第二十二单元 选考模块考点一 极坐标与参数方程1.(2017年全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =3cosθ,y =sinθ(θ为参数),直线l 的参数方程为{x =a +4t,y =1-t (t 为参数).(1)若a=-1,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l 距离的最大值为√17,求a.【解析】(1)曲线C 的普通方程为x 29+y 2=1.当a=-1时,直线l 的普通方程为x+4y-3=0. 由{x +4y -3=0,x 29+y 2=1,解得{x =3,y =0或{x =-2125,y =2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0),-2125,2425.(2)直线l 的普通方程为x+4y-a-4=0,故C 上的点(3cos θ,sin θ)到l 的距离d=|3cosθ+4sinθ-a -4|√17.当a ≥-4时,d 的最大值为√17. 由题设得√17=√17,所以a=8;当a<-4时,d 的最大值为-a+117. 由题设得-a+1√17=√17,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.2.(2017年全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ=4.(1)M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程; (2)设点A 的极坐标为(2,π3),点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值.【解析】(1)设点P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),点M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0). 由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=4cosθ. 由|OM|·|OP|=16得C 2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x-2)2+y 2=4(x ≠0).(2)设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB >0).由题设知|OA|=2,ρB =4cos α,于是△OAB 的面积S=12|OA|·ρB ·sin ∠AOB=4cos α·|sin (α-π3)|=2|sin (2α-π3)-√32|≤2+√3.当α=-π12时,S 取得最大值2+√3. 所以△OAB 面积的最大值为2+√3.3.(2017年全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为{x =2+t,y =kt (t 为参数),直线l 2的参数方程为{x =-2+m,y =m k (m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C. (1)写出C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l 3:ρ(cos θ+sin θ)-√2=0,M 为l 3与C 的交点,求M 的极径.【解析】(1)消去参数t 得l 1的普通方程为y=k (x-2); 消去参数m 得l 2的普通方程为y=1k(x+2).设P (x ,y ),由题设得{y =k(x -2),y =1k(x +2),消去k 得x 2-y 2=4(y ≠0),所以C 的普通方程为x 2-y 2=4(y ≠0).(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π),联立{ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4,ρ(cosθ+sinθ)-√2=0得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ). 故tan θ=-13,从而cos 2θ=910,sin 2θ=110.代入ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4得ρ2=5,所以交点M 的极径为√5.4.(2016年全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =acost,y =1+asint (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(2)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a.【解析】(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2+(y-1)2=a 2,则C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.(2)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组{ρ2-2ρsinθ+1-a 2=0,ρ=4cosθ.若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0,由已知tan θ=2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a 2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.当a=1时,极点也为C 1,C 2的公共点,且在C 3上. 所以a=1.5.(2016年全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x+6)2+y 2=25. (1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;(2)直线l 的参数方程是{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数),l 与C 交于A ,B 两点,|AB|=√10,求l 的斜率.