解出： x0 =
s =πr =
2
π x 2 (b − a) 2
l2
∴ R = ∫
ρ dx l 2 ρ dx l2ρ = = π r 2 ∫ π x 2 (b − a) 2 π (b − a) 2
⎡1 1 ⎤ lρ ⎢ − ⎥= ⎣ x0 x0 + l ⎦ π ab
∫
x0 + l
x0
dx x2
I 20 = 0.5 + 0.25 + 0.25 = 1A
2
π
2
2
π
2
0
1 ⎡1 ⎤2 sin 2 θ θ − = jπ R 2 ⎢ ⎥ 4 ⎣2 ⎦0
π
通过前面半球的 j 线数与通过过 O 圆平面的 j 线数相等。 4.2.1 如图所示的电路中，求： （1） 开关 S 打开时 A、B 间的总电阻； （2） 开关 S 闭合时 A、B 间的总电阻。 解：
R2 ldr R 1 1 l ln 2 ， =∫ =∫ = R1 ρπ r R dR ρπ R1
即有： R =
ρπ
l ln
1 R2
R1
4.3.2 用电阻率为 ρ （常量）的金属制成一根长度为 L、底面半径分别为 a 和 b 的锥台形导体（见 附图） ， （1）求它的电阻； （2）试证明当 a=b 时，答案简化为 ρ L/S（其中 S 为柱体的横截面积） 解：假定 I 沿轴线流过任意横截面的 j 是均匀的，建立坐标如图所示 则有： dR =
dR总 =0 dt
将（*）式对温度 t 求导并另其等于 0，即 ρC0 σ C 得到：
lC l + ρ F0 σ F F = 0 s s
ρ F σ F 8.7 1 lC =− 0 = = ρC0 σ C 350 40 lF
4.3.7 某仪器中要一个“ 200Ω, 2W ”的电阻，手头有标明“ 50Ω，1W ”的电阻及“ 150Ω，1W ”的电 阻各一个，是否可以代用？ 解：标有“ 220Ω, 2W ”的电阻：
I额 = W R =
min
4 = 1 ( A) 104 2 × 102
1
所以 ab 两端的电压为： 1 U ab = I 额 min R总 = × （100+103 +104）=0.5 × 111=55.5(V) 2 × 102
（2）由 W = I 2 R ，得到： I = 0.01( A)
及电源电动势。 解：因为 U AB = −ε + IR4 ，
ε = IR4 − U AB = 0.4 × 30 + 20 = 32(V ) ε = I ( R4 + R3 +
R2 = R1 R2 ) R1 + R2
R1 (ε − IR4 − IR3 ) = 120Ω IR1 − ε + IR4 + IR3
4.4.5 附图中 ε1 = 6V ， ε 2 = 10V ， R1 = 3Ω ， R2 = 1Ω ， R=4Ω ，求 UAB、UAC、UCB。
解： I =
ε1 + ε 2
R + r1 + r2
=
6 + 10 = 2( A) 3 +1+ 4
U ab = Ir1 − ε1 = 2 × 3 − 6 = 0(V )
l2ρ = π (b − a) 2
若将变量统一为 r ，则 r 的变化范围为： 0 → (b − a) ，或由 a → b 由 tg β =
b − a dr ldr = 得： dx = l dx b−a
∴R=∫
=
b dr ρ dx l ρ dr lρ = = π r 2 ∫ π r 2 (b − a) π (b − a ) ∫a r 2
1 ×100 = 5(V ) 没有超过 4
U = 0.01× 104 = 100(V ) ， U 额 = RW =
1 ×104 = 25(V ) 已超过 4
4.4.2 在如图所示的电路中，当滑动变阻器的滑动触头在某一位置时，安培计（内阻可忽略）的
读数为 0.2A，伏特计（内阻无限大）的读数为 1.8V。当滑动触头在另一位置时，安培计和伏特计的 读数分别为 0.4A 和 1.6V，求电池的电动势和内阻。 解：由 ε = U1 + I1r 和 ε = U 2 + I 2 r 可解出：
r=
U 2 − U1 1.8 − 1.6 = = 1Ω I1 − I 2 0.4 − 0.2
ε = 1.8 + 0.2 × 1 = 2(V )
4.4.3 用电动势为 ε ， 内阻 R 内的电池给阻值为 R 的电阻供电， 在保持 ε 和 R 内不变的情况下改变 R，
试证当 R=R 内时，求： （1）电阻 R 吸收的功率最大； （2）R 所吸收的最大功率为： Pm =
U ac = Ir1 − ε1 − ε 2 + Ir2 = −8(V ) U ab = −ε 2 + Ir2 = 8(V )
4.4.6 如果流过附图中的 8 欧电阻的电流是 0.5A，方向向右，求 UAC。
解：由图可知 I 8 = 0.5 A ，则 I16 = 0.25 A
