重点难点 重点：圆的方程、点与圆的位置关系 难点：垂径定理的应用、圆的方程求法． 知识归纳 1．圆的方程 (1)圆的标准方程：圆心(a，b)，半径为r的 圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋
D E 1 2 E －4F>0，圆心(－ ，－ )，半径r＝ D ＋E2－4F)． 2 2 2


解析：∵圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的标准 方程为：(x＋1)2＋(y－2)2＝132，即此圆是 一个以点O(－1,2)为圆心，以R＝13为半径 的圆． ∵|OA|＝12，而R＝13，经过A点且垂直于 OA的弦是经过A点的最短的弦，∴其长度为 2 ＝10；而经过A点的最长的弦为圆 的直径2R＝26；




(理)(09·上海)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上 任一点连线的中点轨迹方程是( ) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：设圆上任一点为Q(x0，y0)，则x02＋y02＝4， 又设P、Q连线中点为M(x，y)，


[例4] (09·全国Ⅱ)已知AC、BD为圆O：x2 ＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为 M(1， )，则四边形ABCD的面积的最大值 为________． 分析：由于AC⊥BD，所以四边形的面积为 |AC|·|BD|，又AC与BD交于点M，故只要将 |AC|、|BD|利用垂径定理转化为弦心距，可 建立其联系．
解析：设圆心O到AC、BD的距离为d1、d2，垂足分 别为E、F，则四边形OEMF为矩形，则有d12＋d22＝|OM|2 ＝3. ∴|AC|＝2 4－d12，|BD|＝2 4－d22， 1 ∴S四边形ABCD＝2|AC|· |BD| ＝2 4－d12 · 4－d22 ≤(4－d12)＋(4－d22)＝8－(d12＋ 6 d2 )＝5，等号在d1＝d2＝ 时成立，即四边形ABCD的面 2
2
积的最大值为5.
答案：5
(2010· 全国Ⅰ)已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的 → PB → 两条切线，A、B为两切点，那么PA· 的最小值为( A．－4＋ 2 C．－4＋2 2 B．－3＋ 2 D．－3＋2 2 )
解析：如图所示：设PA＝PB＝x(x>0)，∠APO＝α， 1 则∠APB＝2α，PO＝ 1＋x ，sinα＝ 2， 1＋x



3．已知点P(x，y)为圆上动点 (1)形如 的最值转化为动直线的斜率 求解，一般在相切位置取最值． (2)形如ax＋by的最值，一般设u＝ax＋by， 转化为动直线的截距问题．用判别式法求解， 或在相切位置取最值． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2的最值转化为动点 到定点的距离问题或设(x－a)2＋(y－b)2＝k2， 转化为两圆有公共点时，k的取值范围问 题．


(文)(09·辽宁)已知圆C与直线x－y＝0及x－ y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则 圆C的方程为( ) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
解析：由圆心在直线x＋y＝0上．不妨设为C(a，－ a)． |a－－a| |a－－a－4| ∴r＝ ＝ . 2 2 解得a＝1，r＝ 2. ∴⊙C：(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选B.
A．必在圆x2＋y2＝2内 B．必在圆x2＋y2＝2上 C．必在圆x2＋y2＝2外 D．以上三种情形都有可能
c 1 解析：∵e＝ ＝ ，∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2. a 2 b 2 2c 2 2 ∴x1 ＋x2 ＝(x1＋x2) －2x1x2＝－ ＋
2


a
a
3c2 7 ＝ 2＋1＝ <2. 4c 4 ∴点P(x1，x2)在圆内．故选A.

分析：直线过点A，可设出点斜式方程与圆 方程联立，由韦达定理可得出B、C坐标关 系，设P(x，y)，可由A、B、C、P共线得 kAP＝kBC，消去斜率k可得轨迹方程，注意k 不存在情形．
解析：设割线的方程为y＝k(x－4)，再设BC中点的 y 1 坐标为(x，y)，则 ＝－ ， x k 代入y＝k(x－4)消去k得，(x－2)2＋y2＝4. 画出图形易知轨迹应是在已知圆内的部分，且x的取 值范围是0≤x<1.故选D.


[例1] (2010·新课标全国)过点A(4,1)的圆C 与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C 的方程为________． 分析：⊙C与直线相切于B，∴CB为圆的半 径，且CB与直线垂直，又⊙C过点A，∴AC 也等于圆的半径，而圆心C(a，b)中含两个 未知数，故建立a、b的两个方程即可获解．
答案：D



(文)由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、 PB，切点分别为A、B，∠APB＝60°，则 动点P的轨迹方程为( ) A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝3 C．x2＋y2＝2 D．x2＋y2＝1 解析：由题设知，在Rt△OPA中，OP为圆 半径OA的2倍，即OP＝2，∴点P的轨迹方 程为x2＋y2＝4.选A. 答案：A