【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.(2)(法一)由直线l 的参数方程{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数),消去参数得y=x ·tan α. 设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为kx-y=0.由圆C 的方程为(x+6)2+y 2=25知,圆心坐标为(-6,0),半径为5.又∣AB∣=√10,由垂径定理及点到直线的距离公式得|-6k|1+k =√25-(√102)2,即36k 21+k2=904,整理得k 2=53,解得k=±√153,即l 的斜率为±√153.(法二)在(1)中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ).设A ,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0,于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|=√(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2 =√144cos 2α-44.由|AB|=√10得cos 2α=38,可得tan α=±√153.所以l 的斜率为±√153.考点二 不等式选讲6.(2017年全国Ⅰ卷)已知函数f (x )=-x 2+ax+4,g (x )=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集;(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[-1,1],求a 的取值范围.【解析】(1)当a=1时,不等式f (x )≥g (x )等价于x 2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0. ①当x<-1时,①式化为x 2-3x-4≤0,无解;当-1≤x ≤1时,①式化为x 2-x-2≤0,解得-1≤x ≤1;当x>1时,①式化为x 2+x-4≤0,解得1<x ≤-1+√172. 所以f (x )≥g (x )的解集为x -1≤x ≤-1+√172.(2)当x ∈[-1,1]时,g (x )=2,所以f (x )≥g (x )的解集包含[-1,1]等价于当x ∈[-1,1]时,f (x )≥2. 又f (x )在[-1,1]的最小值必为f (-1)与f (1)之一, 所以f (-1)≥2且f (1)≥2,解得-1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[-1,1].7.(2017年全国Ⅱ卷) 已知a>0,b>0,a 3+b 3=2.证明: (1)(a+b )(a 5+b 5)≥4;(2)a+b ≤2.【解析】(1)(a+b )(a 5+b 5)=a 6+ab 5+a 5b+b 6=(a 3+b 3)2-2a 3b 3+ab (a 4+b 4)=4+ab (a 2-b 2)2≥4.(2)因为(a+b )3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3=2+3ab (a+b )≤2+3(a+b)24(a+b )=2+3(a+b)34, 所以(a+b )3≤8,所以a+b ≤2.8.(2017年全国Ⅲ卷)已知函数f (x )=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集;(2)若不等式f (x )≥x 2-x+m 的解集非空,求m 的取值范围.【解析】(1)f (x )={-3,x <-1,2x -1,-1≤x ≤2,3,x >2.当x<-1时,f (x )≥1无解;当-1≤x ≤2时,由f (x )≥1,得2x-1≥1, 解得1≤x ≤2;当x>2时,由f (x )≥1,解得x>2. 所以f (x )≥1的解集为{x|x ≥1}. (2)由f (x )≥x 2-x+m ,得m ≤|x+1|-|x-2|-x 2+x.而|x+1|-|x-2|-x 2+x ≤|x|+1+|x|-2-x 2+|x|=-(|x|-32)2+54≤54,且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x 2+x=54,故m 的取值范围为(-∞,54].9.(2016年全国Ⅰ卷)已知函数f (x )=|x+1|-|2x-3|. (1)画出y=f (x )的图象; (2)求不等式|f (x )|>1的解集.【解析】(1)由题意得f (x )={x -4,x ≤-1,3x -2,-1<x ≤32,-x +4,x >32,故y=f (x )的图象如图所示.(2)由f (x )的函数表达式及图象可知, 当f (x )=1时,可得x=1或x=3; 当f (x )=-1时,可得x=13或x=5. 故f (x )>1的解集为{x|1<x<3},f (x )<-1的解集为{x |x <13或x >5}.所以|f (x )|>1的解集为{x |x <13或1<x <3或x >5}.10.(2016年全国Ⅱ卷)已知函数f (x )=x-12+x+12,M 为不等式f (x )<2的解集.(1)求M ;(2)证明:当a ,b ∈M 时,|a+b|<|1+ab|.【解析】(1)f (x )={ -2x,x ≤-12,1,-12<x <12,2x,x ≥12.当x ≤-12时,由f (x )<2得-2x<2,解得-1<x ≤-12;当-12<x<12时,f (x )<2;当x ≥12时,由f (x )<2得2x<2,解得12≤x<1. 综上,f (x )<2的解集M={x|-1<x<1}.(2)由(1)知,当a ,b ∈M 时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b )2-(1+ab )2=a 2+b 2-a 2b 2-1=(a 2-1)(1-b 2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.高频考点:参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和普通方程的互化、直线的参数方程中t 的几何意义的应用、利用圆锥曲线的参数方程求最值、ρ的几何意义、平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化,绝对值三角不等式的应用,均值不等式的应用,不等式的证明以及柯西不等式的简单应用.