x(1,1) 1 x n 1
n1
而右端极限为，
故原级数在(-1,1)不一致收敛。
但限制x [a,a],a 1,则
sup
x(a,a )
|
sn( x)
s( x) |
sup
x(a,a )
| 1 xn 1 x
1 1
x
|
sup | xn | an , x(a,a) 1 x 1 a
[( xn ) 0,单调增] 1 x
故 un( x)在数集D上一致收敛。
n1
证毕。
注1 在这个定理的条件下，可得| un( x) | 也一致收敛。
n1
注2 不是每个收敛级数都有优级数。
例8
sin n
nx
p
,
cos n
nx
p
,(
p
1)在(,)一致收
敛。
优级数均为
1 np
.
(1)n sin nx的优级数为 np
1， np
一致收敛。
xn在[a,a](a 1)的优级数为 an，一致收敛。
an为绝对收敛级数，则 an sin nx, an cos nx
n1
n1
n1
在(,)一致收敛，且| an | 就是其优级数。
n1
全体收敛点的集合称为收敛域。
un( x) s( x)
n1
——和函数。
例5
xn 1 x x2 x3
n0
lim
n
sn( x)
lim
n
1 xn 1 x
1 , 1 x 发散，
| x | 1 | x | 1
xn在（ 1，1）内收敛于s( x)
1
.
n0
1 x
定义： 设sn( x)
(2) 0,N ,m, n N ,x D,都有 | fn( x) fm ( x) | .
(3)
lim sup
n
xD
|
fn(x)
f ( x) |
0.
好用！
uk ( x)一致收敛于s( x). 等价于下列3条之一：
k 1
(1) sn( x)
s( x), x D,
(2) 0,N ,m N ,p 0,x D,有 | um1( x) um2( x) um p( x) | .
n
uk ( x)是
uk ( x)的部分和函数列，
k 1
k 1
若sn( x)
s( x), x D,
则称 uk ( x)一致收敛于s( x).
k 1
定理3:(Cauchy收敛准则)
un( x)在D上一致收敛
n1
0,N ,m N ,p 0,x D,有
| um1( x) um2( x) um p( x) | .
称为函数项级数的部分和函数列。
若x0 E, 数项级数
un( x0 ) u1( x0 ) u2( x0 ) u3( x0 ) un( x0 )
n1
收敛， 则称函数项级数 un( x)在x0收敛，
n1
如果函数项级数 un( x)在D E上的每一点收敛，
n1
则称函数项级数 un( x)在D收敛，
1
s( x)
lim
n
sn( x)
lim
n
x
n
0
(0 x )
sn( x)
s( x)
x
1
n
1 n
(0 x )
lim
n
sup s( x)
x[ 0 , )
sn( x)
0,
一致收敛。
fn ( x)
f ( x) x D. 等价于下列3条之一：
(1) 若 0,N ,n N ,x D,都有 | fn( x) f ( x) | ,
n1
优级数
证 0,N ,n N ,p,都有
| Mn1 Mn2 Mn p | . 即 Mn1 Mn2 Mn p .
| un1( x) un2( x) un p( x) | | un1( x) | | un2( x) | | un p( x) |
Mn1 Mn2 Mn p .
好用！
二、函数项级数及其一致收敛性
定义在数集E上的函数列{un( x)},
un( x) u1( x) u2( x) u3( x) un( x)
n1
称为定义在E上的函数项级数，
n
sn( x) uk ( x) u1( x) u2( x) u3( x) un( x)
k 1
fn ( x)
f ( x) x D. 等价于下列3条之一：
(1) 若 0,N ,n N ,x D,都有 | fn( x) f ( x) | ,
(2) 0,N ,m, n N ,x D,都有 | fn( x) fm ( x) | .
(3)
lim sup |
n xD
fn(x)
f ( x) | 0.
x2
1
x n2
x
2
,
由例3， sn( x)
s( x) 0, x R,
原级数一致收敛。
三、函数项级数一致收敛性判别法
定理5（Weierstrass判别法，优级数判别法）
设
un
(
x
)定义在数集D上，
M
为一收敛的正项级数，
n
n1
n1
若x D,有 | un( x) | Mn , n 1,2,,
则 un( x)在数集D上一致收敛。
解
sup
x( 1,1)
|
sn( x)
s( x) |
sup
x( 1,1)
|
1 xn 1 x
1 1
x
|
sup | xn | x(1,1) 1 x
取x n (1,1), n1
则 sup | xn |（| n )n (1 n )
x(1,1) 1 x n 1
n1
则 sup | xn |（| n )n (1 n )
推论:(级数一致收敛的必要条件)
un( x)在D上一致收敛,则 un( x)
n1
0, x D.
定理 4
un( x)在D上一致收敛
n1
lim sup
n xD
|ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
sn (
x)
s(
x)
|
0.
例6
xn 1 x x2 x3
n0
在（ 1，1）内收敛于s( x) 1 , 1 x
是否一致收敛？
0 故原级数在[-a,a] 一致收敛。
{ xn }在(1,1)不一致收敛， 但在[a,a](a 1)一致收敛。
xn在(1,1)不一致收敛，
但在[a,a](a 1)一致收敛。
例
研究级数
1 x 1
x
1
2
1 x
1
x
1
n
x
1 n
1
在区间[ 0,)上的一致收敛性.
解
sn( x)
x
1
, n
(3)
lim
n
sup
xD
|
sn (
x)
s(
x)
|
0.
例7
x
1 x2
[ n2 1
x n2 x2
1
(n
x
1)2
x2 ]
在(,)一致收敛于f ( x) 0.
解
x
x
x
x
x
sn( x) 1 x2 1 22 x2 1 x2 1 32 x2 1 22 x2
1
x n2 x2
1
(n
x
1)2