〖圆的解析几何方程〗圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。

和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。

圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

〖圆与直线的位置关系判断〗平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。

利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C／A<x1或x=-C／A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)1．点与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有：(1)d＞r 点M在圆外；(2)d=r 点M在圆上；(3)d＜r 点M在圆内．2．直线与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0，圆心(a，b)判别式为△，则有：(1)d＜r 直线与圆相交；(2)d=r 直线与圆相切；(3)d＜r 直线与圆相离，即几何特征；或(1)△＞0 直线与圆相交；(2)△=0 直线与圆相切；(3)△＜0 直线与圆相离，即代数特征，3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r2和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：(1)d=k+r 两圆外切；(2)d=k-r 两圆内切；(3)d＞k+r 两圆外离；(4)d＜k+r 两圆内含；(5)k-r＜d＜k+r 两圆相交．4．其他(1)过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则此点的切线方程为x0x+y0y=r2(课本命题)．②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．(2)相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0．(3)圆系方程：①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)．②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)．1.求经过M(1，2）N(3，4），并且在Y轴上截得的弦长为1的圆的方程。

解：设圆的方程为：x^2+y^2 +Dx+Ey+F=0 ,∴ 圆心为(- ,- )，半径r=由题意：圆心到y轴的距离为|- | , y轴上截得的弦长为1∴ r =( ) +( )∴ (D +E −4F)= + D∴ E −4F=1 (1)∵ 圆经过M(1,2),N(3,4)两点∴ D+2E+F=-5 (2)3D+4E+F=-25 (3)解(1)(2)(3)得：D=-3 , E=-7 , F=12 或D=-13 , E=3 , F=2∴ 所求圆的方程为：x +y -3x-7y+12=0或x +y -13x+3y+2=02.直线3x+y+m=与圆x²+y²+x-2y=0相交于P、Q。

O为坐标原点，若OP⊥OQ,求m解：由x2+y2+x-2y=0得（x+1/2）^2+(y-1)^2=5/4半径=(根号5)/2圆心:(-1/2,1)OP垂直OQ,OP=OQ(都是圆的半径）OPQ为等腰直角三角形圆心到直线的距离D=半径/（根号2）=(根号10)/4根据点到直线的距离公式解得m=3或m=-23.如果圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么：A、F=0，D≠0，E≠0B、E=0，F=0，D≠0C、D=0，F=0，E≠0D、D=0，E=0，F≠0答：C 过原点(x=0,y=0)得F=0 相切圆心在Y轴，得D=04. 已知P(a,b)是圆x^2+y^2-2x+4y-20=0上的点，则a^2+b^2的最小值是( )解:把方程化为（x-1）^+(y+2)^=25 而且所求为圆上的点到原点的距离！所以最小值就是半径减去圆心到原点的距离！5. 已知圆A:x²+y²+2x+2y-2=0,若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：y=2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程解: 圆B平分A的周长则圆B与圆A的两交点的连线为圆A的直径设圆B的圆心为（x,2x）圆A方程为(x+1)^2+(y+1)^2=4，圆心（-1，-1），半径2圆B的半径、圆A的半径、以及两圆心之间的距离，构成直角三角形，满足勾股定理所以，圆B的半径：R^2=(x+1)^2+(2x+1)^2+4=5x^2+6x+6=5(x+3/5)^2+21/5即，当x=-3/5时，R^2有最小值=21/5此时圆B的圆心为（-3/5，-6/5）方程为：(x+3/5)^2+(y+6/5)^2=21/56. 已知圆O：x²+y²=5和点A（1，2）则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积？解: 根据A点和圆的圆心(0.0）可知A点与圆心连线的斜率为2，则可知直线的斜率为-1/2（根据斜率相乘为-1）。

然后设直线方程为Y=-1/2X+Z.把A（1.2）带入方程得Y=-1/2x+5/2,然后令Y=0，X=0.得X=5.，Y=5/2.再得（5/2+2X5）/2=6.257. 已知圆C过点P（1，1），且与圆M：（X+2）的平方+（Y+2）的平方=R的平方关于直线X+Y+2=0对称1.求圆C方程2.设Q为圆C上任意一点。

求PQ向量*MQ向量的最小值解:1.由圆C与圆M关于直线对称，得圆C的圆心坐标为（0，0）且圆C 过P点，所以圆C的方程为X^2+Y^2=22.由题可知M(-2,-2),P(1,1)设Q点坐标为(x,y),向量PQ为(x-1,y-1),向量MQ为（x+2,y+2)所以:向量PQ* 向量MQ=x^2+x+y^2+y-4 且x^2+y^2=2得向量PQ*向量MQ=x+y-2 且x^2+y^2=2由线性规划可知:向量PQ*向量MQ的最小值为-4(直线的斜率是-1，令z=x=y-2 得直线与圆相切于第三象限时z取最小值所以当切点为(-1,-1)时 z的最小值为-4)例2已知实数A、B、C满足A2+B2=2C2≠0，求证直线Ax+By+C=0与圆x2+y2=1交于不同的两点P、Q，并求弦PQ的长．分析：证明直线与圆相交既可以用代数方法列方程组、消元、证明△＞0，又可以用几何方法证明圆心到直线的距离小于圆半径，由教师完成．证：设圆心O(0，0)到直线Ax+By+C=0的距离为d，则d=∴直线Ax+By+C=0与圆x2+y1=1相交于两个不同点P、Q．例3求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程．解法一：相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0．∵所求圆以AB为直径，于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25．解法二：设所求圆的方程为：x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数)∵圆心C应在公共弦AB所在直线上，∴所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0．小结：解法一体现了求圆的相交弦所在直线方程的方法；解法二采取了圆系方程求待定系数，解法比较简练．(三)巩固练习1．已知圆的方程是x2+y2=1，求：(1)斜率为1的切线方程；2．(1)圆(x-1)2+(y+2)2=4上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是(2)两圆C1∶x2+y2-4x+2y+4=0与C2∶x2+y2+2x-6y-26=0的位置关系是______．(内切)3．求经过原点，且过圆x2+y2+8x-6y+21=0和直线x-y+5=0的两个交点的圆的方程．分析：若要先求出直线和圆的交点，根据圆的一般方程，由三点可求得圆的方程；若没过交点的圆系方程，由此圆系过原点可确定参数λ，从而求得圆的方程．由两个同学演板给出两种解法：解法一：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．∵(0，0)，(-2，3)，(-4，1)三点在圆上，解法二：设过交点的圆系方程为：x2+y2+8x-6y+21+λ(x-y+5)=0．2．求证：两圆x2+y2-4x-6y+9=0和x2+y2+12x+6y-19=0相外切．3．求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．4．由圆外一点Q(a，b)向圆x2+y2=r2作割线交圆于A、B两点，向圆x2+y2=r2作切线QC、QD，求：(1)切线长；(2)AB中点P的轨迹方程．作业答案： 2．证明两圆连心线的长等于两圆半径之和 3．x2+y2-x+7y-32=0参考答案:1. B;2.C;3.A;4.B;5.D;6.D;7.C;8.C;9.C;10.C11.(x-2)2+(y-1)2=10;12.2225+; 13.x=-1或3x-4y+27=0;14.(x+1)2+(y-1)2=13;15.(1)x 2+y 2-4x=0;(2)x 2+y 2-16x=016.(x-3)2+(y-1)2=9或(x-101)2+(y-37)2=101217.(1)3π或32π;(2)x+y-1=0或x-y+3=0.定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点是圆心，定长是半径。