命题特点:1.考查极坐标方程及其应用、参数方程及其应用、参数方程和极坐标方程与普通方程的转化. 2.直线的参数方程中t 的几何意义的应用,注意定点在曲线两交点之间还是在两交点同侧. 3.直线与曲线相交,求两点之间的距离经常考查ρ的几何意义. 4.图形的伸缩变换,以及求轨迹方程.5.利用圆锥曲线的参数方程中三角函数的有界性求最值.6.零点分段法是解决绝对值不等式问题常用的方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图象解题.7.利用分析法,综合法,比较法,反证法对不等式进行证明.8.根据绝对值三角不等式的恒成立问题求最值,进而求解参数的取值范围.§22.1 坐标系与参数方程一 极坐标系1.极坐标的概念(1)极坐标系:如图,在平面内取一个定点O ,叫作 ,由O 点引一条射线Ox ,叫作 ,选定一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个平面极坐标系,简称为 .(2)极坐标:对于平面内任意一点M ,用ρ表示线段OM 的长,θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度,ρ叫作点M 的 ,θ叫作点M 的 ,有序实数对(ρ,θ)叫作点M 的极坐标,记作M (ρ,θ).2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把平面直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图.(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x ,y ),极坐标是(ρ,θ)(ρ>0,θ∈[0,2π)),则极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(x ,y )极坐标(ρ,θ)互化公式 {x =y =ρ2= tan θ=y x(x ≠0)在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限取最小正角.二 参数方程1.曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变量t的函数,即{x=f(t),y=g(t),并且对于t 的每一个允许值,上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么称上式为该曲线的,其中变量t称为.2.一些常见曲线的参数方程(1)过点P0(x0,y0),且倾斜角为α的直线的参数方程为.(2)圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为.(3)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的参数方程为.3.直线的参数方程的标准形式的应用(1)已知直线的参数方程为{x=x0+tcosα,y=y0+tsinα(t为参数),M1,M2是直线上的两点,其对应的参数分别为t1,t2,则M1M2=|t1-t2|.(2)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t,则t=,中点M到定点M0(x0,y0)的距离MM0=|t|=|t1+t22|.(3)若M0(x0,y0)为线段M1M2的中点,则t1+t2=.☞左学右考写出下列曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆圆心为(r,0),半径为r的圆ρ=2r cos θ(-π2≤θ<π2)圆心为(r,π2),半径为r 的圆过极点,倾斜角为α的直线(1)θ=α(ρ∈R )或θ=π+α(ρ∈R )(2)θ=α(ρ≥0)和θ=π+α(ρ>0)过点(a ,0)(a>0),与极轴垂直的直线ρcos θ=a (-π2<θ<π2)过点(a,π2)(a>0),与极轴平行的直线过点(a ,0)(a>0),倾斜角为α的直线直角坐标方程x 2+y 2-8y=0的极坐标方程为 .极坐标方程ρ=6cos (θ-π3)的直角坐标方程为 .在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,已知射线θ=π4与曲线{x =t +1,y =(t -1)2(t为参数)相交于A ,B 两点,则线段AB 的中点的直角坐标为 .在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =t,y =t +1(参数t ∈R ),圆C 的参数方程为{x =cosθ+1,y =sinθ(参数θ∈[0,2π)),则圆心C 到直线l 的距离是 .知识清单一、1.(1)极点 极轴 极坐标系 (2)极径 极角 2.(2)ρcos θ ρsin θx 2+y 2二、1.参数方程 参数 2.(1){x =x 0+tcosα,y =y 0+tsinα(t 为参数)(2){x =a +rcosθ,y =b +rsinθ(θ为参数)(3){x=acosθ,y=bsinθ(θ为参数)3.(2)t1+t22(3)0基础训练1.ρ=r(0≤θ<2π)ρ=2r sin θ(0≤θ<π)ρsin θ=a(0<θ<π)ρsin(α-θ)=a sin α(α-π<θ<α)2.【解析】因为x2+y2=ρ2,y=ρsin θ,所以原方程可化为ρ2-8ρsin θ=0.所以ρ=0或ρ=8sin θ.经检验,得所求的极坐标方程为ρ=8sin θ.【答案】ρ=8sin θ3.【解析】原方程可化为ρ=6cos θcos π3+6sin θsin π3,方程两边同乘ρ,得ρ2=3ρcos θ+3√3ρsin θ,由ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y,得所求的直角坐标方程为x2+y2-3x-3√3y=0.【答案】x2+y2-3x-3√3y=04.【解析】记A(x1,y1),B(x2,y2),将射线θ=π4转化为直角坐标方程为y=x(x≥0),曲线为y=(x-2)2,联立上述两个方程得x2-5x+4=0,所以x1+x2=5,故线段AB的中点坐标为(52,5 2 ).【答案】(52,5 2 )5.【解析】直线方程可化为x-y+1=0,圆的方程可化为(x-1)2+y2=1.