任意角的三角函数编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号.2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.3．会应用三角函数的定义解决相关问题．【要点梳理】要点一：三角函数定义设α是一个任意角,它的终边与半径是r 的圆交于点(,)P x y ,则r =: (1)y r做α的正弦,记做sin α,即sin y r α=； (2) x r 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x rα=； (3)y x 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x α=≠. 要点诠释：（1）三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r =那么sin α=,cos α=,tan y xα=． （2）三角函数符号是一个整体，离开α的sin 、cos 、tan 等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是sin 、cos 、tan 与α的积．要点二：三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：正切、余切余弦、正割正弦、余割 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 要点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．要点三：单位圆中的三角函数线圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于P ，过P 作PM 垂直x 轴于M ，作PN 垂直y 轴于点N.以A 为原点建立y '轴与y 轴同向，与α的终边(或其反向延长线)相交于点T (或T ')，则有向线段0M 、0N 、AT(或AT ')分别叫作α的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.要点诠释：三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴的正方向的交点的切线上；三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.【典型例题】类型一：三角函数的定义例1．已知角α的终边经过点P （－4a ，3a ）（a ≠0），求sin α，cos α，tan α的值．【思路点拨】先根据点P （－4a ，3a ）求出OP 的长；再分a ＞0，a ＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论 【答案】35，45-，34-或35-，45，34-【解析】 5||r a ==． 若a ＞0，则r =5a ，α是第二象限角，则33sin 55y a r a α===， 44cos 55x a r a α-===-， 33tan 44y a x a α===--， 若a ＜0，则r =－5a ，α是第四象限角，则3sin 5α=-，4cos 5α=，3tan 4α=-． 【总结升华】 本题主要考查三角函数的定义和分类讨论的思想．三角函数值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关．要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题．举一反三：【变式1】已知角α的终边在直线y =上，求sin α，cos α，tan α的值．1212-【解析】因为角α的终边在直线y 上，所以可设()(0)P a a ≠为角α终边上任意一点．则2||r a ==（a ≠0）．若a ＞0，则α为第一象限角，r=2a ，所以sin 22a α==， 1cos 22a a α==，tan aα==．若a ＜0，则α为第三象限角，r=－2a ，所以sin 22a α==--，1cos 22a a α=-=-，tan α==． 类型二：三角函数的符号例2．判断下列各三角函数值的符号（1）17tan 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）tan120°·sin269°；（3）tan191°－cos191°． 【答案】（1）正（2）正（3）正 【解析】（1）因为177466πππ-=-+，且76π是第三象限角，所以176π-是第三象限角．所以17tan 06π⎛⎫-> ⎪⎝⎭． （2）∵120°是第二象限的角，∴tan120°＜0．∵269°是第三象限的角，∴sin269°＜0．∴tan120°·sin269°＞0．（3）∵191°是第三象限的角，∴tan191°＞0，cos191°＜0，∴tan191°―cos191°＞0．举一反三：【高清课堂：任意角的三角函数385947 例3】【变式1】确定下列各三角函数值的符号.（1）sin 532︒；（2）23cos 12π；（3）11tan 3π-⎛⎫ ⎪⎝⎭；（4）sin 3.1； （5）tan 7； （6）sin(cos )cos(sin )θθ，其中θ是第二象限角.【答案】（1）正（2）正（3）正（4）正（5）正（6）负【变式2】（1）若sin α=―2cos α，确定tan α的符号；（2）已知α为第二象限角，判断3sin αcos α+2tan α的符号；（3）若sin α＜0，cos α＞0，则α是第几象限角？【答案】（1）负（2）负（3）四【解析】（1）由sin α=―2cos α，知sin α与cos α异号，故α是第二或第四象限角．当α是第二象限角时，tan α＜0；当α是第四象限角时，tan α＜0．