三角函数周期的常用求法
河南 陈长松
三角函数的周期是三角函数的一个重要性质，也是高考的热点．本文通过实例介绍求三角函数周期的几种常用方法，供参考． 一、公式法
例1 函数)2
3sin(
x y -=π的最小正周期是 （ ） Ａ．π Ｂ．２π Ｃ．－４π Ｄ．４π 解：由公式，得ππ42
12=-=T ，故选Ｄ． 评注：对于函数)sin(ϕω+=x A y 或)cos(ϕω+=x A y 可直接利用公式ωπ
2=T 求得；对于)tan(ϕω+=x A y 或)cot(ϕω+=x A y 可直接利用公式ωπ=
T 求得。

二、图像法
例２ 求下列函数的最小正周期
① x y sin = ②x y sin
解：分别作出两个函数的图像知
三、解：∵ 2
cos()2sin(ππk x k x +++＝x x cos sin + （Z k ∈） ∴
2πk 是函数x x y cos sin +=的周期．显然2πk 中最小者是2
π 下面证明2
π是最小正周期 假设2π不是x x y cos sin +=的最小正周期，则存在<<T 02π，使得： =+)(T x f )cos()sin(T x T x +++＝x x cos sin +对R x ∈恒成立，
令0=x ，则=+)0(T f T T cos sin +＝10cos 0sin cos sin =+=+T T ① 但<<T 02
π，∴1cos sin >+T T ②
∴ ①与②矛盾， ∴ 假设不成立，∴2
π是x x y cos sin +=最小正周期． 评注：这种方法依据周期函数的定义，从式子)()(x f T x f =+出发，设法找出周期T 中的最小正数（须用反证法证明）．
四、转化法
例４ 求函数x x y 66cos sin +=的最小正周期
解：∵ y ＝)cos sin 3cos sin 3()cos (sin 4224322x x x x x x +-+
＝)4cos 1(831)cos (sin )cos (sin 31222x x x x x --
=+- ＝x 4cos 8
385+ ∴ 函数x x y 66cos sin +=的最小正周期是2
42ππ==T 评注：就是先根据三角公式已知式转化为一个脚的一个三角函数的形式，再利用公式去求．这是最常见的求周期题型，也是高考考察的热点．
五、最小公倍数法
例５ 求函数y sin3x cos5x =+的最小整周期
解：设sin3x 、cos5x 的最小整周期分别为1T 、2T ， 则12T 3π=，22T 5π=，2T 1
π=＝2π ∴y sin3x cos5x =+的最小整周期为2π
评注：设()f x 与()g x 是定义在公共集合上的两个三角周期函数，1T 、2T 分别是它们的周期，且1T ≠2T ，则()f x ±()g x 的最小整周期是1T 、2T 的最小公倍数．
分数的最小公倍数＝分子的最小公倍数分母的最小公倍数。