由点到直线的距离公式可得,圆心C(1,0)到直线l的距离为√1+(-1)=√2.【答案】√2题型一平面直角坐标系中的伸缩变换【例1】将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)求曲线C 的标准方程;(2)设直线l :2x+y-2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.【解析】(1)设(x 1,y 1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C 上的点(x ,y ), 依题意得{x =x 1,y =2y 1,由x 12+y 12=1得x 2+(y 2)2=1,故曲线C 的标准方程为x 2+y 24=1.(2)由{x 2+y 24=1,2x +y -2=0,解得{x =1,y =0 或{x =0,y =2.不妨设P 1(1,0),P 2(0,2),则线段P 1P 2的中点坐标为(12,1),则所求直线的斜率为k=12,于是所求直线的方程为y-1=12(x -12),化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3, 故所求直线的极坐标方程为ρ=34sinθ-2cosθ.【变式训练1】在平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:{x'=3x,2y'=y.(1)求点A (13, -2)经过φ变换所得点A'的坐标; (2)求直线l :y=6x 经过φ变换后所得直线l'的方程. 【解析】(1)设点A'(x',y'),由伸缩变换φ:{x'=3x,2y'=y,得{x'=3x,y'=y 2,∴x'=13×3=1,y'=-22=-1.∴点A'的坐标为(1,-1).(2)设P'(x',y')是直线l'上任意一点. 由伸缩变换φ:{x'=3x,2y'=y, 得{x =x'3,y =2y'. 代入y=6x ,得2y'=6·x'3=2x',即y'=x'.∴直线l'的方程为y=x.题型二 直角坐标方程和极坐标方程的互化【例2】在极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρ2=1449+7sin 2θ,以极点O 为直角坐标原点,极轴为x 轴的正半轴,取相同长度单位建立平面直角坐标系.(1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)设曲线C 与x 轴,y 轴的正半轴分别交于点A ,B ,P 是曲线C 上一点,求△ABP 面积的最大值. 【解析】(1)因为曲线C 的极坐标方程为ρ2=1449+7sin 2θ,所以9ρ2+7ρ2sin 2θ=144.由ρ2=x 2+y 2,y=ρsin θ,可得曲线C 的直角坐标方程为9x 2+9y 2+7y 2=144,即曲线C 的直角坐标方程为x 216+y 29=1.(2)因为曲线C 与x 轴,y 轴的正半轴分别交于点A ,B ,所以A (4,0),B (0,3). 所以直线AB 的方程为3x+4y-12=0. 设P (4cos θ,3sin θ),则P 到直线AB 的距离d=|12cosθ+12sinθ-12|5=|12√2sin (θ+π4)-12|5.当θ=5π4时,d max =12√2+125. 故△ABP 面积的最大值为12×|AB|×12√2+125=6(√2+1).(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入化简即可.【变式训练2】(1)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 1:(x-3)2+y 2=9,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,圆C 2的圆心的极坐标为(√2,π4),半径为1.①求圆C 1的极坐标方程;②设圆C 1与圆C 2交于A ,B 两点,求|AB|.(2)在极坐标系下,已知圆O :ρ=cos θ+sin θ和直线l : ρsin (θ-π4)=√22,以极点为直角坐标原点,极轴为x 轴的正半轴,取相同长度单位建立平面直角坐标系.①求圆O 和直线l 的直角坐标方程;②当θ∈(0,π)时,求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标.【解析】(1)①圆C 1:(x-3)2+y 2=9,展开可得x 2+y 2-6x=0,可得极坐标方程为ρ2-6ρcos θ=0,即ρ=6cos θ.②圆C 2的圆心的极坐标为(√2,π4),化为直角坐标为(1,1),可得圆C 2的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=1.由圆C 1与圆C 2的方程相减可得公共弦所在的直线方程为4x-2y+1=0. 圆心(1,1)到直线4x-2y+1=0的距离d=|4-2+1|√4+(-2)=3√20,故弦长|AB|=2√1-(√20)2=√555.(2)①圆O :ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,则圆O 的直角坐标方程为x 2+y 2=x+y ,即x 2+y 2-x-y=0.直线l :ρsin (θ-π4)=√22,即ρsin θ-ρcos θ=1,则直线l 的直角坐标方程为y-x=1,即x-y+1=0.②由{x 2+y 2-x -y =0,x -y +1=0,得{x =0,y =1, 故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1,π2).题型三 参数方程与普通方程的互化【例3】 已知椭圆C :x 24+y 23=1,直线l :{x =-3+√3t,y =2√3+t(t 为参数).(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程;(2)设A (1,0),若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等,求点P 的坐标. 【解析】(1)椭圆C 的参数方程为{x =2cosθ,y =√3sinθ(θ为参数),直线l 的普通方程为x-√3y+9=0.(2)设P (2cos θ,√3sin θ),则|AP|=√(2cosθ-1)2+(√3sinθ)2=2-cos θ,点P 到直线l 的距离d=|2cosθ-3sinθ+9|2=2cosθ-3sinθ+92. 