存在零点但f(x)5x410矛盾这说明方程只能有一个正根
因此(x)(0)1从而f(x)ex
15设函数yf(x)在x0的某邻域内具有n阶导数且f(0)f(0)f(n1)(0)0试用柯西中值定理证明
(01)
证明根据柯西中值定理
(1介于0与x之间)
(2介于0与1之间)
(3介于0与2之间)
依次下去可得
(n介于0与n1之间)
所以
由于n可以表示为nx(01)所以 (01)
又由于f(x)在[12]上连续在(12)内可导且f(1)f(2)0根据罗尔定理至少存在一点(12)(x1x3)使f()0
9设ab0n1证明
nbn1(ab)anbnnan1(ab)
证明设f(x)xn则f(x)在[ba]上连续在(ba)内可导由拉格朗日中值定理存在(ba)使
f(a)f(b)f()(ab)即anbnnn1(ab)
4试证明对函数ypx2qxr应用拉格朗日中值定理时所求得的点 总是位于区间的正中间
证明因为函数ypx2qxr在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导由拉格朗日中值定理至少存在一点(ab)使得y(b)y(a)y()(ba)即
(pb2qbr)(pa2qar)(2pq)(ba)
化间上式得
p(ba)(ba)2p(ba)
习题31
1验证罗尔定理对函数yln sinx在区间 上的正确性
解因为yln sinx在区间 上连续在 内可导且 ,所以由罗尔定理知至少存在一点 使得y()cot0
由y(x)cotx0得
因此确有 使y()cot0
2验证拉格朗日中值定理对函数y4x35x2x2在区间[01]上的正确性
解因为y4x35x2x2在区间[01]上连续在(01)内可导由拉格朗日中值定理知至少存在一点(01)使
a0nxn1a1(n1)xn2an10
必有一个小于x0的正根
8若函数f(x)在(ab)内具有二阶导数且f(x1)f(x2)f(x3)其中ax1x2x3b证明
在(x1x3)内至少有一点使得f()0
证明由于f(x)在[x1x2]上连续在(x1x2)内可导且f(x1)f(x2)根据罗尔定理至少存在一点1(x1x2)使f(1)0同理存在一点2(x2x3)使f(2)0
6证明恒等式 (1x1)
证明设f(x)arcsinxarccosx因为
所以fa0xna1xn1an1x0有一个正根x0证明方程
a0nxn1a1(n1)xn2an10
必有一个小于x0的正根
证明设F(x)a0xna1xn1an1x由于F(x)在[0x0]上连续在(0x0)内可导且F(0)F(x0)0根据罗尔定理至少存在一点(0x0)使F()0即方程