习 题 4.1.1 很定电流场 J=Ji（其中 J 为常数，i 为沿 x 轴正向的单位矢量）中有一半径为 R 的球面（见附 图） 。 （1）用球坐标表示出球面的任一面元的 J 通量 dI； （2）用积分的方法求出由 x>0 确定的半球面的 J 通量 I；
ˆ = j cos α ds 解： （1）∵ dI = j ⋅ d s = ji ⋅ rds
R=ρ
l π ( R − R12 )
2 2
（2）电流沿径向方向流过，各截面面积不相等，有 R = ∫ dR = ∫
R2 R1
dr ρ R = ln 2 2π rl 2π l R1
（3）把管子切去一半，电流沿图示方向流过，考虑离轴线为 r，厚度为 dr 的薄半圆片，则其电阻 ρπ r 为： dR = ldr 又因为各电阻不一样，各电阻上的电流分布也不一样，各段电阻相当于并联，则有
而方向余弦： cos α = ds = R 2 sin θ cos ϕ dI = jR 2 sin 2 θ cos ϕ dθ dϕ （2）因被 yoz 平面所截， I = ∫ dI = 4 jR
2
x r cos ϕ R sin θ cos ϕ = = R R R
∫
π
2
0
cos ϕ dϕ ∫ sin θ dθ = 4 jR [sin ϕ ]0
ε2
4 R内
=
ε2
4R
。
解：由功率可得： P = R(
ε
R+r dP 当其最大值时，则有 = 0 dR
)2
即：
ε 2 ( R + r ) 2 − ε 2 R 2( R + r )
( R + r )4
=0
ε 2 ( R + r ) 2 − ε 2 R 2( R + r ) = 0
U = 0.01× 103 = 10(V ) ， U 额 = RW =
2 P 100 = 0.01 × 100 = 0.01(W )
1 × 103 = 15.8(V ) 4
U = 0.01× 100 = 1V ， U 额 = RW =
2 4 P 104 = 0.01 × 10 = 1(W )
( R + r )2 = 2 R( R + r )
解得： R = r 所以最大功率为： Pmax = r (
ε
r+r
)2 =
ε2
4r 2
=
ε2
4R2
4.4.4 附图中 R1 = 40Ω ， R3 = 20Ω ， R 4 =30Ω ，通过电源的电流 I=0.4A，UAB=20V，求 R R 4 =30Ω 2
（1）当 K 断开时，电路图如下（1） ，由图可得知： Rab = 225Ω （2）当 K 闭合时，电路图如下（2） ，由图可得知： Rab = 208Ω 4.2.2 求附图所示各电路图中 A、B 间的总电阻。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：等效电路图（a）~（g）如下：
lρ ⎡ 1 1 ⎤ lρ − = π (b − a) ⎢ ⎣a b⎥ ⎦ π ab lρ l =ρ 2 s πa
当 a = b 时： R =
4.3.3 球形电容器内外半径为 a 和 b，两极板间充满电阻率为 ρ 的均匀物质，试计算该电容器的漏 电电阻。 解：对漏电电阻，其内部电极电位差，电流沿径向从高电位向低电位流过，则有： dR = 积分得： R = ∫ dR = ∫
j
δ
=
ρ I 3.14 ×10−8 × 20 = = 0.2 V 2 −3 2 m πR 3.14 × (10 )
4.3.5 铜的电阻温度系数为 4.3 ×10−3 / 0C ，在 0 0C 时的电阻率为 1.6 ×10−8 Ω ⋅ m ，求直径为 5mm、长 为 160km 的铜制电话线在 25 0C 时的电阻。
（a） Rab = 1K Ω ， （b） Rab = 4.5Ω （c） Rab = 1.2Ω （d） Rab = 7.4Ω （e） Rab = 5Ω （f） Rab = 1.5Ω （g） Rab = 14Ω
4.2.3 当附图中的 R1 为何值时 A、B 间的总电阻恰等于 R0？ 解：由 R总 = R1 +
l 160 ×103 −8 −3 解： R = ρ 0 (1 + σ t ) 2 = 1.6 × 10 × (1 + 4.3 × 10 × 25) × = 144Ω πr 3.14 × (2.5 × 10−3 ) 2
4.3.6 将同样粗细的碳棒和铁棒串联起来，适当地选取两棒的长度能使两棒的总电阻不随温度而变， 求这时两棒的长度比。 解：当两者串联起来时，其总阻值为： l l R总 = RC + RF = ρC0 (1 + σ C t ) C + ρ F0 (1 + σ F t ) F …………….（*） s s 其总阻值不随温度变化而变化，即