由|AP|=d 得3sin θ-4cos θ=5,又sin 2θ+cos 2θ=1,解得sin θ=35,cos θ=-45,故点P 的坐标为(-85,3√35).(1)参数方程化为普通方程的基本方法就是消参法,常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.对于与角【变式训练3】已知曲线C 的参数方程为{x =cosα,y =m +sinα(α为参数),直线l 的参数方程为{x =1+√55t,y =4+2√55t(t 为参数).(1)求曲线C 与直线l 的普通方程;(2)若直线l 与曲线C 相交于P ,Q 两点,且|PQ|=4√55,求实数m 的值.【解析】(1)由{x =cosα,y =m +sinα,得{x =cosα, ①y -m =sinα, ②①的平方加②的平方,得曲线C 的普通方程为 x 2+(y-m )2=1.由x=1+√55t,得√55t=x-1,代入y=4+2√55t得y=4+2(x-1),所以直线l的普通方程为y=2x+2.(2)圆心(0,m)到直线l的距离d=|-m+2|√5,所以由勾股定理,得(√5)2+(2√55)2=1,解得m=3或m=1.题型四极坐标与参数方程的综合问题【例4】在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l上两点M,N的极坐标分别为(2,0),(2√33,π2),圆C的参数方程为{x=2+2cosθ,y=-3+2sinθ(θ为参数).(1)设P为线段MN的中点,求直线OP的直角坐标方程;(2)判断直线l与圆C的位置关系.【解析】(1)因为M,N的极坐标分别为(2,0),(2√33,π2 ),所以M,N的直角坐标分别为(2,0),(0,2√33).又因为P为线段MN的中点,所以点P的直角坐标为(1,√33),所以直线OP的直角坐标方程为y=√33x.(2)因为圆C的参数方程为{x=2+2cosθ,y=-3+2sinθ(θ为参数),所以圆C的直角坐标方程为(x-2)2+(y+3)2=4,可知圆C的圆心坐标为(2,-3),半径为2.由直线l上两点M,N的直角坐标分别为(2,0),(0,2√33),可知直线l的直角坐标方程为x+√3y-2=0.所以圆心C 到直线l 的距离为|2-3√3-2|√1+(√3)=3√32>2. 所以直线l 与圆C 相离.求解参数方程与极坐标方程的综合问题的一般思路:分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.转化后可使问题变得更加直【变式训练4】在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知圆C 的参数方程为{x =1+cosα,y =sinα(α为参数),直线l 的极坐标方程为√2ρcos (θ-π4)=3.(1)求直线l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程; (2)求圆C 上的点P 到直线l 距离的最小值和最大值. 【解析】(1)∵直线l 的极坐标方程为√2ρcos (θ-π4)=3,∴ρcos θ+ρsin θ=3,即直线l 的直角坐标方程为x+y-3=0. ∵圆C 的参数方程为{x =1+cosα,y =sinα(α为参数),消去参数得(x-1)2+y 2=1,即圆C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1.(2)由圆C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1,可知圆心C (1,0),半径r=1.则圆心C 到直线l 的距离d=√2=√2=√2>1,故直线l 与圆C 相离,故圆C 上的点P 到直线l 距离的最小值是√2-1,最大值是√2+1.方法一 直线参数方程中参数t 的几何意义过定点M 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线的参数方程为{x =x 0+tcosα,y =y 0+tsinα(t 为参数). ①通常称①为直线l 的参数方程的“标准式”. 参数t 的几何意义:|t|是直线上任一点M (x ,y )到点M 0(x 0,y 0)的距离,即|M 0M|=|t|.若t>0,则M 0M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向向上;若t<0,则M 0M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向向下;若t=0,则点M 与点M 0重合.即当点M 在M 0上方时,有t=|M 0M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |;当点M 在M 0下方时,有t=-|M 0M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.该参数t 经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中,解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A ,B 两点,所求问题与定点到A ,B 两点的距离有关.解题时主要应用定点在直线AB 上,利用参数t 的几何意义,结合根与系数的关系进行处理,巧妙求出问题的解.【突破训练1】在平面直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度.已知曲线C :ρsin 2θ=2a cos θ(a>0),过点P (-2,-4)的直线l 的参数方程为{x =-2+√22t,y =-4+√22t(t 为参数).直线l 与曲线C 分别交于M ,N 两点.(1)求实数a 的取值范围;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求实数a 的值.【解析】(1)由题意,可得曲线C 的直角坐标方程为y 2=2ax (a>0),将直线l 的参数方程{x =-2+√22t,y =-4+√22t(t 为参数)代入曲线C 的直角坐标方程,得12t 2-(4√2+√2a )t+16+4a=0,因为直线l 与曲线C 交于M ,N 两点,所以Δ>0,解得a>0或a<-4.又a>0,所以实数a 的取值范围为(0,+∞). (2)设交点M ,N 对应的参数分别为t 1,t 2. 