综上知，tan α＜0．（2）因为α为第二象限，所以sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0，所以3sin αcos α+2tan α＜0．（3）因为sin α＜0，所以α为第三或第四象限角，又cos α＞0，所以α为第一或第四象限角，所以α为第四象限角．类型三：三角函数线的应用例3．（1）在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边． ①2sin 3α=；②3cos 5α=-；③tan α=2； （2）比较sin1155°与sin （―1654°）的大小．【答案】（1）略（2）>【解析】（1）①作直线23y =交单位圆于P 、Q 两点，则OP 与OQ 为角α的终边，如下图①． ②作直线35x =-交单位圆于M 、N 两点，则OM 与ON 为角α的终边．如下图②．③在直线x=1上截取AT=2，其中点A 的坐标为（1，0），设直线OT 与单位圆交于C 、D 两点，则OC 与OD 为角α的终边．如下图③．（2）先化成0° ～360°间的角的三角函数．sin1155°=sin(3×360°+75°)=sin75°,sin(－1654°)=sin(－5×360°+146°)=sin146°．在单位圆中，分别作出sin75°和sin145°的正弦线M 2P 2，M 1P 1（如图）．因为M 1P 1＜M 2P 2，所以sin1155°>sin （－1654°）．【总结升华】 （1）三角函数线可以用来求出满足形如()f m α=的三角函数的角α的终边，这是解三角不等式及求三角函数定义域时常用到的．（2）第（2）题主要考查公式一及单位圆中三角函数的应用，首先利用公式将1155°和1654°分别变化到0°～360°的角，然后在同一单位圆中作出它们的三角函数线，利用三角函数线即可比较出大小．举一反三：【变式1】求证：当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin α＜α＜tan α． 【证明】如图，设角α的终边与单位圆相交于点P ，单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，过点A 作圆的切线交OP 的延长线于点T ，过点P 作PM ⊥OA 于点M ，连接AP ，则：在Rt △POM 中，sin α=MP ；在Rt △AOT 中，tan α=AT ．又根据弧度制的定义，有AP l OP αα=⋅=．易知S △POA ＜S 扇形POA ＜S △AOT ， 即111222AP OA MP l OA OA AT ⋅<⋅<⋅，即sin α＜α＜tan α．例4．在单位圆中画出满足下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合：（1）sin α≥；（2）1cos 2α≤-． 【思路点拨】利用单位圆中的三角函数线去解．【解析】（1）作直线y =交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域，如下图①中阴影部分，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为222,33k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭．（2）作直线12x =-交单位圆于C 、D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域如上图②中阴影部分，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为2422,33k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭． 【总结升华】 利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如()f m α≥或()f m α≤的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用．类型四：三角函数定义域的求法例5．求函数y =【思路点拨】要使式子有意义，则必须使被开方数大于等于零，然后再解三角不等式．【答案】【解析】 由题意得sin 0tan 1()2x x x n n Z ππ⎧⎪≥⎪≤⎨⎪⎪≠+∈⎩．由图可知：sin x ≥0时，角x 的终边落在图中横线阴影部分；tan x ≤1时，角x 的终边落中图中竖线阴影部分． 从终边落在双重阴影部分的角中排除使2()2x n n Z ππ=+∈的角即为所求．∴该函数的定义域为：22,22,42x n x n n Z x n x n n Z πππππππ⎧⎫⎧⎫≤≤+∈+<≤+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭． 【总结升华】（1）在求三角函数定义域时，一般应转化为不等式（组），利用数轴或三角函数线解三角不等式是最常用的方法，因此必须牢固掌握三角函数的画法及意义．（2）不可忽略正切函数自身的定义域|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭． 举一反三： 【变式1】求函数sin cos tan x x y x +=的定义域： 【答案】|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭【解析】 要使函数有意义，需tan x ≠0，∴2x k ππ≠+（k ∈Z ）且x ≠k π（k ∈Z ） ∴2k x π≠（k ∈Z ）． ∴函数的定义域为|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭．。