特别解析：三角函数周期的几种求法
1．定义法：
定义：一般地对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，ｆ（x ＋T ）＝ｆ（x ）都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。
下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。
例1．求函数y=3sin （3
32π+x ）的周期 解：∵y=f （x ）=3sin （3
32π+x ）=3sin （332π+x +2π） =3sin （3232ππ++x ）=3sin[3
)3(32ππ++x ] = f （x+3π） 这就是说，当自变量由x 增加到x +3π，且必增加到x +3π时，函数值重复出现。
∴函数y=3sin （
332π+x ）的周期是T=3π。
例2：求f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期
解∵f （x+
2π）= sin 6（x+2π）+ cos 6（x+2
π）= cos 6x +sin 6x= f （x ） ∴f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期为T=2
π 例3：求f （x ）=x x x x 3cos cos 3sin sin ++的周期 解：∵f （x+π）=)cos()cos()(3sin )sin(ππππ++++++x x x x =x
cox x x 3cos 3sin sin ---- =
x
x x x 3cos cos 3sin sin ++= f （x ） ∴求f （x ）=x x x x 3cos cos 3sin sin ++的周期：T=π
2．公式法：
（1）如果所求周期函数可化为y=Asin （ϕω+x ）、y=Acos （ϕω+x ）、ｙ＝tg （ϕω+x ）形成（其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0、
ω＞0、ϕ∈R ），它们的周期是：ωπ2、ωπ2、ω
π。
例4：求函数y=1-sinx+3cosx 的周期 解：∵y=1-2（21 sinx-23cosx ）=1-2（cos 3πsinx-sin 3π cosx ）=1-2sin （x-3
π） 这里ω=1 ∴周期T=2π
例5：求：y=2（23sinx-2
1cos3x ）-1 解：∵y=2（
23sinx-21cos3x ）-1=2sin （3x-6π）-1 这里ω=3 ∴周期为T=
32π 例6：求y=tg （1+5
3x π）的周期 解：这里ω=53π，∴周期为：T=π/53π=3
5 （2）如果f （x ）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sin ωx 、cos ωx 、tg ωx 的形式，再确定它的周期。
例7：求f （x ）=sinx ·cosx 的周期
解：∵f （x ）=sinx ·cosx=2
1sin2x 这里ω=2，∴f （x ）=sinx ·cosx 的周期为T=π
例8：求f （x ）=sin 2x 的周期
解：∵f （x ）=sin 2x=2
2cos 1x - 而cos2x 的周期为π，∴f （x ）=sin 2x 的周期为T=π
注：以上二题可以运用定义求出周期。
例9：求y=sin 6ωx+ cos 6
ωx 的周期 解：原函数次数较高，应先进降次变形，再求周期。
∵y=sin 6ωx+ cos 6
ωx =（sin 2ωx+ cos 2ωx ）（sin 4ωx-sin 2ωx ·cos 2ωx+ cos 4
ωx ） =( sin 2ωx+ cos 2ωx)2-3 sin 2ωx ·cos 2
ωx =1-3 sin 2ωx ·cos 2ωx =1-4
3 sin 22ωx =85+83cos4ωx 而cos4ωx 的周期为T=ωπ42=ω
π2, ∴y= sin 6ωx+ cos 6ωx 的周期为T=ω
π2 例10：函数y=3sin 2x-23sinx ·cosx+5cos 2x 的周期。
解：利用三角恒等式对函数进行恒等变形，再求周期。
∵y=3sin2x-23sinx ·cosx+5cos 2x=3-23sinx ·cosx+2cos 2x =3-3sin2x+cos2x+1=4+2(21cos2x-23sin2x)=4+2cos(2x+3
π) ∴y=3sin 2x-23sinx ·cosx+5cos 2x 的周期为T=ππ=2
2
3．定理法：
如果f(x)是几个周期函数代数和形式的，即是：函数f(x)=f 1(x)+f 2(x)，而f 1(x)的周期为T 1, f 2(x)的周期为T 2，则f(x)的周期为T=P 2T 1=P 1T 2，其中P 1、P 2∈N ，且（P 1、P 2）=1 事实上，由2
121P P T T =（既约分数），得T= P 2T 1=P 1T 2
∵f （x+ P 1T 2）=f 1（x+ P 1T 2）+f 2（x+ P 1T 2）=f 1（x+ P 2T 1）+ f 2（x+ P 1T 2）
= f 1（x ）+ f 2（x ）=f （x ）
∴P 1T 2是f （x ）的周期，同理P 2T 1也是函数f （x ）的周期。
例11：求函数y=tg6x+ctg8x 的周期。
解：∵y=tg6x 的周期为T 1=6π，tg8x 的周期为T 2=8
π 由P 1T 2= P 2T 1，得21T T =21P P =3
4，取P 1=4，P 2=3 ∴y=tg6x+ctg8x 的周期为T= P 1T 2=
2
π。
例12：求函数y=sin2x+sin3x 的周期 解：∵sin2x 的周期为T 1=π，sin3x 的周期为T 2=
32π 而21T T =2
3，即是T=2T 1=3T 2， ∴y=sin2x+sin3x 的周期为T=2T 1=2π
例13：求函数y=cos
3x +sin 4x 的周期 解：∵cos 3x 的周期为T 1=6π，sin 4
x 的周期为T 2=8π 而4
38621==ππT T ，即是T=4T 1=3T 2 ∴y=cos
3x +sin 4
x 的周期为T=3T 2=24π。
类似，y=sin 5x -2sin 3x 的周期为T=30π，y=tg3θ+2ctg2θ的周期为T=π。
由上述各例可知：尽管问题的形式多样复杂，但经过仔细观察、认真分析，都可以把它化成相关问题，运用有关知识，就可以解决。