则由(1)知,t 1+t 2=2(4√2+√2a ),t 1t 2=2(16+4a ), 若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,则|t 1-t 2|2=|t 1t 2|.解得a=1或a=-4(舍去),所以实数a 的值为1.方法二 ρ的几何意义的应用在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.同时,注意数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用ρ和θ的几何意义,直接求解,达到化繁为简的目的.【突破训练2】在直角坐标系xOy 中,半圆C 的参数方程为{x =1+cosφ,y =sinφ(φ为参数,0≤φ≤π).以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 的极坐标方程;(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ+√3cos θ)=5√3,射线OM :θ=π3与半圆C 的交点为O ,P ,与直线l 的交点为Q ,求线段PQ 的长.【解析】(1)半圆C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1),又x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以半圆C 的极坐标方程是ρ=2cos θ,θ∈[0,π2]. (2)设(ρ1,θ1)为点P 的极坐标, 则有{ρ1=2cosθ1,θ1=π3,解得{ρ1=1,θ1=π3. 设(ρ2,θ2)为点Q 的极坐标,则有{ρ2(sinθ2+√3cosθ2)=5√3,θ2=π3,解得{ρ2=5,θ2=π3. 因为θ1=θ2,所以|PQ|=|ρ1-ρ2|=4, 所以线段PQ 的长为4.方法三 圆锥曲线参数方程的应用椭圆的参数方程的实质是三角代换,有关椭圆上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题,通常利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解.【突破训练3】在平面直角坐标系xOy 中,动圆x 2+y 2-4√2x cos θ-4y sin θ+7cos 2θ-8=0(θ为参数)的圆心轨迹为曲线C ,点P 在曲线C 上运动.以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若直线l 的极坐标方程为2ρcos (α+π3)=3√5,求点P 到直线l 的最大距离.【解析】将动圆的方程配方,得(x-2√2cos θ)2+(y-2sin θ)2=9+3sin 2θ,设圆心(x ,y ),则{x =2√2cosθ,y =2sinθ(θ为参数),即曲线C 的参数方程为{x =2√2cosθ,y =2sinθ(θ为参数),直线l 的直角坐标方程为x-√3y-3√5=0.设点P (x 1,y 1),则{x 1=2√2cosθ1,y 1=2sinθ1,点P 到直线l 的距离d=√2cosθ1√3sinθ1√5|√1+(√3)=|2√5sin(θ1+φ)-3√5|2,其中tan φ=-√63.∴当sin (θ1+φ)=-1时,点P 到直线l 的距离d 取得最大值5√52. 【答案】5√521.(2017长沙模拟)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =3cosα,y =sinα (α为参数),在以原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为ρsin (θ-π4)=√2. (1)求C 的普通方程和l 的倾斜角;(2)设点P (0,2),l 和C 交于A ,B 两点,求|PA|+|PB|的值.【解析】(1)由{x =3cosα,y =sinα(α为参数),消去参数α,得x 29+y 2=1,即C 的普通方程为x 29+y 2=1.由ρsin (θ-π4)=√2,得ρsin θ-ρcos θ=2, (*)将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入(*),化简得y=x+2, 所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)知,点P (0,2)在直线l 上,可设直线l 的参数方程为{x =tcos π4,y =2+tsin π4(t 为参数),即{x =√22t,y =2+√22t(t 为参数), 代入x 29+y 2=1并化简,得5t 2+18√2t+27=0,Δ=(18√2)2-4×5×27=108>0,设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2, 则t 1+t 2=-18√25<0,t 1t 2=275>0,所以t 1<0,t 2<0,所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=-(t 1+t 2)=18√25.2.(2017合肥调研)在直角坐标系xOy 中,曲线C :{x =√2cosα+1,y =√2sinα+1(α为参数),在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l :ρsin θ+ρcos θ=m.(1)若m=0,判断直线l 与曲线C 的位置关系;(2)若曲线C 上存在点P 到直线l 的距离为√22,求实数m 的取值范围.【解析】(1)曲线C 的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=2,其表示圆心为(1,1),半径为√2的圆;直线l 的直角坐标方程为x+y=0,圆心C 到直线l 的距离d=√1+1=√2=r ,所以直线l 与圆C 相切.(2)直线l 的直角坐标方程为x+y-m=0, 由已知可得,圆心C 到直线l 的距离d=√1+1≤3√22,解得-1≤m ≤5. 所以实数m 的取值范围为[-1,5].3.(2017石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C :(x-1)2+y 2=1.直线l 经过点P (m ,0),且倾斜角为π6.