误区警示 1．解决有关轨迹问题时，要注意所求得轨 迹方程表示的曲线上的点是否都是满足题设 要求的轨迹上的点． 2．与圆有关的最值问题，要特别注意是整 个圆周上的点，还是一段圆弧上的点．



在解决与圆有关的最值问题时，主要借助圆 的几何性质，用数形结合的方法求解． 1．圆上点到定点P的距离的最大(小)值：连 结圆心C与P交圆于两点为最大(小)值点． (1)点P在⊙C内，过点P的⊙C的弦中，最长 的为EF(过圆心)，最短的为AB(AB⊥EF)， 在⊙C上所有点中，点E到点P距离最小，点 F到点P距离最大．






2．求圆的方程时，常常要将所给条件恰当 翻译，用数学语言加以表达．如 ①圆过点A，则点A的坐标代入圆的方程一 定成立． ②圆过两点A、B，则线段AB的中垂线过圆 心． ③圆心在直线l上，(一)可设出圆心坐标； (二)可考虑圆心是否在另一条直线l′上，由l 与l′方程联立求圆心． ④圆与直线l相切，则(一)d＝r；(二)Δ＝0.应 特别注意圆与直线l相切于点P的含义． ⑤圆C截直线l得弦AB，则半弦2＋弦心距2＝
答案：D
2－1.
x4－x2 点评：对y＝ 2 求最小值，还可用基本不等式， x ＋1 t－1t－2 2 令x ＋1＝t，则t>1，x ＝t－1，∴y＝ ＝t＋ t － t
2 2
2 3≥2 2－3.等号在t＝ ，即t＝ 2 时成立，∴x＝ t 时ymin＝2 2－3.
2－1



[例5] 过点A(11,2)作圆x2＋y2＋2x－4y－ 164＝0的弦，其中弦长为整数的弦共有 ( ) A．16条 B．17条 C．32条 D．34条 分析：验证可知，点A在圆内，过圆内一点 的直线与圆相交最长弦为圆的直径，最短弦 为与经过该点的直径垂直的弦，由弦长为整 数，故可找此二值之间的整数，看有多少个， 即可知弦的条数，特别注意，介于最大值与
答案：B





(理)(09·重庆)圆心在y轴上，半径为1，且过 点(1,2)的圆的方程是( ) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 解析：点(1,2)到y轴距离为1，又圆心在y轴 上，且过点(1,2)，∴圆心为(0,2)． 答案：A
2x＝x ＋4 0 则 2y＝y0－2 x ＝2x－4 0 ，∴ y0＝2y＋2
，
代入x02＋y02＝4中得，(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A.

答案：A 点评：求动点M的轨迹方程时，设M(x，y)， 然后结合已知条件找x、y满足的关系式．如 果点M的运动依赖于点A的运动，而点A在已 知曲线C上，这时将A的坐标用x、y表示， 代入C的方程，即得M点的轨迹方程.
解析：设圆心C(a，b)，由题意可得 a－42＋b－12＝ a－22＋b－12 b－1 a－2＝－1
a＝3， 解之得 b＝0，
，
∴r＝ 2 ，∴圆方程为：(x－3)2＋y2
＝2.

答案：(x－3)2＋y2＝2
点评：1.(1)本题中|CA|，|CB|，C到直线的距离都等 于圆的半径，故还可列等式 |a－b－1| ， 2 (2)A，B都在圆上，故AB的中垂线过圆心，据此可将 圆心用一个未知数表示，再结合圆心与切点连线与切线 垂直即可获解． a－42＋b－12 ＝
答案：C
[例3]
已知圆x2＋y2＝4，过点A(4,0)作圆的割线 )
ABC，则弦BC中点的轨迹方程为( A．(x－1) ＋y ＝4
2 2
1 －1≤x< 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．(x－1)2＋y2＝4 (0≤x<1) C．(x－2) ＋y ＝4
2 2
1 －1≤x< 2
D．(x－2)2＋y2＝4 (0≤x<1)
答案：D
x2 y2 (理)双曲线 2 － 2 ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾 a b 斜角为60° ，直线ax＋by－a＋1＝0平分圆C：(x－2)2＋(y － 3)2＝1，则点P(a，b)与圆C的位置关系是( A．P在⊙C内 B．P在⊙C上 C．P在⊙C外 D．无法确定 )
b ＝tan60° 解析：由条件得，a 2a＋ 3b－a＋1＝0， 1 a＝－4 解之得 b＝－ 3， 4 1 3 2 ∵(－4－2) ＋(－ 4 － 3)2>1，∴点P在⊙C外．
2
x2x2－1 → PB → |PB → ∴PA · ＝|PA |·→ |cos2α＝x2(1－2sin2α)＝ 2 ＝ x ＋1 x4－x2 x4－x2 → PB → ，令 PA · ＝y，则y＝ 2 ，即x4－(1＋y)x2－y＝ x2＋1 x ＋1 0，