2-7 1. 已知y =x 3-x , 计算在x =2处当∆x 分别等于1, 0.1, 0.01时的∆y 及dy . 解 ∆y |x =2, ∆x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18,
dy |x =2, ∆x =1=(3x 2-1)∆x |x =2, ∆x =1=11;
∆y |x =2, ∆x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161,
dy |x =2, ∆x =0.1=(3x 2-1)∆x |x =2, ∆x =0.1=1.1;
∆y |x =2, ∆x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601,
dy |x =2, ∆x =0.01=(3x 2-1)∆x |x =2, ∆x =0.01=0.11.
2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、∆y 及∆y -d y 并说明其正负.
解 (a )∆y >0, dy >0, ∆y -dy >0.
(b )∆y >0, dy >0, ∆y -dy <0.
(c )∆y <0, dy <0, ∆y -dy <0.
(d )∆y <0, dy <0, ∆y -dy >0.
3. 求下列函数的微分:
(1)x x
y 21+=; (2) y =x sin 2x ;
(3)12+=x x
y ;
(4) y =ln 2(1-x );
(5) y =x 2e 2x ;
(6) y=e-x cos(3-x);
(6) dy=y'dx=[e-x cos(3-x)]dx=[-e-x cos(3-x)+e-x sin(3-x)]dx
=e-x[sin(3-x)-cos(3-x)]dx .
(8) dy=d tan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)d tan(1+2x2)
=2tan(1+2x2)⋅sec2(1+2x2)d(1+2x2)
=2tan(1+2x2)⋅sec2(1+2x2)⋅4xdx
=8x⋅tan(1+2x2)⋅sec2(1+2x2)dx.
4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立:
(1) d ( )=2dx ;
(2) d ( )=3xdx ;
(3) d ( )=cos tdt ;
(4) d ( )=sin ωxdx ;
(5) d ( )dx x 1
1+=; (6) d ( )=e -2x dx ;
(7) d ( )dx x
1=; (8) d ( )=sec 23xdx .
解 (1) d ( 2x +C )=2dx .
(2) d (C x +22
3)=3xdx . (3) d ( sin t +C )=cos tdt .
(4) d (C x +-ωω
cos 1)=sin ωxdx . (5) d ( ln(1+x )+C )dx x 1
1+=. (6) d (C e x +--22
1)=e -2x dx . (7) d (C x +2)dx x
1=. (8) d (C x +3tan 3
1)=sec 23xdx .
5. 如图所示的电缆B O A )
的长为s , 跨度为2l , 电缆的最低点O 与杆顶连线AB 的距离为f , 则电缆长可按下面公式计算:
)321(222l
f l s +=, 当f 变化了∆f 时, 电缆长的变化约为多少？
解 f f l df l
f l dS S ∆='+=≈∆38)321(222. 6. 设扇形的圆心角α=60︒, 半径R =100cm(如图), 如果R 不变, α 减少30', 问扇形面积大约改变了多少？又如果α 不变, R 增加1cm , 问扇形面积大约改变了多少？
解 (1)扇形面积22
1R S α=, αααα∆='=≈∆222
1)21(R d R dS S . 将α=60︒3π=, R =100, 360
03πα-='-=∆ 代入上式得 63.43)360
(100212-≈-⋅⋅≈∆πS (cm 2). (2) R R dR R dS S R ∆='=≈∆αα)2
1(2. 将α=60︒3
π=, R =100, ∆R =1代入上式得 72.10411003
≈⋅⋅≈∆πS (cm 2). 7. 计算下列三角函数值的近似值:
(1) cos29︒;
(2) tan136︒.
解 (1)已知f (x +∆x )≈f (x )+f '(x )∆x , 当f (x )=cos x 时, 有cos(x +∆x )≈cos x -sin x ⋅∆x
以
8.计算下列反三角函数值的近似值
(1) arcsin0.5002;
(2) arccos 0.4995.
解(1)已知f (x+∆x)≈f (x)+f'(x)∆x,当f(x)=arcsin x时,有
所以
所以
(1) tan x≈x (x是角的弧度值);
(2) ln(1+x )≈x;
并计算tan45' 和ln1.002的近似值.
(1)已知当|∆x |较小时, f (x 0+∆x )≈f (x 0)+f '(x 0)∆x , 取f (x )=tan x , x 0=0, ∆x =x , 则有 tan x =tan(0+x )≈tan 0+sec 20⋅x =sec 20⋅x =x .
(2)已知当|∆x |较小时, f (x 0+∆x )≈f (x 0)+f '(x 0)∆x , 取f (x )=ln x , x 0=1, ∆x =x , 则有 ln(1+x )≈ln1+(ln x )'|x =1⋅x =x .
tan45'≈45'≈0.01309;
ln(1.002)=ln(1+0.002) ≈0.002.
10. 计算下列各根式的的近似值:
11. 计算球体体积时, 要求精确度在2%以内
, 问这时测量直径D 的相对误差不能超过多少？
2%以内, 所以其相对误差不超过2%, 即要求
12.某厂生产如图所示的扇形板,半径R=200mm,要求中心角α为55︒.产品检验时,一般用测量弦长l的办法来间接测量中心角α,如果测量弦长l时的误差δ1=0.1mm,问此而引起的中心角测量误差δx是多少？
当l=184.7,δl=0.1时,。