(1)求圆C 和直线l 的参数方程;(2)若直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,且|PA|·|PB|=1,求实数m 的值.【解析】(1)由曲线C :(x-1)2+y 2=1,得参数方程为{x =1+cosθ,y =sinθ(θ为参数),直线l 的参数方程为{x =m +√32t,y =12t (t 为参数).(2)设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2, 将直线l 的参数方程代入x 2+y 2=2x 中,得t 2+(√3m-√3)t+m 2-2m=0,所以t 1t 2=m 2-2m ,由题意得Δ>0,|m 2-2m|=1,得m=1,m=1+√2或m=1-√2.4.(2017唐山质检)已知曲线C 1:x+√3y=√3和C 2:{x =√6cosφ,y =√2sinφ (φ为参数).以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位. (1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程;(2)设C 1与x 轴,y 轴交于M ,N 两点,且线段MN 的中点为P.若射线OP 与C 2交于点Q ,求P ,Q 两点间的距离.【解析】(1)曲线C1化为ρcos θ+√3ρsin θ=√3.即ρsin(θ+π6)=√32.曲线C2化为x26+y22=1,(*)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(*)式,得ρ26cos2θ+ρ22sin2θ=1,即ρ2(cos2θ+3sin2θ)=6.∴曲线C2的极坐标方程为ρ2=61+2sin2θ.(2)∵M(√3,0),N(0,1),∴P(√32,1 2 ),∴OP的极坐标方程为θ=π6,把θ=π6代入ρsin(θ+π6)=√32,得ρ1=1,P(1,π6).把θ=π6代入ρ2=61+2sin2θ,得ρ2=2,Q(2,π6).∴|PQ|=|ρ2-ρ1|=1,即P,Q两点间的距离为1.5.(2017贵阳调研)以直角坐标系中的原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,已知曲线的极坐标方程为ρ=21-sinθ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)过极点O作直线l交曲线于P,Q两点,若|OP|=3|OQ|,求直线l的极坐标方程.【解析】(1)∵ρ=√x2+y2,ρsin θ=y,ρ=21-sinθ化为ρ-ρsin θ=2,∴曲线的直角坐标方程为x2=4y+4.(2)设直线l的极坐标方程为θ=θ0(ρ∈R),根据题意21-sinθ0=3×21-sin(θ0+π),解得θ0=π6或θ0=5π6,∴直线l的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)或θ=5π6(ρ∈R).6.(2017赤峰模拟)在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线C 的参数方程为{x =cosθ,y =√3sinθ(θ为参数),直线l 的极坐标方程为ρsin (θ-π6)=2.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程; (2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.【解析】(1)由ρsin (θ-π6)=2得ρ(√3sin θ-cos θ)=4, 所以直线l 的直角坐标方程为x-√3y+4=0,由{x =cosθ,y =√3sinθ,得曲线C 的普通方程为x 2+y23=1.(2)在C 上任取一点P (cos θ,√3sin θ),则点P 到直线l 的距离d=|cosθ-3sinθ+4|2=|√10cos(θ+φ)+4|2, 其中cos φ=1√10,φ=3√10,所以当cos (θ+φ)=1时,d max =2+√102.7.(2017铁岭模拟)在极坐标系Ox 中,曲线C 1的极坐标方程为ρsin θ=2,M 是C 1上任意一点,点P 在射线OM 上,且满足|OP|·|OM|=4,记点P 的轨迹为C 2.(1)求曲线C 2的极坐标方程;(2)求曲线C 2上的点到直线ρcos (θ+π4)=√2距离的最大值.【解析】(1)设P (ρ1,θ),M (ρ2,θ), 由|OP|·|OM|=4,得ρ1ρ2=4, (*)因为M 是C 1上任意一点,所以ρ2sin θ=2,代入(*)得ρ1=2sin θ.所以曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ. (2)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,即x 2+y 2-2y=0,化为标准方程为x 2+(y-1)2=1,则圆C 2的圆心坐标为(0,1),半径为1, 由直线ρcos (θ+π4)=√2,得ρcos θcos π4-ρsin θsin π4=√2,即x-y=2, 圆心(0,1)到直线x-y=2的距离d=√2=3√22, 所以曲线C 2上的点到直线ρcos (θ+π4)=√2距离的最大值为1+3√22.8.(2017南京、盐城、徐州、连云港四市模拟)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为ρsin (π3-θ)=√32,椭圆C 的参数方程为{x =2cost,y =√3sint (t 为参数).(1)求直线l 的直角坐标方程与椭圆C 的普通方程; (2)若直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,求线段AB 的长.【解析】(1)由ρsin (π3-θ)=√32得ρ(√32cosθ-12sinθ)=√32,所以直线l 的直角坐标方程为√32x-12y=√32,化简得y=√3x-√3,即直线l 的直角坐标方程为y=√3x-√3. 由(x 2)2+(√3)2=cos 2t+sin 2t=1得椭圆C 的普通方程为x 24+y 23=1.(2)联立直线方程与椭圆方程得{y =√3x -√3,x 24+y 23=1,消去y 并整理得5x 2-8x=0,解得x 1=0,x 2=85,所以A (0,-√3),B (85,3√35)或A (85,3√35),B (0,-√3). 所以AB=√(0-85)2+(-√3-3√35)2=165.9.(2017邯郸调研)在极坐标系中,已知直线l 过点A (1,0),且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为π3,求: (1)直线的极坐标方程; (2)极点到该直线的距离.【解析】(1)如图,由正弦定理得ρsin 2π3=1sin (π3-θ). 即ρsin (π3-θ)=sin 2π3=√32,∴所求直线的极坐标方程为ρsin (π3-θ)=√32.(2)作OH ⊥l ,垂足为H ,在△OHA 中,OA=1,∠OHA=π2,∠OAH=π3,则OH=OA sin π3=√32,即极点到该直线的距离等于√32.10.(2017黑龙江大庆二模)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =-35t +2,y =45t(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为ρ=a sin θ. (1)若a=2,求圆C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程;(2)设直线l 截圆C 所得弦的长等于圆C 的半径长的√3倍,求a 的值.【解析】(1)当a=2时,ρ=a sin θ即为ρ=2sin θ, 化为直角坐标方程为x 2+(y-1)2=1,直线{x =-35t +2,y =45t(t 为参数)化为普通方程为4x+3y-8=0. (2)圆C 的极坐标方程转化成直角坐标方程为x 2+(y -a 2)2=a 24,因为直线l 截圆C 所得弦的长等于圆C 的半径长的√3倍,所以圆心C 到直线l 的距离d=|3a2-8|5=12·|a|2,即2|3a-16|=5|a|,解得a=32或a=3211.11.(2017宁夏银川九中二模)在直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为{x =3+2cosθ,y =-4+2sinθ(θ为参数).(1)以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C 的极坐标方程; (2)已知A (-2,0),B (0,2),圆C 上任意一点M (x ,y ),求△ABM 面积的最大值.【解析】(1)圆C 的参数方程为{x =3+2cosθ,y =-4+2sinθ(θ为参数).所以圆C 的普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4.由x=ρcos θ,y=ρsin θ,可得(ρcos θ-3)2+(ρsin θ+4)2=4,化简可得圆C 的极坐标方程为ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.(2)因为x ,y 满足{x =3+2cosθ,y =-4+2sinθ(θ为参数),点M (x ,y )到直线AB :x-y+2=0的距离d=√2,△ABM 的面积S=12×|AB|×d=|2cos θ-2sin θ+9|=|2√2sin (π4-θ)+9|, 所以△ABM 面积的最大值为9+2√2.12.(2017辽宁抚顺二模)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的参数方程为{x =t,y =at (t 为参数),曲线C 1的极坐标方程为ρ(ρ-4sin θ)=12,定点A (6,0),点P 是曲线C 1上的动点,Q 为AP 的中点. (1)求点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 2交于M ,N 两点,且|MN|≥2√3,求实数a 的取值范围.【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ,x 2+y 2=ρ2,曲线C 1的极坐标方程为ρ(ρ-4sin θ)=12, 可得曲线C 1的直角坐标方程为x 2+y 2-4y=12.设点P (x',y'),Q (x ,y ),由中点坐标公式,得{x'=2x -6,y'=2y,将其代入x 2+y 2-4y=12,得点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程为(x-3)2+(y-1)2=4.(2)直线l 的普通方程为y=ax ,设圆心C 2到直线l 的距离为d ,由弦长公式可得,|MN|=2√22-d 2≥2√3,即d ≤1. 可得圆心(3,1)到直线l 的距离d=√2≤1,即4a 2-3a ≤0,解得0≤a ≤34,故实数a 的取值范围为[0,34].§22.2 不等式选讲一绝对值三角不等式1.定理1如果a,b是实数,那么,对于|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当时,等号成立.2.定理2如果a,b,c是实数,那么,当且仅当时,等号成立.二绝对值不等式的解法1.含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a=0a<0|x|<a⌀⌀|x|>a(-∞,0)∪(0,+∞)R2.|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:(1)数形结合法;(2)零点分段法;(3)构造函数法.三不等式证明的方法1.比较法.(1)作差比较法;(2)作商比较法.2.综合法和分析法.3.反证法和放缩法.四几个常用的不等式1.柯西不等式柯西不等式的代数形式:设a1,a2,b1,b2均为实数,则(当且仅当a1b2=a2b1时,等号成立).2.平均值不等式定理:如果a,b,c为正数,那么,当且仅当a=b=c时,等号成立.我们称a+b+c3为正数a,b,c的算术平均值,√abc3为正数a,b,c的几何平均值,定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式,简称为平均值不等式.一般形式的算术—几何平均值不等式:如果a1,a2,…,a n为正数,那么,当且仅当a1=a2=…=a n时,等号成立.☞左学右考设ab<0,a,b∈R,那么正确的是().A.|a+b|>|a-b|B.|a-b|<|a|+|b|C.|a+b|<|a-b|D.|a-b|<||a|-|b||不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:(1);(2)|ax+b|≥c⇔ax+b≤-c或.。